Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 518

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

455.93 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Так как изображением функции h(t)

является F ( p) =

то, используя теорему запаздывания, получим h(t - 5) Û

e-5 p

Пример2. Найти изображение функции

f (t) =h(t - 2) sin2 (

t - 2

Решение.

t - 2

1 - cos(t - 2)

f (t) =h(t - 2) sin 2 (

) = h(t - 2)

h(t - 2) -

h(t - 2) cos(t - 2) Û

e-2 p -

e-2 p =

e-2 p (

2 p

2 p2 +1

p p2 +1

e-2 p

2 p( p2

+1)

Пример 3. Найти изображение функции

f (t) =h(t -

)sin t.

Решение. Представим функцию

f (t) в виде

f (t) = h(t -

) sin t

= h(t -

)

(sin(t -

) + cos(t -

)) =

=2 (h(t - p ) sin(t - p ) +h(t - p ) cos(t - p )).

pe-

2e-

p (1 + p)

Тогда F ( p) =

(

) =

2( p2 +1)

2 p2

+1 p2

6. Дифференцирование оригинала

Если

f (t) Û F ( p)

существует

функцияf '(t) ,

являющаяся оригиналом, то

f '(t) Û pF ( p) - f (0) , где f (0) = lim f (t) .

t ®0+

Предположим

теперь,

что

f (t) n -раз

непрерывно

дифференцируемая

на [0, ¥)

функция и f (n ) (t)

является

оригиналом.	Тогда, используя				полученное		соотношение
f '(t) Û pF ( p) - f (0) , получим:
f "(t) Û p( pF ( p) - f (0)) - f '(0) = p 2 F ( p) - pf (0) - f '(0);
f "'(t) Û p( p2 F ( p) - pf (0) - f '(0)) - f "(0) = p3 F ( p) -
- p2 f (0) - pf '(0) - f "(0);
f (n) (t) Û pn F ( p) - pn-1 f (0) - ... - f ( n-1) (0).
Следствие.	Если	начальные			условия нулевые, то есть
f (0) = f '(0) = ... = f (n ) (0) = 0 , то			f (n ) (t ) Û pn F ( p).
Пример 1. Зная, что sin wt Û					w	, найти изображение

				p2	+ w2
для функции coswt .
Решение. Так как (sin wt) ' = w coswt , то
w coswt Û p		w	- sin 0 =			pw	.
		p2 + w2				p2 + w2

Отсюда: coswt Û p2 + w2 .

Пример 2. Найти изображения дифференциальных выражений при заданных начальных условиях:

а) x '"(t) + 6x "(t) + x '(t) - 2x(t); x(0) = x '(0) = 0; x"(0) = 1; б) x"(t) + 5x '(t) - 7x(t) + 2; x(0) = a; x '(0) = 0.

Решение. По теореме дифференцирования оригинала имеем:

а) x '(t) Û pX ( p) - x(0) = pX ( p);

x "(t) Û p2 X ( p) - px(0) - x '(0) = p 2 X ( p);

x '"(t) Û p3 X ( p) - p2 x(0) - px '(0) - x"(0) = p3 X ( p) -1.

Тогда

x '"(t) + 6x"(t) + x '(t) - 2x(t) Û p3 X ( p) -1 + 6 p2 X ( p) + pX ( p) - -2 X ( p) = ( p3 + 6 p2 + p - 2) X ( p) -1.

б) x '(t) Û pX ( p) - x(0) = pX ( p) - a;

x"(t) Û p2 X ( p) - px(0) - x '(0) = p2 X ( p) - pa.

Тогда

x "(t) + 5x '(t) - 7x(t) + 2 Û p2 X ( p) - a p + 5 pX ( p) - 5a - 7 X ( p) + + 2 = ( p2 + 5 p - 7) X ( p) - pa - 5a + 2 .

p		p
7. Интегрирование оригинала
	t
Еслиf (t) Û F ( p) , то	ò f (t)dt		является оригиналом и
	0
	t		F ( p)
имеет место соотношение	ò f (t)dt Û		F ( p)	.
имеет место соотношение	ò f (t)dt Û			.
	0		p

Таким образом, интегрирование оригинала соответствует делению на p изображения подынтегральной функции.

							t
Пример 1. Найти изображение оригинала							f (t) Û òsh 5tdt .
							0
Решение. Так как sh 5t Û		5		, то
Решение. Так как sh 5t Û	p2 + 25			, то
t		5
òsh 5tdt Û		5				.
òsh 5tdt Û			2		+ 25)	.
0			p( p		+ 25)
							t
Пример 2. Найти изображение оригинала							f (t) = òsin2 wtdt .
							0

Решение.

f (t) = òsin2

Тогда F ( p)

Преобразуем								f (t) следующим образом:
				1		t				1	t	t
wtdt =				1		ò(1 - cos 2wt)dt =				1	(ò1× dt -òcos 2wtdt) .
wtdt =						ò(1 - cos 2wt)dt =					(ò1× dt -òcos 2wtdt) .
		2				0			2		0	0
=	1	(	1		-		p		) .
=		(			-		p2 + 4w2		) .
2			p2				p2 + 4w2

8. Дифференцирование изображения

Еслиf (t) Û F ( p) , то F '( p) Û -tf (t) .

Следствие.

Используя

это

свойство

легко

получить

следующие соотношения:

t2 f (t) Û F "( p); - t3 f (t) Û F "'( p);

... (-1)n tn f (t) Û F (n ) ( p).

В частности, если

f (t) =h(t) , то (-1)n tn Û (

)(n)

(-1)n n!

pn+1

Таким

образом, t

pn+1

Пример. Найти изображение функций:

а) f (t) = te5t ;

б) f (t) = t2 sin 3t.

Решение.

а) Так как изображение оригинала e5t

то

p -

-te5t Û (

) ' = -

. Или te5t Û

( p - 5)2

p - 5

б) Имеем sin 3t Û

. Тогда по следствию

+ 9

sin 3t Û (

)" = -(

6 p

) ' =

-6(( p2 + 9)2 - 2( p2+ 9) ×2 p2 )

( p2 + 9)2

( p2 + 9)4

p2 + 9

-6( p2 + 9 - 4 p

2 )

18( p2 - 3)

( p2

+ 9)3

( p2 + 9)3

9. Интегрирование изображения

Еслиf (t) Û F ( p) и f (t) является оригиналом, то имеет

место соотношение

f (t)

òF ( p)dp.

Пример 1. Найти изображение функции

sh t

Решение.

Известно,

что

Тогда

sh t Û

-1

sh t

p -1

p +1

= lim

p2 -1

-1

p +1

p -1

b®+¥

b®+¥ 2

sh t

p +1

Таким образом,

p -1

Пример 2. Найти изображения функций:

1. Si(t) = ò

sint

dt (интегральный синус).

sh u

2. sh i(t) = ò

du (интегральный гиперболический синус).

Решение.

1. Из соотношения sin t Û

, по теореме интегрирования

sin t

изображения,

имеем

= arctg p

= arctg

Отсюда,

по

теореме

p p

интегрирования

оригинала, получим

Si(t) = ò

sint

dt Û

arctg

2. Имеем i sh i(t) = Si(it) Û

arctg

Arth

или

sh i(t) Û

p +1

p -1

10. Свертка функций. Свойства свертки. Изображение свертки

1) Пусть

f1 (t) и f2 (t)

− непрерывные функции на [0, ¥) .

Определение.

Сверткой

функцийf1 (t)

f2 (t) ,

t Î[0, ¥) называется функция от t , обозначаемая

f1 (t) * f2 (t) и

определяемая интегралом вида ò f1 (t ) f2 (t -t )dt , то есть

f1 (t) * f2 (t) = ò f1 (t ) f2 (t -t )dt .

Пример. Найти свертку функций

f1 (t) = t, f2 (t) = sin 3t .

Решение.

f1 (t) * f2 (t) = òt sin 3(t -t )dt =

t = u

du = dt

cos 3(t - t )

sin 3(t -t )dt = d v

v =

cos 3(t -t)

òcos 3(t -t )dt =

sin 3t.

2) Свойства свертки.

а) коммутативность:

Выражение для свертки функций не зависит от порядка, в котором берутся эти функции, то есть

		f1 (t) * f2 (t) = f2 (t) * f1 (t)
	t	t
или	ò f1 (t ) f2 (t -t )dt = ò f2 (t ) f1 (t -t )dt .
	0	0

б) ассоциативность: ( f1 * f2 ) * f3 = f1 * ( f2 * f3 ) . в) рефлексивность: ( f1 + f2 ) * f3 = f1 * f3 + f2 * f3 .

г) если f1 (t)

f2 (t) − оригиналы,

то

их

свертка f1 * f2 −

тоже оригинал.

Пример.

Для

оригиналов f

(t) = t, f

(t) = e2t

проверить

свойство коммутативности свертки.

Решение. Найдем

t = u

du = dt

-2t

f1 (t) * f2 (t) = òt e2(t -t ) dt =

e-2t

= (t

dt = d v v =

- 2

-2

-2t

òe-2t dt )e2t

= e2t (

(e-2t

-1)) = -

e2t

-2

Аналогично

f2 (t) * f1 (t) = ò(t -t)e2t dt = t òe2t dt -òte2t dt = t

e2t

0 - (t e

òe2t dt ) =

e2t

= -

e2t -

Таким образом,

f1 (t) * f2 (t) = f2 (t) * f1 (t) .

3) Теорема умножения изображений.

Еслиf (t) Û F ( p)

(t) Û F ( p) ,

то свертке

функций

f1 (t) * f2 (t) соответствует произведение изображений.

f1 (t) * f2 (t) Û F1 ( p) × F2 ( p), Re p > max(s0 ', s0 ") , где

s0 ', s0 " −

показатели роста оригиналов f1 (t)

и f2 (t) .

свертки

следующих

Пример.

Найти

изображение

оригиналов:

(t) = et sin t;

а) f (t) = t2

, f

(t) = cos 2t;

б)

(t) = t, f

в) òtet -t sin(t -t )dt.

Решение. а) Так как t2

; cos 2t Û

, то

p2 + 4

* f

p2 + 4

б) Аналогично

t Û

; et

sin t Û

, поэтому

( p -1)2

f1 (t) * f2 (t) Û

p2 ( p2 - 2 p + 2)

в) Данный интеграл можно рассматривать как свертку

оригиналов

f (t) = t

(t) = et

sin t .

Известно, что

t Û

; et sin t Û

, и, следовательно,

( p -1)2

òt et -t

sin(t -t )dt

( p

- 2 p + 2)

11. Интеграл Дюамеля

Пустьf1 (t) и f2 (t)

−

оригиналы, непрерывные

дифференцируемые

на

[0, ¥) ,

f1 '(t), f2 '(t)

являются

оригиналами. Тогда, если

f1 (t) Û F1 ( p) и f2 (t) Û F2 ( p) , то

f1 (t) × f2 (0) + ò f1 (t ) f2 '(t -t)dt Û pF1 ( p) × F2 ( p) .

Эта

формула

называется

формулой

Дюамеля

применяется для решения дифференциальных уравнений с

постоянными	коэффициентами. Интеграл, стоящий			слева,
называется	интегралом	Дюамеля. В	силу	свойства

коммутативности свертки формула Дюамеля может быть записана также в виде

f2 (t) × f1 (0) + ò f2 (t) f1 '(t -t )dt Û pF1 ( p) × F2 ( p) ;

f1 (t) × f2 (0) + ò f1 (t -t) f2 '(t )dt Û pF1 ( p) × F2 ( p) ;

0 t

f2 (t) × f1 (0) + ò f2 (t -t ) f1 '(t)dt Û pF1 ( p) × F2 ( p) .

Пример 1. f (t ) = 1 + sin 3t - 2 cos 4t + 3e-2t . Найти F ( p) .

Решение. Используя теорему линейности и формулы соответствия, получим

F ( p )=	1	+	3	- 2 ×	p	+	3	.

	p p2 + 9				p2 +16 p + 2

Пример 2. f (t ) = e-t ×sin 2t ×sin 4t . Найти F ( p).

Решение. sin 2t ×sin 4t = 12 (cos 2t - cos 4t ).

Используя теорему линейности, теорему затухания и формулы соответствия, получим

F ( p )=	1	×		p +1		-	1	×	p +1	.
			( p +1)2 + 4
2						2			( p +1)2 +16
Пример 3. f (t )=			sin	4t	. Найти F				( p).
			t

Решение. sin 4t Û p2 +16 .

Используя теорему об интегрировании изображения, находим

sin	4t		¥	4
		Û	òp				dp = lim
t				p2 +16
								N ®¥
				=	p	- arctg		p	=

				2			4

Пример 4. f (t ) = t 2 × cos t .

Решение. cos t Û p2 +1 .

N	4		p
òp		dp = lim arctg
	p2 +16	N ®¥	4

arcctg p . 4

Найти F ( p).

Используя теорему

дифференцировании изображения, находим

+1 - 2 p × p

ö¢

1 - p

ö¢

p ö

= ç

× cos t Û (-1 ) × ç

( p2

+1)

(1 + p2 )

èç

ø÷

èç

ø÷

=	(	2	)	2			(		2		)	(		2	)	= 2 p - 6 p .
	-2 p 1 + p	2			- 2 p p				2		+1 × 2 1 - p			2			3
	-2 p 1 + p				- 2 p p						+1 × 2 1 - p


					(	p2		)		4						(	p2	)	3
					(			)								(		)
							+1											+1
Если	функция				f (t )			задана					разными				выражениями на

разных промежутках, то ее надо предварительно представить

	n	(t -tk )h (t -hk ),
в	виде å fk	(t -tk )h (t -hk ),				а	затем	воспользоваться
	k =1
теоремой запаздывания.
	Пример 6.	Найти F ( p),			если		оригинал	f (t ) задан
графиком (рис. 4).
		f (t)
		f (t)
		3
		1

			3		5		t
			3		5
	Решение.			Рис. 4
	Решение.				ì	0,	t < 0,
					ì	0,	t < 0,
					ï	1,	0 £ t < 3,
	В аналитической форме f (t )= íï					1,	0 £ t < 3,
					ït - 2,		3 £ t < 5,
					ï	3,	t ³ 5.
					î	3,	t ³ 5.

Заметим, что на интервале [3,5) уравнение прямой найдено

по формуле

t - t

f (t ) - f (t1 )

)Þ

t - 3

f (t ) -1

Þ f (t )= t - 2 .

f (t

)- f (t

- t

5 - 3

3 -1

Имеем

f (t ) = {h (t ) -h (t - 3)}+ (t - 2){h (t - 3)-h (t - 5)}+

+3h (t - 5)=h (t ) +h (t - 3)(t - 3)- (t - 5)h (t - 5) Û

+ e-3 p

- e-5 p

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022455.23 Кб2Учебное пособие 513.pdf
#
30.04.2022455.53 Кб4Учебное пособие 514.pdf
#
30.04.2022455.69 Кб7Учебное пособие 515.pdf
#
30.04.2022455.79 Кб4Учебное пособие 516.pdf
#
30.04.2022455.91 Кб6Учебное пособие 517.pdf
#
30.04.2022455.93 Кб5Учебное пособие 518.pdf
#
30.04.2022456.18 Кб29Учебное пособие 519.pdf
#
30.04.2022248.32 Кб4Учебное пособие 52.pdf
#
30.04.2022457.06 Кб4Учебное пособие 520.pdf
#
30.04.2022457.09 Кб5Учебное пособие 521.pdf
#
30.04.2022459.23 Кб5Учебное пособие 522.pdf