Методическое пособие 780

Рис. 2.13. Схема движения колеса с лопатками

На выходе из колеса момент количества движения равен произведению количества движения mc2 на плечо, равное r2 cos 2 , т.е. mc2r2 cos 2 ; на входе в колесо этот момент равен mc1r1 cos 1 . Подставляя эти величины в уравнение (2.41), получим уравнение моментов количества движения Эйлера (1757)

Уравнение (2.42) одинаково справедливо как для лопастного насоса, так и для гидравлической турбины. В последнем случае поток входит в рабочее колесо через сечение II и выходит сечением I , изменяя свой момент количества движения и передавая крутящий момент M лопаткам колеса. Для турбины

векторы скорости c2 и c1 имеют противоположное направление.

массовый расход Q с размерностью кг/с.

Умножая уравнение (2.42) на угловую скорость колеса , получим в правой части полезную мощность насоса (или турбины)

91

Q c2r2 cos 2 c1r1 cos 1 M N.

Очевидно, что эта мощность будет наибольшей при cos 1 0 , т.е. при 1 90 (для насоса это – радиальный вход

потока в рабочее колесо, для турбины – радиальный выход). В этом случае

N Qc2u2 cos 2 .

Уравнение (2.42) имеет особую ценность потому, что крутящий момент здесь получен независимо от каких-либо особенностей потока внутри межлопаточного канала.

92

3. ПОТЕРИ НАПОРА И ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ. РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ

3.1. Потери напора. Формулы Вейсбаха и Дарси

Формулы Вейсбаха и Дарси. Величина потерь напора hv в

уравнении Бернулли (3.1) не зависит от выбора плоскости сравнения (т.е. от абсолютной величины членов z ). Давление, под которым находится жидкость, также практически не влияет на потери напора, так как вязкость при изменении давления почти

не меняется. Поэтому абсолютная величина членов p несуще-

ственна для определения потерь hv .

Но скорость потока v имеет к потерям самое непосредственное отношение: возрастание скорости всегда приводит к росту потерь напора, так как при этом увеличиваются градиенты скорости и силы внутреннего трения у стенок потока.

Поэтому принято замерять потери напора в долях скорост-

где – безразмерный коэффициент сопротивления. Для круглых труб с длиной l и диаметром D потери по длине hl связанные с трением о стенки трубы, определяют по формуле Дарси

где тр – безразмерный гидравлический коэффициент трения.

Очевидно, что формула Дарси представляет собой детализацию формулы Вейсбаха, потери по длине предполагаются пропорциональными длине трубы и обратно пропорциональными диаметру.

93

3.2. Режимы течения вязкой жидкости. Число Рейнольдса

Число Рейнольдса. Опыт показывает, что при движении вязкой жидкости относительно твердой поверхности возможны две качественно отличные формы течения. Условия их существования и взаимного перехода были исследованы Рейнольд-

сом (1883).

В экспериментах Рейнольдса жидкость вытекала из бака по стеклянной трубе (рис. 3.1), скорость течения регулировалась краном. Чтобы наблюдать перемещение струек, в поток вводилась струйка красителя.

Рис. 3.1. Схема эксперимента Рейнольдса

Опыты показали, что при малых скоростях течения v струйка красителя распространяется вдоль трубы в виде нити, не перемешиваясь с соседними объемами жидкости. Жидкость движется слоями, скорость течения поперек трубы изменяется плавно. Сила трения между слоями определяется формулой Ньютона, такой режим течения был назван ламинарным.

Если скорость течения делается больше некоторой критической скорости vкр , окрашенная струйка начинает колебаться

и размываться. В поперечной эпюре скоростей появляются разрывы, скорости отдельных частиц изменяются при их перемещении; в фиксированной точке потока появляются пульсации скорости и давления. Такое течение называется турбулентным. При турбулентном течении обмен количеством движения между слоями, движущимися друг относительно друга, происходит за счет взаимного перемещения уже не отдельных молекул, как при ламинарном течении, а значительно больших по сравнению

94

с молекулой частиц! Это приводит к возрастанию силы трения между слоями.

Рейнольдс показал, что режим движения в трубе определяется величиной безразмерного соотношения, названного впоследствии числом Рейнольдса Re

где D – диаметр трубы, м;

– кинематический коэффициент вязкости жидкости. Согласно опытным данным, при Re 2300 течение всегда

ламинарное, в этом случае возмущения, вносимые в поток жидкости, затухают из-за действия вязкого трения. При больших значениях числа Рейнольдса внесенные в поток возмущения приводят к потере его устойчивости, наблюдается турбулизация.

Значение Reкр 2300 называют критическим числом Рей-

нольдса.

Величину Re можно трактовать как соотношение между силой инерции, опрокидывающей частицу, и силой вязкого трения, препятствующей такому опрокидыванию. Возрастание числа Рейнольдса влечет за собой уменьшение относительного влияния на поток стабилизирующей силы трения у стенки. С достижением это приводит к потере устойчивости потока,

разрывам поперечной эпюры скорости и появлению пульсаций.

Опытные данные по потерям напора. Установка Рей-

нольдса (рис. 3.1) позволяет исследовать влияние режима течения на потери напора в трубе. В результате измерения потерь,

hl связанных с трением о стенки трубы, при разных скоростях

течения было обнаружено, что при ламинарном режиме потери напора пропорциональны скорости в первой степени, а при турбулентном – в степени от 1,75 до 2. Для развитого турбулентного движения при больших скоростях потока характерен квадратич-

95

ный закон сопротивления: hl v . Соответственно при различных режимах течения гидравлический коэффициент трения тр

в формуле Дарси (3.2) зависит от разных факторов. Зависимость тр от числа Рейнольдса и относительной ше-

роховатости стенок трубы была исследована экспериментально немецким ученым Никурадзе (1933). Схема опытной установки принципиально не отличалась от прибора Рейнольдса. По изме-

ренным в опытах hl и v вычислялась величина тр . Шерохова-

тость стенок создавалась наклеиванием на внутреннюю поверхность трубы калиброванного песка, причем диаметр песчинкиотождествлялся с высотой выступа шероховатости.

Полученная в экспериментах Никурадзе зависимость представлена графически на рис. 3.2.

где r – радиус трубы, м.

Рис. 3.2. Зависимость коэффициента трения тр от числа Рейнольдса Re

Величины Re и тр отложены по осям в логарифмическом масштабе. Анализ графика Никурадзе показывает, что при ма-

96

лых числах Рейнольдса ( Re < 2300), ламинарный режим) коэффициент трения не зависит от размеров бугорков шероховатости, величины тр для разных труб лежат на общей прямой АВ.

Это происходит потому, что при ламинарном течении скорость у стенки равна нулю, выступы шероховатости находятся в застойной зоне (рис. 3.3, а) – область гидравлически гладкого сопротивления. В этом случае между турбулентным ядром потока, занимающим большую часть сечения трубы, и стенкой лежит тонкий ламинарный подслой. На рис. 3.3, б его граница показана пунктирной линией. Эпюра скоростей в ламинарном подслое переходит на его границе в эпюру осредненных скоростей турбулентного течения v в ядре потока. Ламинарный подслой играет роль своего рода слоя смазки, покрывающего выступы шероховатости; проникновению в него турбулентных пульсаций препятствует близость стенки. Потери напора в трубе определяются вязким трением внутри подслоя и зависят только от числа Рейнольдса.

С возрастанием скорости (увеличением Re ) ламинарный подслой утоняется, отдельные выступы шероховатости вторгаются в турбулентное ядро потока (рис. 3.3, в). При этом меняется сама природа сопротивления. Если при ламинарном течении и в области гладкого сопротивления потери напора были связаны с внутренним трением в жидкости, то при выдвижении бугорков шероховатости из ламинарного подслоя поток обтекает их с образованием за тыловым склоном вихревых областей. Давление на переднем склоне бугорка оказывается больше, чем на заднем, и поток тормозится этими перепадами давления. При наличии остатков ламинарного подслоя, покрывающих мелкие выступы шероховатости, величина коэффициента трения определяется совместным влиянием числа Рейнольдса и относительной шероховатости. Эта область сопротивления называется до-

квадратичной.

97

подслой полностью срывается (рис. 3.3, г), тр становится

функцией только относительной высоты выступов шероховато-

сти. Это – область квадратичного сопротивления.

Переход от одной области сопротивления к другой опреде-

r

ляется величинами Re и . Из рис. 3.2 следует, например, что сопротивление становится квадратичным ( тр перестает зави-

сеть от Re ) примерно при Re 100000 .

В технических условиях шероховатость труб отличается от зернистой шероховатости опытов Никурадзе более плавными очертаниями бугорков и неодинаковой их высотой. Средняя высота выступов шероховатости составляет для цельнотянутых стальных труб от 0,02 до 0,1 мм, для бывших в употреблении, незначительно корродированных, – от 0,1 до 0,4 мм. Сопротивление труб с естественной шероховатостью исследовалось в

98

специальных опытах (например, работы Ф. А. Шевелева). Свод данных, характеризующих течение в различных областях сопротивления, приведена в табл. 3.1.

Таблица 3.1 Характеристики течения в различных областях сопротивления

Ламинарное течение в круглой трубе. Плавное измене-

ние скоростей при ламинарном режиме и удобство задания граничных условий (нулевая скорость у стенки) позволяют исследовать ламинарные потоки аналитически. Рассмотрим, например, ламинарное течение в круглой трубе радиуса r (рис. 3.4). Определим силы, действующие на объем жидкости в форме цилиндра радиусом r и длиной l . В направлении оси трубы на

99

торцевые поверхности этого цилиндра действуют силы давления p1 r2 и p2 r2 , на боковую поверхность – сила 2 rl (здесь

– касательное напряжение трения). Приравнивая эти силы, имеем

Рис. 3.4. Схема ламинарного движения течения в трубе

Поскольку в круглой трубе течение осесимметрично и скорость измеряется только по радиусу, выражение для напряжения трения (3.5) приобретает вид

Два последних выражения дают дифференциальное уравнение, описывающее поперечное распределение скоростей в трубе

Интегрируя его, имеем

100