Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 491

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

443.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Фактически необходимо каждый элемент строки матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый элемент столбца матрицы B (стоящей справа).

Пример: Найти произведение матриц АВ:

	−1		1		1	− 2
A =		0	4
				и B =			.
					3	4
		2	1

Решение. Размер матрицы A− 3x2, матрицы В− 2х2. Число строк матрицы А и число столбцов матрицы совпадают, поэтому произведение АВ существует. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

−1	1				(−1;1)(1,3)		(−1;1)(−2;4)		−1+ 3		2 + 4		2		6
0	4	1	− 2	=		(0;4)(1;3)	(0,4)(−2;4)	=		0 +12	0 +16	=		12	16

		3	4
2	1					(2;1)(1;3)	(2;1)(−2;4)			2 + 3	− 4 + 4			5	0

Задание для выполнения практической работы Найти линейные комбинации заданных матриц:

1.		2A− B,если						4		−1						1	0
1.		2A− B,если				А =					,В =
									2	3					−3		2
									2	3					−3		2
2A − B =		4 −1	1		0			8		− 2		−1					0	7		− 2
2A − B =	2		−				=					+						=		.
				− 3	2					6				3					7
		2 3		− 3	2			4		6				3		− 2			7	4
						2				−1		2
2.
2.	A− λЕ,если				А =		5		−3			3	.
							−1			0	− 2
							−1			0	− 2
							2			−1 0								3	1 2
3.
3.	4A−5B,если				А =			3		4		− 2		,		В = − 2			1	3	.
								−3		1		5						0 2 − 4
								−3		1		5						0 2 − 4

		7		− 2		3		− 4		2		−1	3	1
4.
4.	3A+ 4B,если	А =	0		2	1		−1	,	В =	7	−1	0	4	.
			−5 3			2		0			8	− 2	1	5
			−5 3			2		0			8	− 2	1	5
	3A− 2B,если	А =	1	2			0		1
5.	3A− 2B,если	А =			,	В =
5.				4				1	− 2
			3	4				1	− 2

6.	A− λЕ,если	2		3
6.
		А =	3	− 2	.
			3	− 2

Найти произведения матриц АВ и ВА.

			−1		1				1	− 2
1.	А =		0						1	− 2
1.	А =		0		4 , В =								.
											4
			2		1				3		4
			2		1
			−1		1			1	− 2				2		6
А В =			0 4					1	− 2		=					,
А В =			0 4								=		12 16			,
								3	4
			2		1			3	4						0
			2		1								5		0
		1			− 2			−1		1
		1			− 2				0	4		, произведение ВА не существует, так как число
В А =									0	4		, произведение ВА не существует, так как число
					4
		3			4				2	1
									2	1
столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А (3≠ 2).
2.			3		− 2				3	4
2.	А =					,В		=				.
			5		− 4
			5		− 4				2	5.
													3
														1
														1
3. А = (4 0 − 2 3 1),В =														−1 .

													5
														2
														2
4.			1		2	В =			2	6
4.	А =				,	В =						.
			3
			3		6				−1 −3
5.			2		1	В =			3	−1
5.	А =				,	В =						.
			5						−5	2
			5		3				−5	2
			1		2				1		0		2
6.			1		2	В =			−3 4 5						.
6.	А =				,	В =			−3 4 5						.
			3
			3		4				6	−3			1
									6	−3			1
									Вычислить произведения ААТ и АТА
			1
			2
1.			2
1.	А =		3	.
			3

			0
			0
			1		2
2.
2.	А =		−3		0	.
			− 2		4
			− 2		4
3.			1		2		1		3
3.	А =								.
			4		−1		5
			4		−1		5		−1

Вычисление определителяматрицы

Определитель — это число, представленное в виде квадратной таблицы чисел или математических выражений. Обозначение: ∆, det A, |A|.

Нахождение определителей для первого, второго и третьего порядка

1.При n=1.

А=(а11), det A=| а11|= а11.

Например, А= (−12), det A=|−12|= −12.

2.При n=2.

Определитель 2-го порядка находим по правилу вычитания, то есть произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

det A =

a11

a12

= a a

− a a

a21

a22

Например,

,det A

= 2

× 0

−1× (−1)

= 0 − (−1)

= 1.

А =

−1

3.При n=3.

А) Правило треугольников .

Схематически это правило можно изобразить на рис.1. следующим образом:

Рис.1 При нахождении определителя 3-го порядка первым методом, мы из

суммы со знаком «+», состоящих из трёх слагаемых, состоящих из: первое слагаемое − это произведение элементов главной диагонали, второе и третье − произведения элементов, двух треугольников основания которых параллельны главное диагонали , вычитаем, знак «−» сумму из трёх слагаемых, состоящих из: первое слагаемое − это произведение элементов побочной (противоположной главной) диагонали, второе и третье − произведения элементов, двух треугольников основания которых параллельны второй (побочной) диагонали.

a11 a12 a13

detA= A = a21 a22 a23 = а11×а22×а33 +а21×а32×а31+а12×а23×а31−(а13×а22×а31+а12×а21×а33 + a31 a32 a33

+а32×а23×а11).

1 2 3

Пример: 4 5 6 =1×5×0+4×8×3+2×6×7−(3×5×7+4×2×0+8×6×1)=27.

7 8 0

Б) Разложение определителя 3-го порядка.

Минор (Мij) − определитель, составленный из элементов aij, оставшихся после вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца.

Алгебраическое дополнение Аij, к элементу aij называется произведение:

Аij=(−1) × , (1) При нахождении определителя 3-го порядка вторым методом, мы по

правилу «раскрытия определителя по первой строке» вычисляем сумму произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

det A =

a11

a12

a13

= a × (−1)1+1

a22

a23

+ a

× (−1)1+2 ×

a21

a23

+ a

× (−1)1+3 ×

a21

a32

a33

a31

a33

a31

a32

a33

затем вычисляем определитель 2-го порядка:

det A =	A		=	a11		a12	= a		a	22		− a a	21	.
det A =	A		=	a11		a12	= a		a			− a a		.
				a21		a22		11				12
				a21		a22

			1	2	3			5	6						4 6				4		5
Пример:		4		5	6	=1×1×		5	6		+(2)×(−1)×				4 6			+3×1×	4		5
Пример:		4		5	6	=1×1×					+(2)×(−1)×							+3×1×

		7		8	0			8	0							7	0			7	8
		7		8	0

=1×1×(5×0−8×6)+2×(−1)×(4×0−7×6)+3×1×(4×8−7×5)=27.

Задание для выполнения практической работы

Вычислить определитель 2-го порядка

1.	1		− 2
1.	B =			.
		− 2	5
		− 2	5
2.		1	2
2.	А =			.
		− 2	− 4
		− 2	− 4
3.	y		xy
3.	B =		.
		1
		1	x

a22

a32

4.	−3		6
4.	А =			.
		0	0
		0	0

Вычислить определитель 3-го порядка с помощью правила «треугольников»

	3		2	1
1.
	А =	2	5	3		.
		3	4	2

	0		0	1
2.
	А =	0	2	0	.
		3	0	0

	0		1	0
3.
	А =	2	3	4	.
		0	5	0

	0		x	0
4.
	А = y		0	0		.
		0	0	z

Вычислить определитель 3-го порядка разложением по какой-нибудь строке или столбцу

	2		0	3
1.
1.	А =	7	1	6	.
		6	0	5
		6	0	5
	sinα			cosα		1
2.
2.	А = sin β			cosβ		1 .
				cosγ
	sinγ			cosγ		1
	1		2	3
3.
3.	А =	0	0	1	.
		4	5	6
		4	5	6
	0		a	0
4.
4.	А = b		c	d .
		0	e
		0	e	0

Вычисление обратной матрицы

В математике есть взаимно обратные числа. Любое число в отрицательной степени есть её обратное:

5 и 5-1 или 5 и –пара обратных чисел.

Обратные числа при умножении друг на друга всегда дают единицу:

5×5-1=5× =1

Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если АА-1 = А-1А = Е.

Если определитель не равен нулю, то матрица называется невырожденной, а если определитель равен нулю − вырожденной. Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную.

Методы вычисления обратной матрицы

1. Метод присоединенной матрицы, при котором вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в применении формулы:

-1
А	=	×	,	(2)

Где − присоединенная матрица, полученная транспонированием матрицы, составленной из алгебраических дополнений Аij к элементам аij ( =(Аij)Т).

							1			2		3

Пример:						А =			4	5		6	.
									7	8		0
									7	8		0
1) Найдём определитель det A:
	1	2	3		=1×		5		6		− 2×			4	6	+ 3×	4	5	= −48 − 2× (−42) + 3×(32					− 35) = −48+ 84


	4	5	6
det A=	4	5	6				8		0					7	0		7	8
	7	8	0
	7	8	0
− 9 = 27 ≠ 0
Так как det A≠ 0, то матрица невырожденная и имеет обратную.
2) Найдём алгебраическое дополнение ко всем элементам матрицы А:
3)
А11=(−1)		1+1	×	5		6		=5×0−6×8=−48;											А31=(−1)		3+1			2	3	=−3;
А11=(−1)			×					=5×0−6×8=−48;											А31=(−1)				×			=−3;

				8		0																		5	6
А12=(−1)		1+2	×	4		6		=−(4×0−6×7)=42;												3+2				1	3	=6;
А12=(−1)			×					=−(4×0−6×7)=42;											А32=(−1)				×			=6;

				7		0																		4	6
А13=(−1)		1+3	×	4		5		=4×8−5×7=−3;											А33=(−1)	3+3				1	2
А13=(−1)			×					=4×8−5×7=−3;											А33=(−1)			×			=−3.

				7		8																		4	5

А21=(−1)	2+1	2		3	=24;
А21=(−1)		×			=24;
			8	0
			8	0
А22=(−1)	2+2	1		3	=−21;
А22=(−1)		×			=−21;
			7	0
			7	0
А23=(−1)	2+3	1		2	=6;
А23=(−1)		×			=6;
			7	8
			7	8

4)Запишем получившуюся матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

	− 48 42				− 3						− 48 24											− 3
А =		24 − 21 6					,		А T =				42 − 21											6 .
ij									ij
		−3		6								− 3					6					−
		−3		6	− 3							− 3					6					−			3
		5) Найдём матрицу А-1:
											−	16				8					−		1

		1	− 48 24					−3					9			9						9
		1									14						7				2
А−1 =				42	− 21				6	=						−
А−1 =		27		42	− 21				6	=		9				−	9				9
		27		−3								9					9				9
					6								1			2						1
					6			−3			−		1			2					−	1

													9			9						9
													9			9						9
		6) Сделаем проверку:
																				16					8				1
																	−										−
					− 48 24									−3			−				9				9		−		9	1 0			0
					− 48 24									−3							9				9				9	1 0			0
																		14								7		2
			А А−1		=	42 − 21 6												14							−	7		2		=	0 1		0	.
			А А−1		=	42 − 21 6														9					−					=	0 1		0	.
						−3														9					9		9
										6											1				2				1		0 0		1
										6				−3				−			1				2		−		1		0 0		1

																					9				9				9
																					9				9				9
						−	16			8			−		1
						−		9		9			−		9			− 48 24										− 3		1 0			0
								9		9					9			− 48 24										− 3		1 0			0
			А−1 А =			14			− 7				2					42							− 21 6					=		0 1	0		.
			А−1 А =						− 7									42							− 21 6					=		0 1	0		.
							9			9			9
							9			9			9						− 3						6							0 0	1
								1		2					1
						−		1		2			−		1													− 3
						−		9		9			−		9
								9		9					9

2. Метод элементарных преобразований (метод Гаусса), при котором к невырожденной матрице приписывается и приравнивается справа единичная матрица такого же порядка Г=(А|Е) и с помощью элементарных преобразований матрица А приводится к единичной матрице Е, а единичная матрица становится обратной и результате матрица имеет вид Г=(Е|А-1).

Пример:

(А		1	2	1	0	× (−3) + II	1	2	1	0		→	1	0	− 2	1	→


	Е) =					→
		3	4	0	1		0	− 2	− 3	1			0	− 2	−3
		3	4	0	1		0	− 2	− 3	1	I+ II		0	− 2	−3	1	×(−	)
								16
								16

	1	0	− 2		1		→ (Е	А−1 ).

→			3		− 1
	0	1		2		2

Задание для выполнения практической работы Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы

	1		0	0
1.
1.	А =	0	1	0		.
		0	0	1
		0	0	1
	1		2			3
2.
2.	А =	3	2			−	4	.
		2	−1			0
		2	−1			0
	2		− 3			1
3.
3.	А =	4	− 5			2	.
		5	− 7			3
		5	− 7			3
	3		2	1
4.
4.	А =	2	3	1		.
		2	1
		2	1	3
						Найти обратную матрицу методом Гаусса
				1			1		1
	1.
	1.		А = 1				2		1	.
							1		2
				1			1		2
						1			1		1
	2.
	2.		А =		− 2 −1 − 2							.
						2			3		3
						2			3		3
					1		2			3
	3.
	3.		А =		2		6			4	.
					3		10			8
					3		10			8
						1			2		3
	4.
	4.		А =			2			6		4		.
					− 4				−14 −			6
					− 4				−14 −			6

Решить матричное уравнение

1.	−1		2	− 2		3
1.				X =
		2			1	− 4
		2	− 3		1	− 4

Данное уравнение представим в виде АХ=В. Его решением является матрица Х=А-1×В. Отсюда,

-1										−3			− 2			3		2
А =				× =(−1)×									−1			=	2	1	,
										− 2			−1				2	1

Значит,
3			2			− 2			3	=	− 4			1
Х=										=					.
	2													2
	2	1				1		− 4			−3			2
2.		−1				1				2		0
2.							X =						.
			0							−1		3
			0			1				−1		3
3.		Х			−1			1		2		0
3.		Х							=				.
						0				−1		3
						0		1		−1		3
		1			2		3			1
4.
4.			2 4 6					X =			2	.
			3		6		9
			3		6		9			10

Ранг матрицы

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков её миноров, не равных нулю. (rang(A), r (A)).

Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен рангу.

Методы определения ранга матрицы

1) Метод элементарных преобразований, который заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Пример:

1		3	3	4	× (−2)+III	1		3	3	4			1		3	3	4

A =	0	0	1	2	~		0	0	1	2	×5+III	~		0	0	1	2	.
	2 6		1	− 2			0 0		− 5	−10				0 0		0	0
	2 6		1	− 2			0 0		− 5	−10				0 0		0	0

Полученная ступенчатая матрица, содержит 2 ненулевые строки, значит

r(A)=2.

2)Метод окаймляющих миноров. Суть этого метода состоит в том, что необходимо найти миноры всех возможных порядков, в нашем случае первого, второго и третьего порядка матрицы А и вычислять до тех пор, пока не найдётся минор не равный нулю (если таких нет, то r (A)=0).

Пример:

1		3	3	4

A =	0	0	1	2
	2	6	1	− 2
	2	6	1	− 2

Так как миноры 1-го порядка уже имеют несколько нулевых значений, то r (A)>1.

Рассмотрим минор 2-ого порядка:

М2=		3		3		≠ 0	, значит r (A)>2 или r (A)=2.
М2=							, значит r (A)>2 или r (A)=2.
				= 3
			0	1
Найдём минор 3-го порядка:
		1		3	3		1		3
М	=		0	0	1	= (	1		3	= 0 .
М	=		0	0	1	= (	разложим по второй строке) = 0 + 0 + (−1)			= 0 .
3								2	6
			2	6	1			2	6
			2	6	1

Минор 3-го порядка равен нулю, следовательно, r (A) <3.

Отсюда следует, что минор 2-го порядка (М2) является окаймляющим (одним из базисных) и ранг матрицы равен 2.

Задание для выполнения практической работы Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований

	1		2	3	0
1.
1.		0	1	1	1	.
		1	3	4	1
		1	3	4	1
	1		2		−1	1	3
2.
2.		3	−1		1	6	11	.
		1	−1		−1	4	− 3
		1	−1		−1	4	− 3

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

	1		2	3			1		2	3
1.						2.
1.		2	4	5	.	2.		2 4		5	.
		7	8	9				4	8
		7	8	9				4	8	11

Задание для самостоятельной работы

Задание 1. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1)	1	−2		1		−4		;						2)		1		−2 T		5		−1
1)	3		−2					;						2)				+	2		0	;
	3	5		5 0												3		−4			0	3
	3 −4		5	T		−5			−1							2		0 8				2 10 3 T
3)	3 −4		5		−					;				4)					+ 2			0 4 −2	;
3)			4		−	3	8 4			;				4)			3	8 5	+ 2			0 4 −2	;
	−8 10		4														0	−4 7				5 2 −9
							1 −1										0	−4 7				5 2 −9
5)	1	2	1		4 −2 4						;
5)			+					−1 3			;
	−3 14			5 10				−1 3
				2 −1 −3							2		3 T
					1		0 −1				0		−2
					1		0 −1				0		−2
6)(−3 1 0 1)					−1		3 1			10		− 3	−3		;
					2		4		8				1
					2		4		8		−1		1

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022441.77 Кб4Учебное пособие 487.pdf
#
30.04.2022442.46 Кб2Учебное пособие 488.pdf
#
30.04.2022442.61 Кб7Учебное пособие 489.pdf
#
30.04.2022246.5 Кб1Учебное пособие 49.pdf
#
30.04.2022443.51 Кб2Учебное пособие 490.pdf
#
30.04.2022443.91 Кб8Учебное пособие 491.pdf
#
30.04.2022444.81 Кб4Учебное пособие 492.pdf
#
30.04.2022444.98 Кб1Учебное пособие 493.pdf
#
30.04.2022445.4 Кб4Учебное пособие 494.pdf
#
30.04.2022445.44 Кб4Учебное пособие 495.pdf
#
30.04.2022446.05 Кб5Учебное пособие 496.pdf