Учебное пособие 582

dy

=

1

Þ dy =

dx

Þ y = ò

dx

+C Þ y = arcsin x +C .

1- x

2

2

2

dx

1- x

1- x

Далее

найдем

решение, удовлетворяющее

начальному

условию y(0) =

p

:

2

p

p

= arcsin 0 + C Þ C =

.

2

2

Получаем решение, удовлетворяющее заданному начальному

условию

p

y = arcsin x +

.

2

dy

1

Пример

4.

Найти

решение

уравнения

=

,

dx

y

удовлетворяющее условию y(0) =1 .

РЕШЕНИЕ. Найдем начала общее решение

ydy = dx Þ dx =

ydy Þ x = ò

ydy + C Þ x =

2

y

3

+ C Þ

2

2

3

x =

y

y + C.

3

Найдем

далее

решение, удовлетворяющее

начальному

условию y(0) =1 :

0 =

2

+ C Þ C = -

2

.

II.

3

3

Дифференциальное уравнение вида

dy

= f (x)j( y)

(12)

dx

в

котором

правая

часть

есть

произведение , функци

dx и разделить на j( y) . Получаем

dy

= f (x)dx .

(13)

j( y)

Если дифференциалы равны, то их неопределенные интегралы

могут различаться только постоянным слагаемым.

ò

dy

= ò f (x)dx + C .

(14)

j( y)

Если уравнение задано в виде

M (x)N ( y)dx + P(x)Q( y)dy = 0

(15)

достаточно разделить обе части на N ( y)P(x) :

M (x)dx

+

Q( y)dy

= 0 .

N ( y)

P(x)

Откуда получаем общий интеграл

ò

M (x)dx

+ ò

Q( y)dy

= C .

P(x)

N ( y)

Пример 5. Найти общий интеграл дифференциального

уравнения

xdx + ydy = 0 .

РЕШЕНИЕ. Разрешим уравнение относительно производной

dy

= -

x

-

уравнение с разделяющимися переменными.

dx

y

ydy = -xdx Þ ò ydy = - òxdx +C Þ

y2

= -

x2

+C Þ x 2 + y 2 = 2C

2

2

Получили

семейство

окружностей

с

центром в начале

координат

и радиусом r =

2C . Итак,

x2 + y2

= r 2

- общий

РЕШЕНИЕ.

C1

dy

= -

dx

Þ

dy

= -

dx

+ C Þ ln

y

= - ln

x

+ ln C Þ ln

y

= ln

Þ

y

x ò

y ò

x

1

x

, где

Þ y =

C1

, где ln C = C.

x

1

C1

Ответ:

y =

.

x

РЕШЕНИЕ.

dx

dy

ydx + ctgxdy = 0 Þ

+

= 0 Þ -ln

cos x

+ ln

y

= ln C .

y

ctgx

y

Потенцируем

= C Þ y = C cos x

- общее

решение.

cos x

Найдем С из начальных условий.

y(

p

) = C cos

p

Þ C =

-1

= -2 ,

1

3

3 13

y ' = j(

y

) .

(16)

x

А также уравнение вида

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ,

(17)

где

M (x, y) , N (x, y)

являются

однородными

функциями

одного измерения.

f(x,y)

функцияn-го

По определению,

есть

однородная

измерения, если выполняется тождество

f (tx, ty) = tn f (x, y) .

(18)

При n = 0 имеем

f (tx,ty) = f (x, y) .

В

уравнении (16) f (

y

)

является

однородной

функцией

нулевого измерения.

x

Ели ввести новую переменную

u =

y

,

(19)

x

то

уравнение (16) упрощается и приводиться к

уравнению

с

разделяющимися переменными:

y = ux .

Найдем

du

y ' = u + x

dx

и подставим в уравнение (16):

u + x

du

= j(u)

или

dx

xdu = (j(u) -u)dx .

Переменные разделяются,

если

обе

части

разделить

на

x(j(u) -u) , получим

du

=

dx

.

Интегрируя, получим

j(u) -u x

du

= ln

x

+ C .

(20)

òj(u) -u

получим интеграл уравнения (16).

x

Замечание.

При

решении

конкретных

однородных

уравнений не обязательно приводить их

к

(16)виду.

Достаточно убедиться в том, что уравнения принадлежат к

рассматриваемому

типу,

и

непосредственно

применить

подстановку (19). Пользоваться готовой формулой (20) тоже

нецелесообразно.

Замечание.

Если j(u) -u º 0 , то уравнение имеет вид

dy

=

y

x

dx

и

интегрируется

разделением

переменных. Его

общее

решение имеет вид y = cx .

Если j(u) -u

обращается в

нуль

при значении u = u0 , то кроме решений,

даваемых формулой

(20),

существует также решение u = u0

или y = u0 x (прямая

проходящая через начало координат).

Пример 8.

Найти

общий

интеграл

дифференциального

уравнения

dy

2xy

=

.

x2 - y2

dx

РЕШЕНИЕ.

Данное

уравнение

однородное, так

как

f (x, y) =

2xy

является

однородной

функцией

нулевого

x2 - y2

измерения. Действительно,

f (tx,ty) =

2(tx ×ty)

=

t 2

×2xy

=

2xy

,

(tx)2 - (ty)2

t

2 (x2 - y2 )

x2 - y2

то есть f (x, y) = f (tx,ty) .

Делаем

подстановку y = ux ,

dy

= u + x

du

,

уравнение

dx

dx

u + x

du

=

2u

или x

du

=

u + u3

.

dx 1- u2

dx 1-u2

Получили уравнение с разделяющимися переменными

du

=

u(1+ u

2 )

×

1

;

dx

(1

-u2 ) x

(1-u2 )

dx

, ò

(1- u2 )

ò

dx

du =

du =

+ ln C .

u(1+ u2 )

x

u(1+ u2 )

x

Вычисляем

интеграл

в

левой

, частиразлагая

дробно-

рациональную функцию на элементарные дроби

(1-u

2 )

=

A

+

Cu + B

,

+ u2

u(1+ u2 )

u 1

или

u

u

ln

= ln C Þ

= C .

(1+ u2 )x

(1+ u2 )x

Подставляя значение u =

y

и освобождаясь от знаменателя,

x

находим

1

x2 + y2

= C y , где C =

.

1

1

C

dy

x2 + y2

dy

1+ (

y

)

2

=

или

=

x

- однородное уравнение.

dx

2xy

dx

2

y

y

x

Положим

= u, y = xu, y ' = xu '+ u . Тогда

x

1+ u2

1+ u2 - 2u2

1-u2

xu '+ u =

Þ xu ' =

Þ xu ' =

Þ

2u

2t

2u

Þ u ' =

1- u2

×

1

.

2u

x

интегрируем

-ln

1- u2

= ln

x

- ln C ,

потенцируем

x(1-u2 ) = C .

Подставляя u =

y

, получаем

x

x(1-

y2

) = C Þ x

2

- y

2

= Cx - общий интеграл.

x2

Ответ: x2 - y2

= Cx .

II. Рассмотрим уравнение

y ' =

a1x + b1 y + c1

,

(21)

a2 x + b2 y + c2

чисел c1

или c2

не

равно . нулюТогда,

если

определитель D =

a1 b1

¹ 0 , то это уравнение можно привести

a2 b2

к однородному путем введения новых переменныхX ,

Y по

формуле

где x0 и y0 выбираются так,

чтобы

в новых

переменных

уравнение стало однородным.

dY

Действительно, так как dx = dX ,

dy = dY , то

y ' =

.

Подставляя

dX

dY

x = X + x , y = Y + y

, y ' =

0