Учебное пособие 571
.pdf
C8,85 10 12 10 2 = 4,4.10-11 (Ф) = 44 (нФ). 10 2 0,8 10 2
Ответ: C = 44 нФ.
Задача 1.15. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U1 = 500 В. Площадь пластин S = 200 см2, расстояние между ними d = 1,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин (ε = 2). Определить разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика. Определить также емкости конденсатора С1 и С2 до и после внесения диэлектрика.
Дано:
U1 = 500 В
S = 200 см2 = 2·10-2 м2 d = 1,5 мм = 1,5·10-3 м ε = 2
U2 – ? С1 – ? С2 – ?
С = q/U следует
Решение
Так как конденсатор отключен от источника напряжения, то при любых изменениях параметров конденсатора будет выполняться закон сохранения заряда:
q1 q2 |
q const . |
(1) |
Из определения электроемкости
|
|
|
C1U1 = C2U2. |
|
(2) |
|||
Емкость конденсатора С1 и С2 |
до и после внесения ди- |
|||||||
электрика найдем по формулам: |
|
|
||||||
С |
0S |
и С |
|
|
0S |
С . |
(3) |
|
1 |
d |
|
2 |
|
d |
1 |
|
|
Тогда из (2) получаем
U2 U1 , U2 250В.
Подставив числовые значения в выражение (3), вычислим С1 и
С2:
С |
|
8,85 10 12 |
2 10 2 |
. |
-12 |
(Ф) = 118 (нФ), |
|
|
= 11810 |
|
|||
|
|
|
||||
1 |
|
1,5 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С2 = 236 (нФ).
31
Ответ: U2 = 250 В, С1 = 118 нФ, С2 = 236 нФ.
Задача 1.16. Два коаксиальных диска радиусами R1 10см,
R2 5см расположены на расстоянии d 2,4мм друг от друга (рис. 1.14). Диски заряжены равномерно с поверхностной
плотностью равной |
20 мкКл/м2. |
Определить силу элек- |
|||
трического взаимодействия дисков. |
|
|
|||
|
Дано: |
|
|
Решение |
|
|
R1 = 10 см = 0,1 м |
|
Найдя |
площадь |
|
|
R2 = 5 см = 0,05 м |
|
дисков и зная поверх- |
|
|
|
d = 2.4 мм = |
|
ностную плотность их |
|
|
|
= 2,4·10-3 м |
|
заряда, можно найти |
|
|
|
20 мкКл/м2 = |
|
заряды дисков. Однако |
|
|
|
=20·10-6 Кл/м2 |
|
было бы ошибкой вы- |
Рис. 1.14 |
|
|
F – ? |
|
числять затем силу их |
||
взаимодействия по закону Кулона, который применим лишь для точечных зарядов. Можно сначала по закону Кулона найти силу взаимодействия двух бесконечно малых элементов дисков, а затем, суммируя эти силы по обеим плоскостям (т.е. производя двойное интегрирование), определить полную силу взаимодействия дисков.
Однако существует другой, более простой путь решения задачи. Каждый из двух взаимодействующих зарядов находится в поле другого заряда, при этом напряженность поля заряженного диска радиуса R1 в тех точках, где расположен второй диск, можно вычислить, не прибегая к интегрированию. Действительно, все точки диска R2 находятся близко от R1 и
далеко от его краев. Это значит, что диск R1 можно рассматривать как бесконечную, равномерно заряженную плоскость, напряженность которой определяется формулой
E |
|
. |
(1) |
||
|
|
||||
|
2 0 |
|
|||
Выразив из формулы |
q |
заряд диска R2 : |
|||
S |
|||||
|
|
|
|||
32
q |
2 |
S |
2 |
R2 , |
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
||
найдем искомую силу F из соотношения E |
|
: |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
||
|
|
F q2E . |
|
(3) |
||||||||
Подставив в (3) вместо q2 |
и E их значения по формулам |
|||||||||||
(1) и (2), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F R22 |
|
|
|
|
R22 2 |
, |
(4) |
|||||
2 0 |
2 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выполнив вычисления, найдем F 0,18 Н. Примечание. Как видно из формулы (4), сила взаимодей-
ствия дисков не зависит от расстояния между ними. Но это будет, пока выполняется неравенство d R1 R2 и диск R1 можно рассматривать как бесконечную плоскость. При достаточно большом расстоянии между дисками, когда d R1 , заряды дисков можно считать точечными и силу взаимодействия между ними рассчитывать по закону Кулона.
1.7. Работа. Энергия системы зарядов
Задача 1.17. Две частицы, обладающие массами m1 и m2 и зарядами +q1 и +q2, движутся навстречу друг другу, имея вдалеке относительную скорость отн. На какое наименьшее расстояние сблизятся частицы.
Дано: Решение
Рассмотрим движение частиц в какой-либо «лабораторной» системе отсчета, например, связанной с Землей. Полагая систему двух заряженных частиц изолированной, воспользуемся зако-
rmin – ? ном сохранения энергии: W const, где W – полная энергия частиц. Последние обладают в каждый момент времени кинетической энергией, а также потенциальной энергией кулоновского взаимодействия.
33
Когда частицы находятся вдалеке друг от друга, то их потенциальной энергией можно пренебречь.
Тогда полная энергия системы равна:
|
W |
m 2 |
|
m 2 |
(1) |
|
|
1 |
2 |
, |
|||
|
2 |
2 |
||||
|
1 |
|
|
|
||
где 1 |
и 2 – скорости частиц в выбранной системе отсчета. |
|
||||
Так как векторы 1 |
и 2 |
направлены противоположно, то |
||||
значения 1 и 2 связаны с заданной относительной скоростьюотн соотношением:
отн 1 2 |
или отн |
|
|
1 2 . |
(2) |
1 |
2 |
При сближении частиц потенциальная энергия их кулоновского взаимодействия (отталкивания), будучи величиной положительной, начнет увеличиваться. Следовательно, суммарная кинетическая энергия частиц станет уменьшаться. Частицы не могут как угодно близко подойти друг к другу, иначе их потенциальная энергия оказалась бы больше полной энергии W1, что противоречит условию W const.
При наибольшем сближении частиц, когда расстояние между ними равно rmin, полная энергия равна:
W2 |
Wmin |
|
1 |
|
|
q1q2 |
, |
(3) |
4 |
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
r |
|
||
|
|
|
|
|
min |
|
||
где Wmin – кинетическая энергия системы.
Чтобы найти Wmin, учтем, что в момент наибольшего сближения частиц их скорости будут одинаковыми:1min 2min . Действительно, когда скорости частиц неодинаковые, расстояние между ними растет или уменьшается и, следовательно, не является минимальным.
Применив к системе закон сохранения импульса, запи-
шем:
m1 1 |
m2 2 (m1 |
m2) , |
(4) |
где p1 m1 1 m2 2 |
- импульс |
системы |
удаленных частиц; |
p2 (m1 m2) - импульс системы при наибольшем сближе-
нии. При этом вектор предположительно выбран совпа-
34
дающим по направлению с вектором 1 (очевидно, при подсчете кинетической энергии направление скорости несущественно).
Из уравнения (4) имеем:
(m1 1 m2 2) ,
m1 m2
тогда для величины Wmin получим: |
|
|||||
|
(m m ) |
2 |
|
(m m m )2 |
|
|
Wmin |
1 2 |
|
1 1 2 2 |
. |
(5) |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
2(m1 m2) |
|
||
Подставив (5) в (3) и приравняв правые части (1) и (3) на основе закона сохранения энергии, а также учитывая (2), найдем:
rmin q1q2(m1 m22) .
2 0m1m2 отн
Задача 1.18. Четыре одинаковых точечных заряда q расположены на одной прямой на расстоянии r друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы переместить эти заряды в вершины тетраэдра со стороной r? Среда — вакуум.
Дано: Решение
qРабота по переносу за-
rрядов равна разности энергии
ε =1 |
W2 системы зарядов, распо- |
А – ? |
ложенных в вершинах тетра- |
|
эдра (рис. 1.15б), и энергии |
W1 системы зарядов, расположенных на |
|
||||
одной прямой (рис. 1.15а): |
|
|
Рис. 1.15 |
||
|
|
A W2 |
W1 |
|
(1) |
Энергия системы N точечных зарядов определяется фор- |
|||||
мулой |
|
|
|
|
|
W |
1 |
(q q |
q |
... q |
), |
|
|||||
2 |
1 1 2 2 |
3 3 |
n n |
|
|
35
здесь q – заряд в некоторой точке; – потенциал поля в этой же точке, созданного остальными зарядами системы.
Запишем эту формулу применительно к системе четырех зарядов, расположенных на одной прямой:
W |
1 |
(q |
q |
|
q |
|
q |
|
) |
q |
( |
|
|
|
|
|
|
), |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
2 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
||
здесь 1 , 2 , 3 , 4 – потенциалы поля, созданного в точках 1,
2, 3, 4 остальными зарядами, не считая того заряда, который находится в данной точке.
Потенциал 1 поля в точке 1, созданного зарядами в точках 2, 3, 4, равен:
1 |
|
|
|
q |
|
|
|
q |
|
|
|
|
q |
|
|
|
11q |
. |
(3) |
|||||||
|
4 0r |
|
|
|
|
|
4 03r |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 0 2r |
|
|
|
|
|
24 0r |
|
|||||||||||||
В силу симметрии 4 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||||||
Потенциал 2 |
поля в точке 2, созданного зарядами в точ- |
|||||||||||||||||||||||||
ках 1, 3, 4 равен: |
q |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
5q |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(5) |
|||||||||
|
4 0r |
|
|
|
|
4 0 2r |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|
|
8 0r |
|
|||||||||||||
В силу симметрии 3 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||||||
Подставим (3)-(6) в (2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
11q |
|
|
|
|
5q |
|
|
|
|
|
13q2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
(7) |
||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
24 0r |
|
|
|
8 0r |
|
12 0r |
|
||||||||||||||
Теперь определим энергию системы зарядов W2 , расположенных в вершинах тетраэдра. Очевидно, что энергия заряда в одной вершине W2,1 равна:
1
W2,1 2 q3 1,5q ,
где – потенциал поля, созданного в этой вершине каждым из остальных трех зарядов.
В силу симметрии вся энергия этой системы четырех зарядов будет в четыре раза больше:
36
W 4W |
6q , |
где |
|
q |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
2,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поэтому |
|
W 6q |
q |
|
|
|
3q2 |
. |
(8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
4 0r |
|
|
2 0r |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поставим (7) и (8) в (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
A |
3q2 |
|
|
13q2 |
|
5q2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 0r |
|
|
|
|
|
12 0r |
|||||||||
|
|
|
|
|
12 0r |
|
||||||||||||
Ответ: |
|
5q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
12 0r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 1.19. В однородное электростатическое поле напряжённостью E0 = 700 В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пластину толщиной d = 1,5мм, площадью S = 200 см2 и относительной диэлектрической проницаемостью = 7. Определить: 1) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию электростатического поля, сосредоточенную в пластине.
Дано: |
|
|
Решение |
|
|||
E0 = 700 В/м |
|
Зная 0 и , выражаем на- |
|||||
= 7 |
пряжённость поля в стекле и элек- |
||||||
d = 1,5мм = 1.5.10-3 м |
трическое смещение: |
|
|||||
S = 200 см2 = |
|
E |
E0 |
, D 0 E . |
|
||
= 2 10 2 м2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
`-? |
|
|
|
||||
|
Тогда поверхностная |
плот- |
|||||
W -? |
|
||||||
|
|
|
|||||
|
ность ( ) связанных зарядов равна: |
||||||
P D E 0 |
( 1)E |
0( 1)E0 |
. |
(1) |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергию электростатического поля, сосредоточенную в пластине, можно найти через объемную плотность энергии электрического поля и объём:
37
|
|
E2 |
|
|
0 |
E2 |
|
|
W |
0 |
|
Sd |
|
0 |
Sd . |
(2) |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|||
Подставив числовые значения в выражения (1) и (2), получим:
8,85 10 12 (7 1) 700 = 5,31 (нКл/м2); 7
W 8,85 10 12 7002 2 10 2 1,5 10 3 = 9,29 (нДж). 2 7
Ответ: = 5,31 нКл/м2; W 9,29 нДж.
Задача 1.20. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом ( 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Определить: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое смещение; 3) напряжённость электростатического поля в стекле; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объёмную плотность энергии электростатического поля в стекле.
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
||||||||||||
7 |
Давление пластин конденсатора на стекло равно |
||||||||||||||||||||
P 1 Па |
|
|
|
|
P |
|
F |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
||||
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2S |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D ? |
где |
|
F |
qE1 |
q |
|
|
. |
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
E ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
2 0 |
|
||
` ? |
Подставив выражение (2) в (1), получим |
|
|||||||||||||||||||
w-? |
|
P |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 0P |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Электрическое смещение равно |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
D 0E и D , |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||
следовательно, |
|
|
E |
|
D |
. |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
38
Поверхностная плотность связанных зарядов на стекле равна поляризованности:
|
|
P x 0E; |
P D 0E 0( 1)E . |
(6) |
|||||||
|
Объёмная плотность энергии электрического поля в |
||||||||||
стекле равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
w |
|
|
0 |
E2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
(7) |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив числовые значения, получим: |
|
||||||||||
|
|
|
|
=11,1 (мкКл/м2); |
|
||||||
|
|
2 8,85 10 12 7 1 |
|
||||||||
D 11,1 мкКл/м2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
11,1 10 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
179 (кВ/м); |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8,85 10 12 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8,85 10 12(7 1) 179 103 |
|
9,5 (мкКл/м2); |
|
||||||||
w |
8,85 10 12 7 (179 103)2 |
0,992 (Дж/м3). |
|
||||||||
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 11,1 мкКл/м2, D 11,1 мкКл/м2, E = 179 кВ/м,
9,5 мкКл/м2, w 0,992 Дж/м3.
Задача 1.21. Две концентрические сферы радиусами R1 = 20 см и R2 = 50 см заряжены соответственно одинаковыми зарядами q = 100 нКл. Определить энергию электростатического поля, заключённого между этими сферами.
|
Дано: |
Решение |
|
R1 |
= 20 см = 0,2 м |
Разобьём пространство |
|
R2 |
= 50 см = 0,5 м |
между сферами на от- |
|
q1 = q2 = q = |
дельные концентриче- |
||
= 100 нКл = 10-7 Кл |
ские сферы бесконечно |
||
1 |
малой толщины |
dr с |
|
W ? |
внутренним радиусом |
||
|
|
r и внешним r |
(рис. 1.16). |
|
|
||
Рис. 1.16
Воспользуемся формулой для определения объёмной плотности энергии электростатического поля
39
|
|
w |
E2 |
, |
(1) |
|
|
|
0 |
||||
|
q |
2 |
||||
|
|
|
|
|||
где E |
, тогда энергия электростатического поля, за- |
|||||
4 0 r2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
ключённого между сферами, может быть определена путём интегрирования:
|
W wdV , dV 4 r2dr . |
|
|
|
(2) |
||||||||
Используя выражения (1) и (2), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R2 |
q2 4 r2dr |
|
q2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
W |
0 |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
). |
(3) |
2(4 |
0 |
)2 2r4 |
8 |
|
R |
R |
2 |
||||||
R |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив числовые значения в выражение (3) и вычислив, найдём
W |
10 7 |
|
|
1 |
|
1 |
) 135 (мкДж). |
|
|
|
|
( |
|
|
|
||
8 3,14 8,85 10 |
12 1 |
|
0,5 |
|||||
|
0,2 |
|
|
|||||
Ответ: W 135 мкДж.
2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 2.1. Два точечных положительных заряда q1 и q2 помещены на расстоянии l друг от друга. Где надо поместить третий точечный заряд q3 , и каким он должен быть по модулю и знаку, чтобы все три заряда оказались в равновесии?
Ответ: |
|
q3 |
|
q1q2 |
|
|
|
|
2 |
; q3 - отрицательный заряд. |
|
|
q1 |
q2 |
Задача 2.2. В вершинах правильного шестиугольника со стороной a = 10 см расположены точечные заряды q, 2q, 3q, 4q, 5q, 6q (q = 0.1 мкКл). Найти силу F, действующую на точечный заряд q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный от его вершин.
6q2
Ответ: F 54мН. 4 0a2
40