Учебное пособие 375
.pdfТаким образом, уравнение плоскости A1A2A3 имеет вид
21x 9y 3z 48 0.
Составим уравнение прямой, проходящей через точки A1 и A4. Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид
|
x x1 |
|
y y1 |
|
|
z z1 |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
y4 y1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x4 x1 |
|
|
|
|
|
z4 z1 |
|
||||||||||||
где (x1, y1,z1) – координаты точки A1, (x2,y2,z2) |
– координаты |
|||||||||||||||||||
точки A4. Подставляя в уравнение координаты точек A1 и A4, |
||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x 2 |
|
|
y 1 |
|
z 1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Угол между прямой |
|
x x1 |
|
y y1 |
|
|
z z1 |
|
и плоскостью |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
m |
|
|
n |
|
Ax By Cz D 0 определяется по формуле
sin
Al Bm Cn
A2 B2 C2 l2 m2 n2
Воспользуемся этой формулой для вычисления угла
между ребром |
A1A4 |
и плоскостью A1A2A3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sin |
|
|
( 21) 2 |
9 2 3 2 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
3 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( 21)2 92 |
|
32 22 22 |
22 |
531 12 |
177 |
|
|
3
Отсюда arcsin .
177
4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой, проходящей через точку A4 перпендикулярно плоскости
A1A2A3 , задаваемой уравнением |
Ax By Cz D 0. Из |
29 |
|
условия перпендикулярности прямой и плоскости следует
|
A |
|
B |
|
C |
, поэтому уравнение высоты A D имеет вид |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
l m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
y 1 |
|
|
z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
9 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Для нахождения длины высоты можно использовать |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулу |
|
V |
1 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
. |
Объем |
|
V |
и |
площадь S |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
A A A |
|
A D |
|
A A A |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3V |
|
|
|
18 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
будут найдены в п.5). Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
A D |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
SA1A2 A3 |
|
|
531 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5) |
Грань |
A1A2A3 |
|
представляет |
собой |
|
треугольник, |
площадь которого равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах A1A2 |
|
и A1A3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Найдем векторное произведение этих векторов. Имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21,9,3 . |
||||||||||
A1A2 A1A3 |
|
|
3 |
|
6 |
|
|
3 |
|
21i |
9j 3k |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 21)2 |
92 |
32 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
A A |
A A |
|
|
|
|
|
|
|
531 |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
531 |
. |
|||||||||||||
|
S |
A A A |
|
|
|
A A |
|
A A |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 2 |
|
1 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления объема пирамиды воспользуемся смешанным произведением векторов. Напомним, смешанное произведение трех векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. А объем
пирамиды равен 1 части объема этого параллелепипеда. 6
Имеем
30
|
|
|
3 |
6 |
3 |
|
A1A2 A1A3 A1A4 |
1 |
3 |
2 |
18. |
||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
Поэтому V 1 | 18| 3.
6
Задача №3
Даны координаты вершин треугольника ABC: A( 8,3),
B(4, 6), C(2,8). Найти:
1) уравнения сторон AB и |
AC и их угловые |
коэффициенты; |
|
2)угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой;
3)уравнение высоты CD и ее длину;
4)уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD.
Сделать чертеж (рис.1).
|
|
|
|
|
Решение. 1) Найдем координаты векторов AB и |
AC, для |
|||
|
|
|
|
|
чего воспользуемся формулой AB xb xa; yb ya . |
|
|||
|
|
|
векторы |
являются |
Тогда AB 12; 9 , |
AC 10;5 . Эти |
|||
направляющими |
векторами прямых, |
на которых лежат |
соответствующие стороны треугольника и для получения их уравнений можно использовать каноническое уравнение прямой на плоскости
x x0 y y0 . l m
В результате получим
x 8 |
|
y 3 |
|
( AB ), |
|||
12 |
|
9 |
|||||
|
|
|
|
||||
x 8 |
|
y 3 |
|
( AC ). |
|||
10 |
|
||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
Разрешая эти уравнения относительно y , т.е. приводя их к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом
y kx b ,
найдем kAB |
3 |
, |
kAC |
|
1 |
. |
|
|
|||||
4 |
|
|
2 |
|
||
2) Угол A |
|
треугольника совпадает с углом между |
векторами AB и AC, и для его нахождения можно использовать формулу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
cos A |
|
|
AB AC |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos A |
|
12 10 9 5 |
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
1 |
|
0,4472. По |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(12)2 ( 9)2 (10)2 |
(5)2 |
15 5 5 |
5 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
таблице найдем значение угла A: уголA 1,11 рад. (63 20 ). 3) Для получения уравнения высоты СD приведем
уравнение стороны AB к виду общего уравнения прямой на плоскости
|
|
|
|
|
3x 4y 12 0 ( AB). |
|
|
||||||||||||
|
Из |
рисунка |
видно, |
|
что вектор нормали к прямой |
AB |
|||||||||||||
является |
направляющим вектором высоты CD, |
т.е. |
|||||||||||||||||
n |
AB 3;4 |
a |
CD , |
и |
|
можно |
вновь |
воспользоваться |
|||||||||||
каноническим уравнением прямой на плоскости |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
y 8 |
|
(CD). |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Длину высоты CD |
|
|
вычислим по формуле вычисления |
|||||||||||||||
расстояния от точки M0(x0,y0) до прямой Ax By C 0: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
Ax0 By0 |
C |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2
В нашем случае d CD 3 2 4 8 12 50 10.
(3)2 (4)2 |
5 |
32
4) Найдем координаты точки E, являющейся серединой отрезка BC
xE |
|
xB xC |
|
4 2 |
3; |
yE |
|
yB yC |
|
6 8 |
1. |
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
1 |
|
Т.о., E(3,1), и для нахождения уравнения медианы AE можно использовать уравнение прямой, проходящей через две точки
M |
1 |
(x ,y ) и |
M |
2 |
(x |
2 |
,y |
2 |
): |
x x1 |
|
|
y y1 |
. Тогда получим |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
|
|
y |
2 |
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
x 3 |
|
y 1 |
|
или |
|
|
|
x 3 |
|
y 1 |
( AE ). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
11 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
8 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Наконец, |
для |
|
вычисления |
|
координат точки K , решим |
||||||||||||||||||||
совместно |
уравнения |
|
прямых |
|
AE и CD, предварительно |
||||||||||||||||||||||
приведя их уравнения к общему виду |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 11y 17 0 (AE) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3y 16 0 (CD) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Отсюда получим |
K |
|
|
,2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B
Рис. 1
33
Задача №4
Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от прямой x 2 и от точки A(4;0) . Сделать чертеж.
Решение. Пусть точка M(x;y) принадлежит искомой линии. Расстояние между точками M1(x1,y1) и M2(x2,y2) вычисляется по формуле
M1M2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 .
По условию задачи
AM |
|
|
(x 4)2 y2 |
|
Расстояние от точки M0(x0; y0) до прямой Ax By C 0 d Ax0 By0 C .
A2 B2
Уравнение прямой x 2 0. Следовательно d x 2 . По условию задачи d AM , т.е.
x 2 (x 4)2 y2 .
Возведем обе части уравнения в квадрат. Приводя подобные члены, получим 4x y2 12 или y2 4(x 3). Это и есть уравнение искомого геометрического места точек. Следовательно, искомая линия является параболой.
y
y2=4(x-3)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
x |
|
|
|
|
|
Рис. 2
34
а)
в)
Задача №5
Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
lim |
|
5x4 3x |
; |
б) lim |
1 x x2 1 x x |
2 |
; |
||
|
|
|
|
x2 x |
|
||||
x 7x4 2x3 1 |
|
x 0 |
|
|
|||||
lim |
|
x tg 2x |
; |
|
г) lim |
(5 2x)2/(x 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 |
1 cos8x |
|
x 2 |
|
|
|
Решение. а) |
lim |
5x4 3x |
|
. |
|||
|
4 |
2x3 |
1 |
||||
|
x 7x |
|
И числитель, и знаменатель дроби при x стремятся к бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида . Вынося в
числителе |
и |
знаменателе |
|
старшую |
|
|
степень |
|
x4 |
как |
общий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
множитель, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5x4 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4(5 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 7x4 2x3 1 |
|
x |
x |
|
2 1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
lim |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 0 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
x x3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
7 0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
7 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
x x x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
|
lim |
|
|
|
1 x x2 |
|
1 x x2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
И числитель, |
и знаменатель дроби при x 0 стремятся к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нулю. Имеем неопределенность вида |
|
|
0 . Умножим числитель и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
знаменатель |
на |
иррационально |
|
|
|
|
сопряженное |
выражение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x x2 |
|
|
1 x x2 |
|
|
а также |
|
|
разложим |
знаменатель на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
множители. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
( 1 x x2 1 x x2 ) ( 1 x x2 1 x x2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x(x 1) ( 1 x x2 1 x x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
1 x x2 1 x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 x(x 1)( 1 x x2 1 x x2 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 x(x 1)( 1 x x2 1 x x2 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 (x 1) ( 1 x x2 1 x x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 2(1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
lim (x 1) ( |
1 x x2 |
1 x x2 ) |
|
( 1) (1 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) lim |
x tg 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 cos8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Имеем неопределенность вида |
|
0 . Воспользуемся первым |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
замечательным |
|
пределом |
lim |
|
sin x |
1 |
|
и |
|
|
|
формулой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 cos2 2sin2 . Получим |
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x tg2x |
|
|
|
|
|
|
x sin2x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
sin2x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 cos8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
sin4x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
x 0 cos2x 2sin2 4x |
|
|
x 0 cos2x |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
16x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 16x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 cos2x |
|
|
16 x 0 cos2x |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) lim |
(5 2x)2/(x 2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем неопределенность вида 1 . Воспользуемся вторым
замечательным пределом lim |
(1 x)1/ x |
e. |
|
|||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
Введем |
в рассмотрение |
новую переменную |
y 4 2x , |
|||
y 0 при |
x 2. Тогда |
x 2 |
y |
. |
Переходя |
к новой |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
переменной, получим
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (5 2x) |
x 2 |
|
lim (1 y)(2 y/2 2 |
lim (1 |
||||||||||
x 2 |
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
(1 y) |
y |
|
|
|
(1 y) |
y |
|
e |
||||||
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
Задача №6
Найти производные заданных функций.
y) 4y
4 .
а) y |
|
x2 1 |
; |
|
|
б) y (e3x) |
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
1 tg x |
||||||||||||
|
sin 2x cos3x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y ln3 |
|
|
|
г) y (x2 1)cos x ; |
||||||||||
в) |
|
arctg (x 2x) |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
xy sin(x y); |
|
|
е) |
1 t |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. а) |
y |
|
x2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x cos 3x
Применяя правило дифференцирования частного двух функций , а также правило дифференцирования сложной функции, получим
37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(x |
2 |
1) |
|
(sin2x cos3x) (x |
2 |
1) (sin2x cos3x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x cos3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2x (sin2x |
cos3x) (x |
2 |
|
1)(cos2x (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin3x (3x) ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x cos3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2x (sin2x cos3x) (x2 1)(2cos2x 3sin3x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x cos3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
б) y (e3x) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Применяя |
|
правило |
|
дифференцирования произведения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
двух функций, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e3x) 1 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y (e3x) 1 tg x |
|
|
|
(e3x) 1 tg x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3x(3x) 1 tg x |
(e3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 tg |
x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3e3x |
|
|
|
|
e3x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 tg x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 tg x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos |
x (1 tg x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) y ln3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
arctg (x 2x) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Применяя |
|
|
|
правило |
|
|
|
дифференцирования |
|
|
|
сложной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
3 |
arctg (x 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ln |
arctg (x 2 |
x |
|
ln |
arctg (x 2 |
x |
) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ln |
|
arctg (x 2 |
x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg (x 2 |
x |
) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
arctg (x 2x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38