Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 551

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

470.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

126) å(-1 n)+1n10e-n .

n=1

¥	n+1	2n
127) å(-1 )				.
127) å(-1 )		3n +	2	.
n=1		3n +	2

n+1

(-1 )

(-1

) ln n

(-1 )

128) å

. 129)

130) å

n=1

1000n +1

n=2

n ln n

(-1 n)+1

n+1 (n -1)2

131) å

132) å(-1 )

n=1

2n - arctgn

n=1

n+1

arctgn

ln n

133) å(-1 )

134) å(-1 )

n=1

n2 +1

n=2

n n

4.12. Найти область сходимости функционального ряда:

(-1n

) .

135)

136) å

137)

n=0

n=1 x

n=1

-1

¥ æ x (x + n)ön

æ1+ 2x ön

138) åç

139) å

. 140) å

÷ .

n=1 è

n=1 1+ x

n=1 n

+1 è 1+ 3x ø

æ1 + 2x ön

n -1 æ x ön

141)

÷ . 142) å(-1 )

÷ .

n (n +1)

n=1

è 4

+ x ø

n=2

è 3x -1

(-1 n)+1 æ 2 + 3x ön

(-1 n) æ 1+ x ön

143)

÷ .

144) å

÷ .

n=1

3 + x ø

n=2

n - ln n è 3 + 2x ø

æ1- x ön

ln x

145)

÷ .

146) å

147)

ån

1- x

n=1

ln (1+ n)è

1+ x ø

n=1

n=2

cos nx

148)

149) åtg

. 150) åxn sin

, a >1 .

n=1

n=0

¥ cos nx

æ x + 5 ön

1 æ 2x +1 ön

151) å

, a >1. 152) å

÷ . 153) å

÷ .

+ 3

n=0

n=2 n ln n

è x

n=0

è x + 5

4.13. Найти множество сходимости степенного ряда:

¥¥

154) åxn . 155) å5n xn .

n=0	n=0
¥	¥
157) å(n +1)2 xn .	158) å
n=0	n=1

			¥	n), a ¹ 0 .
156) å(ax
			n=0
x	n		¥		x	n
		.	159) å				.
					n - ln n
ln n			n=2

¥(x -1)n

160)å 2n +1n=0

¥n5 xn

163)å n + 2 .n=1


	¥			¥		x	n
. 161) ån!xn .				162) å				.

	n=1				n=1 n!
¥		x	n	¥			(2n)!!x		n
164) å					. 165) å				.
		( n +1)		n				n!
n=0					n=1

166)

. 167)

(x -5) . 168) å

. 169) åe-n xn .

n=1

n + 5

n=1

×10

n=1

4.14. Применяя

почленное

дифференцирование

или

интегрирование, найти сумму ряда:

x +

171) x -

170)

+...

+ ...

x +

172)

+...

173)

+ ...

175) x -

174)

+ ...

176) 1+ 2x + 3x2 + 4x3 +...

177) 1-3x2 + 5x4 - 7x6 +...

178) 1- 2x + 3x2 - 4x3 +...

4.15. Написать разложение функции в степенной ряд с центром в точке x0 = 0 и найти множество сходимости полученного ряда:

	shx =					ex - e- x						. 180) chx =												ex			+ e-x											x
179)																														. 181) a									, a > 0, a ¹1.
179)								2																		2				. 181) a									, a > 0, a ¹1.
								2																		2
182)		x2e-2 x . 183)													sin x2 .						184)							sin2 x.							185)				cos2 x.
186)	sin3 x.							187)							1		.				188)								1		.			189)							1			.
186)	sin3 x.							187)				1- x2					.				188)						1+ x4				.			189)										.
												1- x2															1+ x4												1+ 2x
				3											1														1														5x -1
190)							.	191)												. 192)												.		193)											.
190)			4 - x				.	191)						3 + 2x						. 192)						2 + 3x2						.		193)						x2 - 5x + 6					.
194)				2x + 3									195)							x - 7									196)						ln (1- x						2		).
										.																	.
		x2 - 4x + 3								.									6 - x - x2								.
197)	ln 5				1+ x				. 198)							ln		1+ 3x					.		199) ln (1+ 5x).
197)	ln 5								. 198)							ln							.		199) ln (1+ 5x).
					1- x												1-3x									)											2x +1
	ln (5 + 2x).																(									)											2x +1
200)	ln (5 + 2x).										201)						ln 1+ 2x2											.	202)						ln							.
		ln (x2 -5x + 4). 204)																																			3x +1
203)		ln (x2 -5x + 4). 204)																				ln (x2 -10x + 9).
205)		ln		(	6	+ x - x2						)		.	206)								ln		(								)		.
205)		ln		(	6	+ x - x2						)		.	206)								ln		1- x + x2										.
207)		ln		(								)	.		208)						1+ x2 .								209)						5 1+ x.
207)		ln		1+ x + x2									.		208)						1+ x2 .								209)						5 1+ x.
210)			3 27 + x . 211)														1					. 212)									1					.
210)			3 27 + x . 211)																			. 212)														.
																4 - x2														9 + x2

213) x arcsin x . 214) x2arctgx . 215) arctg x .

				217) ln (3x +		1+ 9x2 ).	2
216)	arcsin 3x .
	x	sin t		x	arctgt	x	et -1
218)	ò		dt .	219) ò		dt . 220) ò		dt .
		t			t
	0			0		9	t

4.16. Написать разложение функции в степенной ряд с центром в точкеx0 и найти множество сходимости полученного ряда:

221)		x3 - x, x = -1 .						222)			ex , x				= -2 .		223)		1	, x = -3 .
221)		x3 - x, x = -1 .						222)			ex , x			0	= -2 .		223)			, x = -3 .
	0													0					x			0
																	1		x
224)		x, x = 4 .			225)			3	x, x		= -1. 226)						1					, x = -3 .
224)		x, x = 4 .			225)				x, x		= -1. 226)							2 - x - x2				, x = -3 .
	0									0								2 - x - x2				0
227)	1				, x0 = -4 .							228) ln x, x0 =1.
227)		x2 + 3x + 2			, x0 = -4 .							228) ln x, x0 =1.
229) sin 3x, x = -						p	.230) sin					p x	, x			= 2 . 231) sin					p x		, x =1 .
229) sin 3x, x = -							.230) sin						, x			= 2 . 231) sin							, x =1 .
	0				3						4				0							3		0
					3						4											3
4.17. Вычисть с точностью до 10-3 :
232)	3 10 .				233)			e .		234)				3 30 .				235) sin18o .
			1		1 2				sin x								1
236) arcsin			1	.	237)			ò	sin x	dx.					238)			òe-x2 dx.
236) arcsin				.	237)			ò		dx.					238)			òe-x2 dx.
	3							0	x								0
	3 2								3				1				1 2
239)		ò x6 sin xdx. 240) òarc tg											1		dx.	241) ò			xex dx.
239)		ò x6 sin xdx. 240) òarc tg											x		dx.	241) ò			xex dx.
	0								2				x				0

4.18.Вычислить с точностью до 10-4 :

242)ln 3. 243) ln 6.

244)

Вычислить значение 2 с

точностью

до 10-5 ,

исходя из его представления в виде

0, 04

1 ö-

б) 2 =

2 =1, 4 1+

1, 4

ç1

1,96

50 ø

119

ö-

в)

2 =1, 41ç1-

2000

и сравнить объём проведённых вычислений в каждом случае. 4.19. Найти п первых членов разложения в степенной ряд

¥
åan (x - x0 )n	решения	дифференциального	уравнения	с
n=0

заданными начальными условиями:

245)y ' = y2 - x, x0 = 0, y(0) =1, n = 5.

246)y ' = x2 - y2 , x0 = 0, y(0) =1, n = 5.

247)y ' = x3 + y2 , x0 = 0, y(0) =1, n = 5.

248)	y ' = x +	1	, x = 0, y(0) =1, n = 4.

		y	0

249)y ' = 2x + cos y, x0 = 0, y(0) = 0, n = 4.

250)2 y '- (x + y) y - ex = 0, x0 = 0, y(0) = 2, n = 4.

4.20. Найти частное решение дифференциально уравнения в окрестности точкиx=0 в виде степенного ряда с центром в нуле:

251)xy ''+ y '+ xy = 0, y(0) =1, y '(0) = 0.

252)xy ''+ y '- xy = 0, y(0) =1, y '(0) = 0.

253)xy ''- xy '- y = 0, y(0) = 0, y '(0) =1.

254)x2 y ''+ xy '+ x2 y = 0, y(0) =1, y '(0) = 0.

4.21.Разложить функцию f (x) в тригонометрический ряд

Фурье на заданном отрезке:

255)f (x) = x sin x на [-p ;p ].

256)f (x ) = x cos x на [-p ;p ].

257)	f (x )= íìb x,	-p < x £ 0,					на [-p ;p ].
	îa x,	0		< x < p
	ì					p
	ïx,	0		< x £			,
	ïx,	0		< x £			,
258)	f (x )= íï		p			2	на [0;p ].
	ïp - x,		p		< x < p
	ïp - x,				< x < p
	ï	2
	î	2

259)

f (x )= íì1,

-p < x £ 0,

на [-p ;p ] .

î1- x,

0 < x < p

260)

f (x )= íìx,

-1 £ x < 0,

на [-1;1].

îx +1,

0 £ x £1

261)

f (x) = x2

на [-p ;p ] .

262) f (x) = x2 на [0; 2p ] .

263)

f (x) = x2

на [0;p ] .

264)

0 < x < p,

на [-p ;p ] .

f (x )= íïx

ï-x2

, -p < x < 0

265)

f (x )= íì0,

-p < x < 0,

на [-p ;p ] .

îx2 ,

0 < x < p

ì1,

< 2,

266)

f (x )= íï

на [-p ;p ].

2 £ x £ p

ï0,

267)

f (x )= íì1,

0 < x < 2,

на [0; 2p ].

î0,

2 £ x £ 2p

268)

f (x) = sign (sin x) на [-p ;p ].

269)

f (x )= íì0,

-p £ x £ 0,

на [-p ;p ].

îsin x,

0 < x £ p

ï0,

£ p,

270)

f (x )= íï

на [-p;p ].

ïcos x,

271)

f (x) = sin5 x

на [-p ;p ].


272)	f (x) = cos4 x на [-p ;p ] .
273)	f (x) = arcsin (cos x)		на [-10p;10p ] .
274)	f (x) = arcsin (sin x)		на [6p; 20p ] .
275)	f (x) = chx	на [-p ;p ] .
276)	f (x) = shx	на [-p;p ] .

277)f (x) = sin x

278)f (x) = cos x

	é			p				p ù
на	ê	-				;				ú.
				2
	ë						2 û
на		é			p				p		ù
		ê	-				;				ú.

		ë		2			2				û

279)	f (x) = cos x	на [0;p ].
280)	f (x )= íì-1,	- c < x £ 0,		на [-c; c] .
	î1,	0	< x < c
281)	f (x )= íì0,	- c < x £ 0,		на [-c; c] .
	î1,	0 < x < c

282)f (x) = x на [-c; c] .

283) f (x )= íìx,	0 < x £ c, на [-c; c] .
î0,	- c < x £ 0

284)f (x) = x на [-c; c] .

285)f (x) = x2 на [-1;1].

286)f (x) = x2 на [0; 2] .

287)f (x ) = c2 - x2 на [-c; c] .

288) f (x) = ea x , a ¹ 0 , на [0; 2] .

4.22. Разложить функцию f (x)в ряд Фурье на заданном отрезке по косинусам:

289)f (x) = sin x на [0;p ] .

290)f (x ) = x cos x на [0;p ] .

291)	f (x ) = e2 x на [0;p ] .
292)	f (x) = sin 2x на [0;p ] .

293)f (x) = x, (0 < x < 4) .

4.23. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на заданном

отрезке по синусам:		на [0;p ] .
294)	f (x) = cos x	на [0;p ] .
295)	f (x) =1, (0 < x <1)
296)	f (x) = x sin x	на [0;p ] .
297)	f (x ) = eax	на [0;p ] .

298)f (x) = sin ax , a - не целое, на [0;p ] .

299) f (x) = shax на [0;p ] . 300) f (x) = x2 , (0 < x < 2p ) .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

2. Кудрявцев .ЛД. Краткий курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. – Альфа, т. 1, 1998. - 687с., т. 2, 1998. – 584с.

3.Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.: Высшая школа, 1999. - 695с.

4.Пискунов П.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / П.С. Пискунов. – М.: Наука, т. 1, 2001. — 415с.,

т.2, 2001. — 544с.

5.Демидович Б.П. Основы вычислительной математики /

Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Наука, 1986.

6.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.:

Наука, 1987. — 350с.

7.Щипачев B.C. Высшая математика / В.С. Щипачев. —

М.: Высш.школа, 2003. - 479 с.

8.Баврин И.И. Высшая математика / И.И. Баврин. — М.:

Высш. школа, 2001.- 616 с.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика"

для студентов направления 20.03.01 "Техносферная безопасность" («Защита в чрезвычайных ситуациях»,

«Безопасность жизнедеятельности в техносфере»,

«Защита окружающей среды») очной формы обучения.

Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич

В авторской редакции

Компьютерный набор И.Н. Пантелеева

Подписано к изданию 17.11.2015.

Уч. – изд. л. 3,2

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022469.24 Кб2Учебное пособие 547.pdf
#
30.04.2022469.32 Кб2Учебное пособие 548.pdf
#
30.04.2022469.87 Кб2Учебное пособие 549.pdf
#
30.04.2022251.14 Кб1Учебное пособие 55.pdf
#
30.04.2022470.53 Кб2Учебное пособие 550.pdf
#
30.04.2022470.54 Кб2Учебное пособие 551.pdf
#
30.04.2022470.8 Кб4Учебное пособие 552.pdf
#
30.04.2022471.37 Кб3Учебное пособие 553.pdf
#
30.04.2022471.87 Кб2Учебное пособие 554.pdf
#
30.04.2022472.01 Кб2Учебное пособие 555.pdf
#
30.04.2022472.13 Кб3Учебное пособие 556.pdf