Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 449

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

427.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

7. a) arcsin3 2x dx;

1 4x2

в) arccosxdx;

д) (6x 2 1)3x 2 dx;

8. a)	x4		dx;
	4 x	10

в) xln(x 3)dx;

д) x 5 3dx; x 5 1

9. a) 1 25x2 arctg45x dx;

в) xarctgxdx;

д) x 5 2 dx; x 5 2

10.a) 3lnxx 8 dx;

в) x2e 3xdx;

д) x 6 1 3x 6 dx;

б)

8x 3

dx;

5x 6

г)

x 9

dx;

1 (x

4x 5)

е) cos5 3xdx.

б)

x 3

dx;

x2 4x 5

г)

1 2x

dx;

1)(x

е) cos3 4xsin2 4xdx.

б)

8x 1

dx;

x2 x 3

г)

x2 5

dx;

(x 4)(x

е) (sin5x cos5x)3dx.

б)	1	dx;

	x2 x 5
	x2 x 5

2x 9

г) (x 7)(x2 4)dx;

е) sin2 7xcos2 7xdx.

e2x

11. a) dx; e4x 9

в) xarccosxdx;

д) x 9 3x 9 4 dx;

12.a) cos8x56 sin8xdx;

в) xln2 xdx;

д)	4 5x 1			dx;

	5x 1 4
	5x 1 4

7	2 ctg4x
13. a)				dx;
13. a)	sin	2	4x	dx;
	sin		4x

в) (5x 1)cos4xdx;

д) 3x 1(9 43x 1) dx;

3 arcctg8x

14. a) dx;

1 64x2

в) 6x 5 e 7x 1dx;

д) 3x 1dx;

6 x 3

б)	4x 1	dx;

	x2 6x 11

x 4

г) (x 1)(x2 16) dx;

е) sin4 7xcos5 7xdx.

x 1

б) dx; x2 3x 7

3x 11

г) (x 2)(x2 9) dx;

е) sin3(3x/2)dx.

12x 5

б) dx; 3 x x2

2 x

г) (x 5)(x2 16)dx;

е) cos4 6xdx.

x 1

б) dx; x2 7x 13

1 3x

г) (x 3)(x2 1) dx;

е) sin3 xcos2 xdx.

15. a) esin2x cos2xdx;

в) (1 8x)sin 7 6x dx;

д) 32x 1(1 62x 1)dx;

16. a) dx; x2

в) arctgxdx;

д) 3x x 1dx;

6 x5 3 x2

17. a) x ln2 x 64 dx;

в) 4 7x sin(3x 8)dx;

д)	4x	1	dx;

	25 3 4x 1

sin3x

18. a) 5 cos3x 6 dx;

в) 1 7x e3x 1dx;

д) x 4 3x dx;

19. a)		e x		dx;
	e	2x	16

1 4x

б) dx; x2 3x 5

2x 1

г) (x 4)(x2 1) dx;

е)

(sin

cos

)3dx.

б)

3 5x

dx;

x 4

г)

13 2x

dx;

(x 6)(x

е) cos4 6xdx.

б)

dx;

x 5

г)

6x 7

dx;

(x 2)(x

36)

е)

cos5(5x/2)dx.

б)

6x 5

dx;

2 3x 4

г)

9x 1

dx;

x(x

е) sin2 4xcos3 4xdx.

3x 2

б) dx; x2 4x 7

в) (4x 1)cos 5x 2 dx;

д)		x		1		dx;


		x 1
20. a)			x2				dx;
	x	6
				25
в) x 3 ln xdx;
д)							1			4 dx;
								3
					x 7				x 7

Задача № 2

г)

е)

б)

г)

е)

x 2

(x2 1)(x 4)

dx;

cos4(2x)dx.

	8x 3		dx;
			dx;
	x2 x 1
	5x 1			dx;
(x 1)(x2				dx;
(x 1)(x2		9)

sin3 x cos2 x dx. 2 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, за-

данными		уравнениями. Сделать чертеж.
1.	у = 4х - х2;		у=х+2;
2.	у= х2;		у= 2х+3;
3.	у = 2х2;		у =х/2;
4.	у = х2 -2х+1;		у=-х+3;
5.	у = х2;		у=3х+4;
6.	у = 4х - х2;		у=х+2;
7.	у = х2/2+2;		у = х2;
8.	у = 2х - х2;		у=-х;
9.	у = 2х - х2;		у=х-2;
10.	у = х2;		у=-2х+3;
11.	у =- х2/2;		у=х-3/2;
12.	у =4х2;		у=-х;
			12

13.	у =3х2-2;	у = х2;
14.	а) у = х2-х-3;	у=х;
15.	а) у = х2;	у=-3х+4;
16.	а) у =2х2-1;	у = х2;
17.	а) у = 4 - х2;	у=2х+1;
18	а) у = х2-2х-4; у=х;
19	а) у = 3х - х2;	у=2х;
20	а) у = х2;	у=-2х+3.

Задача № 3

Даны: функция z f x, y , точка A x0 , y0 и вектор a . Найти:

1)направление наибольшего возрастания функции z

( т.е. grad z ) в точке А и скорость ее изменения в этом направлении;

2)производную в точке A по направлению вектора a ;

3) экстремум функции z = f (x,y).

z =6x -х2 – у2 - 2 y +7,

A(1,1),

= 3i-4

z = 2 - 2х2 – x + у + 5 xy,

A(2,1),

= 2i – 4

z = х2

+ 2 xy – 4 x + 8 y,

A(3,1),

= 2i– 4

z = х2

– у2 + 2 xy – 2 x + 2 y,

A(1, –2),

= 3i+ 4

z = х2

– у2 – 2 xy + 4x + 1,

A(2, –1),

= 5i– 12

z = 4

х2+ у2 + 4 x + 2 y + 6,

A(2,3),

= i+2

z = 5

х2+ у2 – 3 xy + 4,

A(0,2),

= 4i+ 3

z = 4

х2+ 9 у2 – 4 x – 6 y + 3,

A(–1, –1),

= 12 i+5

z = 2х2+ 5 у2 – 4 xy – 8 x + 6,

A(3,2),

= i +

10.

z = 5х2+ 5 у2 + 8xy – 18x – 18 y, A(1,3),

= 2i–

11.

z = 4xy + х2 – 2 у2 - 6x + 6,

A(0,1),

= 4i+3

12.

z = х2 – у2 + 2xy + 4x,

A(4,1),

= 2i +2

13.

z = ху – х2– 2 у2 + x + 10 y,

A(2,2),

= i+2

14.

z = 3х2+ 3ху + у2 – 6x – 2 y + 1 ,

A(4,3),

= 3i– 4

15.

z = х2 +

у2 + 3xy – x – 4y + 1,

A(5,4),

= 3i+5

16.

z = х2 +

у2 – xy + x + y + 2,

A(4,6),

= i+3

17.

z = х2+ 2ху – у2 + 6x – 10 y + 1,

A(2,1),

= 3i+3

18.

z = 3х2+ 3 у2 + 5 xy + x – y + 5,

A(5,2),

= i+

19.

z = 4 – 5х2– у2 – 4 xy – 4 x – 2 y,

A(1,6),

= 2 i+ 6

20.

z = 3ху – х2– 3 у2 – 6 x + 9y – 4,

A(2,8),

= 2 i+ 4

Задача № 4

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию:

1.	x2 y xy 1 0,			y 1 0.
2.	2x 1 y 4 2y,			y 0 1.
3.	1 x2 y xy 1,			y 0 1.
4.	xy y ex 0,			y 1 2.
5.	1 x2 y 2xy 1 x2 ,			y 0 1.
6.	y	y	x 1 ex ,	y 0 1.

		x 1
7.	xy y 3e x ,			y 1 1.
				14

8.y ytgx sin xcosx,

9.x2 y xy 1 0,

10.y 2 y 2x3 ,

11.y 3y e3x ,

12.x2 y 2xy 3,

13.y 2y xe 2x ,

14.xy y x 1 0,

15.y y e x ,

16.y 4y e2x ,

17.y y e2x ,

18.	y	2y	3x,

		x 1
19.	y yctgx			1	,

				sin x
20.	y 3y e5x 2e3x ,

y 0 1.

y 1 2.

y 1 1.

y 0 1. y 1 0. y 0 1. y 1 0. y 0 2. y 0 1. y 0 2.

y 1 0.

y 2.2

y 0 1.

Задача № 5

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям.

5у

10х 3;

у(0) 2;

у (0) 4.

6x 2;

у(0) 1;

у (0) 1.

2у 3е

2х

;

у(0) 2;

у (0) 5.

2у

5х

у(0) 1;

(0) 1.

2у

у х 9;

у(0) 1;

(0) 1.

9у 8sin 2х;

у(0) 2;

(0) 7.

5у

2cosх 3sin x;

у(0) 0;

(0) 1.

6у 3х

х 2;

у(0) 3;

(0) 5.

3у

5е

3х

;

у(0) 2;

(0) 4.

10.

5у 5х 4;

у(0) 0;

(0) 3.

11.

2у cosх 3sin x;

у(0) 1;

(0) 2.

12.

(8х 1)е

3х

;

у(0) 0;

(0) -4.

13. у

у 2sin3х;

у( ) -1;

у ( ) -4.

14.

5у

10х 3;

у(0) 2;

(0) 4.

15.

2у

3у 5 3х;

у(0) 3;

(0) 5.

16.

2у

6х 2;

у(0) 1;

(0) 1.

17.

3у

8е

;

у(0) 2;

(0) 0.

18.

64у 2sin 4х;

у(0) 1;

(0) 4

19.

6у

9у

2е

3х

;

у(0) 1;

(0) -3.

20.

х 3;

у(0) 1;

(0) 2.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

Пример 1.(Интегрирование с помощью замены перемен-

ной.)

2
Найти неопределенный интеграл x ex	dx .
Решение. Сделаем замену переменной	x2 t, тогда

2xdx dt, x dx 1 dt. Подставляя в подынтегральное выра- 2

жение, получим

x e

2 e

Пример 2. Найти интеграл

x 2

dx .

2x 5

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, выделив в числителе производную знаменателя. Для этого числи-

тель представим в виде

x 2 (2x 2)

1. Тогда

x 2

2(x 1)

x2 2x 5

В первом интеграле сделаем замену переменной

x2 2x 5 t ,2(x 1)dx dt . Получим

2(x 1)

dx 2

ln t

ln x

2x 5 c .

x2 2x 5

Для

вычисления второго интеграла выделим в знамена-

теле полный квадрат

x2 2x 5 x2 2x 1 4 (x 1)2 22

d(x 1)

21 arctg

x 1

(x 1)

Окончательно получим

x 1

x 2

1ln(x2

2x 5) 1 arctg

2x 5

Пример 3. (Интегрирование по частям). Найти неопреде-

ленный интеграл

I =

xcosxdx

Решение. Полагаем u=x; dv=cosxdx, v=sinx, du=dx.. В си-

лу формулы интегрирования по частям udv=uv - vdu,

имеем I =хsinx - sin x dx= хsinx + cosx.

Замечание. В интегралах вида

xm ln x dx; xm arctgx dx за

функцию u(x) следует принимать ln x , arctg x, соответственно.

Пример 4. (Интегрирование дробно-рациональной функции). Найти интеграл

I=	x5	2x4 x2 3
							dx.
	(x 1)		2	(x	2
						1)

Метод интегрирования дробно-рациональной функции заключается в разложении данной дроби на сумму многочлена и элементарных дробей и последующем интегрированием каждого слагаемого этого разложения. Рассмотрим эти два этапа решения на нашем примере.

Решение. 1). Подынтегральная функция имеет вид

f (x) P(x) , где P(x) и Q(x) суть многочлены степени 5 и 4,

Q(x)

соответственно: P(x) =x5+2x4-x2+3; Q(x)= (x-1)2(x2+1).

Однако прежде чем искать разложение дроби

f (x) P(x) на сумму элементарных дробей, следует выделить

Q(x)

из данной дроби целую часть (т.е. некоторый многочлен) и правильную дробь т.е. такую дробь, в которой степень числителя меньше степени знаменателя. С этой целью преобразуем знаменатель Q(x) = x4 - 2x3+ 2x 2- 2x +1, после чего разделим многочлен P(x) на многочлен Q(x). Таким образом, получим

f (x)	P(x)		6x3 7x2 7x 1
		=x+4 +			.	(1)
			(x 1)2(x2
	Q(x)			1)

Последняя дробь уже является правильной, поскольку степень числителя R(x)= 6x3-7x2+7x-1 меньше степени знамена-

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022425.6 Кб3Учебное пособие 444.pdf
#
30.04.2022426.18 Кб11Учебное пособие 445.pdf
#
30.04.2022426.26 Кб2Учебное пособие 446.pdf
#
30.04.2022426.51 Кб2Учебное пособие 447.pdf
#
30.04.2022426.66 Кб6Учебное пособие 448.pdf
#
30.04.2022427.06 Кб2Учебное пособие 449.pdf
#
30.04.2022244.43 Кб3Учебное пособие 45.pdf
#
30.04.2022427.32 Кб7Учебное пособие 450.pdf
#
30.04.2022427.47 Кб2Учебное пособие 451.pdf
#
30.04.2022428.33 Кб3Учебное пособие 452.pdf
#
30.04.2022428.51 Кб7Учебное пособие 453.pdf