Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 190

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

320.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Для постоянной нагрузки (q const ):

Amn

16 q a4

Cmn ,

(26)

D 6 m2 2

n2 2

m n

D 6

16 q a

sin m x

sin n y

w(x, y)

Cmn

(27)

m 1 n 1

где m 1,3,5 ; n 1,3,5 ,

так как чётные члены ряда (24)

обращаются в

нуль.

Коэффициенты Cmn находятся по формуле

Cmn

(28)

m n m2

2 n2 2

с параметром , равным

a b.

(29)

Тогда, подставляя функцию (27) в (11), получим следующие выраже-

ния для изгибающих моментов:

Mxy

16 q4 a

Fmn sin m x

sin n y

m 1 n 1

16 q a2

m x

n y

Myx

sin

Hmn sin

m 1 n 1

где

Cmn

Fmn

H m2 2 n2 C .

mn mn

Требуется:

(30)

(31)

найти прогиб в точке плиты A с координатами xA , yA ;

определить наибольшие нормальные напряжения x и y в сечении, проходящем через точку A;

в вычислительной лаборатории кафедры произвести поверочный расчёт на ПЭВМ и представить протокол расчёта (студенты заочной формы обучения выполняют этот пункт по желанию);

по полученным на ПЭВМ результатам найти наибольшие касательные напряжения в заданном сечении.

При вычислениях вручную следует удерживать только те члены ряда, величина которых равна или превышает 5 % от первого члена ряда.

4.Рекомендации к выполнению работы

4.1.Исходные данные

Выписать заданные размеры плиты a, b, h ; интенсивность равномерно

распределённой нагрузки q; модуль упругости E и коэффициент Пуассона ν материала; координаты xA , yA расчётного сечения.

Вычертить геометрическую схему плиты с указанием масштаба, линейных размеров и действующей на плиту нагрузки.

4.2. Определение прогиба точки A

Найти:

цилиндрическую жёсткость плиты D (14); общий множитель ряда (27) по формуле:

Ow 16 q 6a4 ;

постоянныеCmn (28) , члены ряда

mn Cmn sin m a xA sin n b yA

и их оценки

mn mn 100%,

вертикальное перемещение w(xA , ya ) точки A из выражения (27) при

mn 5%, m 1 и n 1,3,5 (или m 1,3,5 и n 1).

(32)

(33)

(34)

mn с

4.3.Нахождение наибольших нормальных напряжений

x (xA , yA ) и y (xA , yA )

Вычислить:

- общий множитель:

O		16 q a2	;	(35)
	M	4

-коэффициенты Fmn , Hmn по формулам (31);

-члены ряда

sin m xA

sin n yA

(36)

m xA

n yA

Hmn sin

sin

и их оценки

(

)

100%,

(37)

( mn )

100%;

- изгибающие моменты Mxy (xA , yA ) и Myx (xA , yA ) по формулам (30) для mn

и mn при условии ( mn ) 5% и ( mn ) 5%;	y (xA , yA ) в сечении,
- наибольшие нормальные напряжения x (xA , yA ) и

проходящем через точку A, из соотношений (16) для точек с координатами z h2.

4.4. Поверочный расчёт плиты на ПЭВМ

Произвести расчёт на ПЭВМ в вычислительном классе кафедры по программе ПЛИТА и представить протокол расчёта. Инструкция по работе с программой приводится в разделе 5.

4.5. Нахождение наибольших касательных напряжений

Используя полученные на ПЭВМ данные о крутящих моментах Mxx , Myy и поперечных силах Qxz , Qyz , в точке A определить наибольшие

касательные напряжения: max xy , max yz по формулам (17) при z h2 и max xz , max yz по формулам (18) при z 0 .

5. ИНСТРУКЦИЯ ПО РАБОТЕ С ПРОГРАММОЙ ПЛИТА

Программа ПЛИТА написана с использованием вычислительной среды системы MATHCAD, которая позволяет студентам выполнять расчеты с помощью так называемых «живых» формул (формул, в которые можно подставить свои данные и немедленно получить результат).

Для выполнения расчётов по программе ПЛИТА студенту необходимо задать исходные данные, перечисленные в разделе 4.1. Результат будет получен автоматически. Изменяя значение величины N, которая в качестве параметра входит в выражения для всех искомых величин, можно менять число учитываемых в расчётах членов рядов и оценить скорость их сходимости. Одновременно задать число членов для всех рядов можно с помощью параметра NN, которому по умолчанию присвоено значение 5.

Ниже приведён листинг программы ПЛИТА.

6.ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТА

6.1.Исходные данные

Выполнить расчёт плиты, геометрическая схема которой с нагрузкой представлена на рис. 6, если:

линейные размеры a=2,8 м, b=3,5 м, h=0,08 м;

интенсивность равномерно распределённой нагрузки q=4,0 кН/м2;

материал плиты имеет модуль упругости E 36 106 КПа и коэффициент Пуассона 0,13;

расчётное	сечение	A	в	точке	с	координатами
xA 1,75м,	yA 1,05м.

6.2. Вычисление прогиба w(xA , yA )

Определяем цилиндрическую жёсткость плиты (14):

D 36 106 0,083 1562,4кНм,

12 1 0,132

множитель (32):

Ow 16 4,0 2,846 2,627 10 3 м 1562,4 3,14

и параметр (29): 2,83,5 0,8.

Находим постоянные Cmn , члены ряда mn и их оценки ( mn ) по формулам (28), (33) и (34):

m 1,	n 1	C		1			3,7180 10 1			,
				1 1 12 0,82 12 2
		11
			3,7180 10 1		sin	1 3,14 1,75		sin	1 3,14 1,05		2,7790 10 1 ;

		11					2,8			3,5

m 1,	n 3	C				1					7,2943				10 3 ,
m 1,	n 3	C				1 3 12 0,82 32 2					7,2943				10 3 ,
		13				1 3 12 0,82 32 2
			7,2943 10 3				sin		1 3,14 1,75					sin		3 3,14 1,05					2,0825 10 3 ;
			7,2943 10 3				sin							sin							2,0825 10 3 ;
		13								2,8									3,5
										2,8									3,5
					2,0825 10 3		2,7790 10 1					100% 0,75% 5%;
					2,0825 10 3		2,7790 10 1					100% 0,75% 5%;
		13
m 3,	n 1	C31				1					3,5869				10			3	,
m 3,	n 1	C31				3 1 32 0,82 12 2					3,5869				10				,
		31	3,5869 10 3				sin	3 3,14 1,75						sin			1 3,14 1,05			1,1105 10 3		;
		31	3,5869 10 3				sin							sin						1,1105 10 3		;
										2,8									3,5
				1,1105 10 3 2,7790 10 1									100% 0,40% 5%.
				1,1105 10 3 2,7790 10 1									100% 0,40% 5%.
		13
Дальнейшее вычисление членов ряда mn прекращаем, так как оценки
13 , 31 , а, следовательно, последующие 33 , 15															, 51				и т.д. меньше 5 %.
Учитывая только 11 , из (27) определяем прогиб

w(xA ,yA ) 2,627 10 3 2,7790 10 1 7,30 10 4 м 0,73 мм.

6.3. Нахождение наибольших нормальных напряжений в точке А


Вычисляем общий множитель (35):
			O			16 4,0 2,82			5,1615			кН м	.
			O	M			3,144		5,1615			м	.
				M			3,144					м
По формулам (31), (36) и (37) будем иметь:
m 1,	n 1	F11	12 0,13 0,82 12 3,7180 10 1 4,0274 10 1 ,
		H11 0,13 12 0,82					12 3,7180 10 1 2,8629 10 1,
			4,0274 10 1		sin			1 3,14 1,75		sin	1 3,14 1,05			3,0102 10 1 ,
			4,0274 10 1		sin					sin				3,0102 10 1 ,
		11					2,8					3,5
							2,8					3,5
		11	2,8629 10 1		0,9239 0,8090 2,1398 10 1 ;
m 1,	n 3	F13	12 0,13 0,82 32 7,2943 10 3 1,2756 10 2 ,
		H13 0,13 12 0,82					32 7,2943 10 3					4,2964 10 2 ,

m 3, n 1

m 3, n 3

m 1, n 5

	1,2756 10 2				sin		1 3,14 1,75		sin			3 3,14 1,05		3,6418 10 3 ,
	1,2756 10 2				sin				sin					3,6418 10 3 ,
13						2,8							3,5
						2,8							3,5
13		4,2964 10 2			0,9239 0,3090 1,2265 10 2 ,
(		)		3,6418 10 3			3,0102 10 1				100% = 1,21%,
(		)		3,6418 10 3			3,0102 10 1				100% = 1,21%,
	13
( 13 )			1,2265 10 2			2,1398 10 1				100% = 5,73%;
( 13 )			1,2265 10 2			2,1398 10 1				100% = 5,73%;
F31 32				0,13 0,82 12 3,5869					10 3 3,5281 10 2 ,
H31 0,13 32 0,82						12 3,5869 10 3							6,4923 10 3 ,
31	3,5281 10 2				sin			3 3,14 1,75			sin		1 3,14 1,05		1,0087 10 2	,
31	3,5281 10 2				sin						sin		3,5		1,0087 10 2	,
						2,8							3,5

31 6,4923 10 3 ( 0,3827) 0,8090 2,0100 10 3 ,( 31 ) 1,0087 10 2 3,0102 10 1 100% = 3,35%,( 31) 2,0100 10 3 2,1398 10 1 100% = 0,94%;

F33 32 0,13 0,82 32			1					4,9721		10 3		,
	3 3		32 0,82	32		2

H33 0,13 32 0,82 32			1						3,5344		10 3		,
		3 3 32 0,82			32		2

33 4,9721 10 3 0,3827 0,3090 5,8797 10 4 ,33 3,5344 10 3 ( 0,3827) 0,3090 4,1796 10 4 ,( 33 ) 5,8797 10 4 3,0102 10 1 100% = 0,20%,( 33 ) 4,1796 10 4 2,1398 10 1 100% = 0,20%;

F15	12 0,13 0,82 52				1					2,1315			10 3	,
F15	12 0,13 0,82 52			1 5 12 0,82			52		2	2,1315			10 3	,
				1 5 12 0,82			52
H15		0,13 12 0,82 52			1						1,1163 10 2 ,
H15		0,13 12 0,82 52						52		2	1,1163 10 2 ,
				1 5 12 0,82				52
		2,1315 10 3 sin	1 3,14 1,75		sin	5 3,14 1,05						1,9692 10 3 ,
		2,1315 10 3 sin			sin							1,9692 10 3 ,
15				2,8				3,5
				2,8				3,5

15 4,2964 10 2 0,9239 ( 1) 1,0313 10 2 ,

( 15 ) 1,9692 10 3 3,0102 10 1 100% = 0,65%,( 15 ) 1,0313 10 2 2,1398 10 1 100% = 4,82%;

m 5, n 1	F51	52		0,13 0,82 12						1					7,6309 10 3 ,
m 5, n 1	F51	52		0,13 0,82 12			5 1 52 0,82						12	2	7,6309 10 3 ,
							5 1 52 0,82						12
	H51 0,13 52 0,82 12 3,0422 10 4											1,1834 10 3 ,
	51	7,6309 10 3 sin			5 3,14 1,75				sin			1 3,14 1,05							2,3625		10 3 ,
	51	7,6309 10 3 sin							sin										2,3625		10 3 ,
								2.8					3.5
	51	1,1834 10 3 ( 0,3827) 0,8090 3,6639 10 4 ,
	( 51 )			2,3625 10 3		3,0102 10 1					100% = 0,78%,
	( 51 )			2,3625 10 3		3,0102 10 1					100% = 0,78%,
	( 51 )			3,6639 10 4		2,1398 10 1					100% = 0,17%.
	( 51 )			3,6639 10 4		2,1398 10 1					100% = 0,17%.
Последующие оценки 53 , 35 , 55 ,												53 ,				35 ,				55	и
т.д. будут меньше 5 %. Поэтому вычисление членов ряда mn , mn																				прекра-
щаем.								3,0102 10 1					и					2,1398 10 1 ,
Учитывая	только			слагаемые				3,0102 10 1					и				11	2,1398 10 1 ,
						11											11
13 1,2265 10 2 , определяем изгибающие моменты из выражений (30):
Mxy xA ,yA OM 11 5,1615 3,0102 10 1										1,5537кН м/м,
Myx xA ,yA OM 11 13 5,1615 2,1398 10 1 1,2265 10 2 1,1678кН м/м.
По формулам (16) при z h 2 находим наибольшие нормальные на-
пряжения в заданной точке A плиты:
x xA ,yA		12 1,5537 0,04				1457КПа,
x xA ,yA			3			1457КПа,
			0,08
y xA ,yA		12 1,1678 0,04				1095КПа.
y xA ,yA			3			1095КПа.
			0,08

Эпюры x , y изображены на рис. 4, а.

6.4. Расчёт плиты на ПЭВМ

Пример расчёта плиты с исходными данными приведен в разделе 6.1. Результаты расчётов для точки A с координатами

xA 1,75м, yA 1,05м.
Прогиб:	W 7,286 10 4 м.
Изгибающие моменты:	Mxy 1,502кНм/м,
	Myx 1,112кНм/м.
Крутящие моменты:	Mxx Myy 0,2646кНм/м.
	17

Поперечные силы:	Qxz 0,7963кН/м,
	Qyz 0,9741кН/м.

Расчет прямоугольной плиты, шарнирно опертой по контуру (решение Навье)

Ввод размерностей:

м m ; мм 10 3 m ; кПа 103Pa ; кН 1000 N.

Дано: a :=3,5 M;

b :=3,5 M;

h :=0,08 M; ν :=0,13;

E := 3,6 107 M ;

q := 4 kH2 ;

xa :=1,75 M;

ya :=1,05 M.

Найти

в точке

А:

W, x max,

y max ,

xy max,

yx max,

xz max ,

yz max.

E h3

Решение

D :=

;

D =1,562 103

kH M ;

;

8 10 1 .

Прогиб плиты определяется выражением

(2 s

1) x

(2 t 1) y

16 q a4

sin

W(x y)

0 t 0 (2 s 1) (2 t

1) (2 s

Ограничиваясь суммированием от 0 до N, получим

(2 s 1) x

(2 t

1) y

16 q a4

sin

W(x y N)

;

t 1)

s 0 t 0

(2 s 1) (2 t 1) (2 s

NN : 5.

W xa ,ya ,N = 7,278 10-1 MM ;

W xa ,ya ,NN = 7,286 10-1 MM .

Изгибающие моменты найдем по формулам

(x, y, N) =

16 q a2

π4

2 s +1

+ ν 2 2

t +1

s +1

π x

2 t +1

π x

;

sin

2 s +1 2 t +1 2

s +1 2

+ 2

2 t +1 2

s=0

t=0

(x, y, N) =

16 q a2

π4

ν 2

s +1

2 2

t +1

s +1

π x

2 t +1

π x

;

sin

2 s +1 2 t +1 2

s +1 2

+ 2

2 t +1 2

s=0

t=0

Mxy xa ,ya ,0 =1,551 кН M ;

Mxy xa ,ya ,NN =1,502 кН M .

Myx xa ,ya ,0 =1,102 кН M ;

Myx xa ,ya ,NN =1,112 кН M .

Крутящие моменты задаются выражениями:

(2 s 1) x

(2 t

1) y

16 q a2 1

cos

;

M (x y N)

2 2

(2 s 1)

(2 t

Myy(x y N) Mxx(x y N) ;

s 0 t 0

MXX xa ,ya ,0 = 2,998 10-1 кН M ;

MXX xa ,ya ,0

= 2,646 10-1

кН M .

Соотношения для поперечных сил имеют следующий вид:

(2 s

1) x

(2 t 1) y

16 q a

cos

sin

Qxz(x y N)

;

(2 s 1)

(2 t 1)

s 0 t 0

(2 t 1)

(2 s

1) x

(2 t 1) y

16 q a

sin

cos

Qyz(x y N)

;

(2 t

s 0 t 0 (2 s 1) (2

QXZ xa , ya ,0 = -1,091 кН ;

QXZ xa , ya , NN = -7,963 10-1 кН .

QyZ xa , ya ,0 =1,531 кН ;

QyZ xa , ya , NN = 9,741 10-1 кН.

Напряжения в поперечных сечениях плиты будут равны:

x(x y z N)

12 Mxy(x y N) z

y(x y z N)

12 Myx(x y N) z

;

12 Mxx(x y N) z

Myy(x y N) z

xy(x y z N)

;

yx(x y z N)

;

(x y N)

xz(x y z N)

;

(x y N)

yz(x y z N)

Наибольшие напряжения x y xy yx в сечениях, проходящих через точку A, достигаются при z h2 и z h2.

x xa , ya , h		,NN		=1,408 103 кПа;			y xa , ya , h		,NN	=1,042 103 кПа.
	2							2
xy xa ,ya , h			, NN		= 2,481 102	кПа;	yx xa ,ya , h		, NN	= 2,481 102 кПа.
		2						2

Наибольшие напряжения xz yz достигаются при z 0:

xz xa , ya ,0M,NN = 1,493 101 кПа;

xy xa ,ya ,0M, NN =1,826 101 кПа.

Расхождения с полученными вручную результатами составляют:

W w xA ,yA			7,286 10 4 7,30 10 4
W w xA ,yA			7,286 10 4 7,30 10 4
	100%					7,30 10 4	100% 0,19%,
w xA ,yA	100%					7,30 10 4	100% 0,19%,
Mxy Mxy xA ,yA		100%			1,502 1,554		100% 3,35%,


Mxy xA ,yA				1,554
Mxy xA ,yA				1,554
Myx Myx xA ,yA		100%			1,112 1,168		100% 4,80%.


Myx xA ,yA						1,168
Myx xA ,yA						1,168

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.68 Mб5Учебное пособие 1896.pdf
#
30.04.20222.69 Mб9Учебное пособие 1897.pdf
#
30.04.20222.69 Mб52Учебное пособие 1898.pdf
#
30.04.20222.7 Mб7Учебное пособие 1899.pdf
#
30.04.2022214.64 Кб12Учебное пособие 19.pdf
#
30.04.2022320.53 Кб2Учебное пособие 190.pdf
#
30.04.20222.7 Mб3Учебное пособие 1900.pdf
#
30.04.20222.71 Mб3Учебное пособие 1901.pdf
#
30.04.20222.71 Mб5Учебное пособие 1902.pdf
#
30.04.20222.72 Mб6Учебное пособие 1903.pdf
#
30.04.20222.73 Mб3Учебное пособие 1904.pdf