Учебное пособие 435
.pdf
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
268 - 2013
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62
«Техносферная безопасность», профили «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность
жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды», очной формы обучения
Воронеж 2013
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев
УДК 681.3.06
Элементы теории надежности: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая
математика" |
для |
студентов |
направления |
280700.62 |
||
«Техносферная |
|
безопасность», профили |
«Защита |
в |
||
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды», очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2013. 46 с.
Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" при изучении в 4 семестре раздела «Тория вероятностей и матстатистика» для студентов специальностей ЧС, БЖ и ЗС. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решения типовых примеров.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и
содержатся в файле Vmfmm_TeorNadez.pdf.
Ил. 4. Библиогр.: 12 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2013
1.1. Общие положения
Рассмотрим основные термины и определения, используемые в теории надёжности согласно ГОСТ 27.002-83 «Надёжность в технике. Термины и определения».
Работоспособность - состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданные функции с параметрами, установленными требованиями нормативно-технической и конструкторско-технологической документацией.
Отказ - событие, заключающееся в нарушении работоспособности изделия.
Критерий отказа - признак, по которому оценивается надёжность различных изделий.
Безотказность - свойство изделия непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени.
Наработка - продолжительность работы изделия в часах, циклах и т.п.
Наработка до отказа - наработка изделия от начала его эксплуатации до возникновения первого отказа.
Предельное состояние - состояние изделия, при котором его дальнейшее применение по назначению недопустимо или нецелесообразно.
Долговечность - свойство изделия сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов.
Ремонтопригодность - свойство изделия,
заключающееся в возможности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путём проведения технического обслуживания и ремонтов.
Сохраняемость - свойство изделия сохранять значения показателей безотказности, долговечности и
3
ремонтопригодности в течение эксплуатации, хранения и транспортирования.
Ресурс - наработка изделия от начала его эксплуатации или её возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние.
Срок службы - календарная продолжительность от начала эксплуатации изделия или её возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние.
Среднее время восстановления - это математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния.
Конструктивно изделия делят на невосстанавливаемые и восстанавливаемые. Невосстанавливаемыми называют такие изделия, которые в процессе выполнения своих функций не допускают ремонта, а восстанавливаемые допускают. Учитывая это свойство, отдельно рассчитывают и нормируют показатели надёжности для восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий.
Показатель надёжности - это количественная характеристика одного или нескольких свойств, пределяющих надёжность изделия.
1.2. Показатели надёжности невосстанавливаемых изделий
Основными нормируемыми показателями надёжности невосстанавливаемых изделий являются:
-вероятность безотказной работы P t ;
-вероятность отказа Q t ;
-частота отказов a t ;
-интенсивность отказов t ;
-средняя наработка до первого отказа Tср .
Так как время наступления отказа Т |
есть |
величина |
|||
случайная, |
то |
Q t - |
это вероятность того, |
что случайная |
|
величина |
Т |
примет |
значение меньшее |
или |
равное t |
4
(интегральная функция распределения отказов), где t - время за которое определяется показатель надёжности, т.е. вероятностью отказа называется вероятность того, что при определённых условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникнет хотя бы один отказ
Q t P T t . |
( 1 ) |
Вероятностью безотказной работы P ( t ) называется вероятность того, что при определённых условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки t не произойдёт ни одного отказа
P t P T t . |
( 2 ) |
Так как безотказная работа и отказ являются событиями несовместными и противоположными, то между ними справедливо следующее соотношение:
P t Q t 1 . |
(3) |
Так как Q t есть закон распределения |
случайной |
величины (отказов), то зависимость между возможными значениями непрерывной случайной величины Т и вероятностями попадания в их окрестность называется её
плотностью вероятности.
Частота отказов a ( t ) есть плотность вероятности времени работы изделия до первого отказа
a t |
dQ(t) |
|
dP(t) |
. |
(4) |
dt |
|
||||
|
|
dt |
|
||
Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени. Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения
(t) a(t) / P(t). |
(5) |
Средней наработкой до первого отказа Тср называется математическое ожидание M [ t] времени работы изделия до отказа. Как математическое ожидание, Тср вычисляется через
5
частоту отказов (плотность распределения времени безотказной работы):
M t |
|
t dt , |
|
|
Tср ta |
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как t > 0 и P(0) = 1, |
а P 0 , |
то Tср P t dt . |
|
|
|
|
|
0 |
|
Зная один из показателей надёжности и закон распределения отказов, можно вычислить остальные характеристики надёжности с учётом следующих формул:
Q t 1 a t dt , |
P t 1 1 a t dt , |
|
||
0 |
|
0 |
|
|
t a t / P t , |
1 |
t dt |
|
|
P t e 0 |
. |
(7) |
||
Пример 1.1. Интенсивность отказов изделия зависит от времени и выражается функцией t k 2 / 1 kt . Определить вероятность безотказной работы, частоту отказов и среднюю наработку до первого отказа.
Решение. Вероятность безотказной работы по формуле (1.7)
|
P t e kt 1 kt . |
Частота отказов |
a t k 2te kt . |
Средняя наработка до первого отказа Tср 2 / k .
Статистические оценки показателей надёжности невосстанавливаемых изделий рассчитываются по следующим формулам.
Статистическая |
|
оценка |
вероятности |
отказа |
определяется по формуле |
|
|
||
|
|
t n t / N0 , |
(8) |
|
|
Q |
|||
6
где n(t) – число изделий, отказавших за время t; N0 – число
наблюдаемых (испытываемых) изделий.
Статистическая оценка вероятности безотказной работы будет равна
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
P |
|
|
t |
|
N |
|
n |
|
t |
/ N |
|
. |
(9) |
|
Статистическая оценка частоты отказов |
|
||||||||||||||
|
|
|
t n t / tN0 , |
|
|
(10) |
|||||||||
|
a |
|
|
||||||||||||
где n t - число изделий, отказавших в интервале времени от t t / 2 до t t / 2 .
Статистическая оценка интенсивности отказов
(11)
где Nср Ni Ni 1 / 2 - среднее число исправно работающих изделий в интервале t ; Ni - число изделий, исправно работающих в начале интервала t ; Ni 1 - число изделий, исправно работающих в конце интервала t .
Зная моменты выхода из строя всех наблюдаемых изделий, можно дать статистическую оценку средней наработки до первого отказа
|
N0 |
|
/ N0 , |
(12) |
|
||||
Tср ti |
||||
|
i 1 |
|
|
|
где ti - время безотказной работы i-го образца.
Имея данные о количестве вышедших из строя изделий в каждом i-м интервале времени, статистическую оценку средней наработки до первого отказа можно определить из
уравнения |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
m |
|
/ N0 |
, |
(13) |
|
|
||||||
Tср |
ni tchi |
||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
7
где tсрi ti 1 ti / 2 , |
m tk / t - время начала i-го, ti - время |
конца i-го интервала; tk - время, в течение которого вышли из строя все изделия; t ti 1 t i - интервал времени.
Пример 1.2. На испытания поставлено 1000 изделий. За
3000 час отказало 80 изделий, а |
за интервал |
времени |
3000 4000 час отказало ещё 50 |
изделий. |
Требуется |
определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа в течение 3000 час; частоту и интенсивность отказов в промежутке времени 3000 4000 час.
Решение. По формулам (8) и (9) определяем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N0 n |
t |
|
1000 800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
P 3000 |
|
0,92 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
N0 |
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3000 |
n t |
|
|
|
80 |
0,08 |
или |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N0 |
1000 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3000 1 P 3000 1 0,92 0,08 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
По формулам (10) и (11) находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3500 |
|
n t |
|
|
50 |
|
5 |
10 5 |
1 |
|
, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 1000 |
час |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tN0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3500 |
n t |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
5,6 |
10 5 |
1 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1000 920 870 / 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tNср |
|
|
|
|
час |
|||||||||||||||||
1.З.Показатели надёжности восстанавливаемых изделий
Наиболее часто нормируемыми показателями надёжности восстанавливаемых изделий являются параметр
потока отказов t и средняя наработка на отказ |
tср . |
Статистической оценкой параметра потока |
отказов |
называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются исправными:
|
|
t n t / N t , |
(14) |
|
8
где n t - число изделий, отказавших в интервале времени
t t / 2 до t t / 2 ; N - число испытываемых изделий; t - интервал времени.
Средней наработкой на отказ восстанавливаемого изделия называется среднее значение времени между соседними отказами.
Для одного изделия статистическая оценка средней наработки на отказ будет равна
|
|
n |
|
/ n |
|
||||
tср |
ti |
|||
|
i 1 |
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
где ti – время исправной работы изделия между (i – 1) -м и i-м
отказами; n – число отказов за время t.
Для N наблюдаемых в течение времени t изделий статистическая оценка средней наработки на отказ определяется по формуле
|
|
N |
|
N |
(16) |
|
|||||
tcр |
ti j |
/ nj , |
|||
|
|
j 1 i 1 |
|
j 1 |
|
где tij - время исправной работы j-го изделия между (i – 1)-м и i-м отказами; nj – число отказов j-го изделия за время t.
Коэффициентом готовности называется отношение времени исправной работы к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.
Согласно определению статистическая оценка
коэффициента готовности будет равна
|
r tp / tp tп , |
(17) |
K |
9
n
где tp tp i - суммарное время исправной работы изделия;
i 1
n
tп tпi - суммарное время вынужденного простоя изделия;
i 1
tpi - время работы изделия между (i - 1)-м и i-м отказами; tпi -
время вынужденного простоя после i-го отказа; n - число отказов (ремонтов) изделия.
Вероятностное определение коэффициента готовности можно получить переходя от tp и tП к их математическим ожиданиям:
KГ |
tcр / tcр tв , |
(18) |
|
|
|
где tв - среднее время восстановления. |
|
|
При tср Tср (поток отказов простейших) |
|
|
KГ |
Tcр / Tcр tв . |
(19) |
Коэффициентом вынужденного простоя называется отношение вынужденного простоя к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.
Статистическая оценка коэффициента вынужденного простоя будет равна
K tП / tР tП , |
(20) |
|
а вероятностное значение определяется по формуле
KП tВ / tср tВ |
(21) |
10
Между коэффициентом готовности и коэффициентом вынужденного простоя существует зависимость
Kr 1 KП |
(22) |
Если интенсивность отказов const и интенсивность восстановления const , то вероятность застать изделие в исправном состоянии в любой момент времени t определяется по формулам (функции готовности)
Pr t |
|
|
|
|
e t |
(23) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
или
Pr t Kr 1 Kr e t / Krtв . |
( 24) |
Пример 1.3. Изделие имеет среднюю наработку на отказ tcp = 65 час и среднее время восстановления tв 1, 25 час. Определить коэффициент готовности изделия.
Решение. По формуле (18) имеем
Kr tср / tср tв 65 / 65 1, 25 0,98
Пример 1.4. Известно, что интенсивность отказов изделия0,02 1/час, а среднее время восстановления tв 10 час. Требуется вычислить коэффициент и функцию готовности изделия.
Решение. Средняя наработка до первого отказа будет
равна Tср 1/ 1/ 0,02 50 час
Коэффициент готовности определяем по формуле (19)
K Tср / Tср tв 50/ 50 10 0,83 0,17e 0,12t .
11