Методическое пособие 659

Как видно из таблицы, наиболее сложной задачей является автономное планирование траектории, обеспечивающее обход препятствий. Создание автономно функционирующих роботов связано с роботизацией технологических процессов и потребностями космической и подводной техники. Рассмотрим методы построения программных траекторий на примере подвижного робота.

Предполагается, что внешняя среда содержит запрещенные области, играющие роль препятствий для подвижного робота. В процессе движения робот должен обходить эти препятствия, выполняя при этом определенные задания – целевые условия.

Целевые условия могут задаваться роботу в обобщенном виде: «передвинуться в заданный район», «взять определенный объект и погрузить его на тележку», «выполнить заданную последовательность технологических операций» и т. п. Система управления автоматически строит программные движения тележки и манипулятора, соответствующие заданным целевым условиям, которые затем отрабатываются на исполнительном уровне управления.

При построении закона изменения обобщенных координат, обеспечивающего выполнение на интервале движения некоторого целевого условия, необходимо удовлетворить следующим требованиям:

1.В процессе движения все звенья манипулятора и тележки не задевают препятствий.

2.Выполнены конструктивные ограничения на обобщенные координаты.

3.Движения манипулятора и тележки достаточно плав-

ные.

Условие плавности движений манипулятора определяет ограничения на скорости и ускорения координат в пределах от минимального до максимального значений:

51

По конструктивным соображениям ограничены перемещения звеньев манипулятора:

Имеются также ограничения, связанные с препятствиями. Система линейных неравенств, порожденных препятствиями, а также неравенств, обусловленных конструктивными ограничениями, разрешима, если целевые условия вообще выполнимы в рассматриваемом классе движений. Для решения системы неравенств применяют метод конечно-

сходящихся алгоритмов.

Траектория движения робота может быть спланирована непосредственно в системе обобщенных координат манипулятора, а также в системе декартовых координат в виде последовательности узловых точек, через которые должен пройти схват в процессе перемещения из начального положения в конечное. Во втором случае решается обратная задача о положении механизма для каждой узловой точки (см. п. 2.1–2.4), в результате чего получается матрица значений обобщенных координат, каждый столбец которой определяет конфигурацию механизма в системе обобщенных координат для определенной узловой точки. Полученные значения обобщенных координат в узловых точках являются сигналами для исполнительного уровня управления.

Планирование движений не заканчивается построением матрицы дискретных значений обобщенных координат. Далее необходимо решить задачу определения продолжительности управления и разбиения этого интервала на необходимое число отрезков, а также задачу интерполяции, т. е. задачу определения задающих сигналов для любого текущего момента времени.

Рассмотрим теоретические вопросы планирования движений промышленного робота с учетом препятствий, а также интерполяции с помощью сплайн-функций.

52

3.2.Теоретический подход к построению программных движений робота

Программное движение Xp (t) при всех t [t0,tT ] долж-

но удовлетворять следующим конструктивным и динамическим ограничениям:

где QX ,QX заданные ограниченные области в n-мерном

пространстве;

PF – подпространство в 2n-мерном пространстве, вид которого определяется уравнением движения

где X X(t) – n-мерный вектор состояний исполнительных

приводов и механизмов в текущий момент времени t; u u(t) – m-мерный вектор управлений;

– р-мерный вектор параметров двигательной системы; X0 – начальное состояние.

Кроме того, программное движение Xp (t) должно удовлетворять заданным граничным условиям

Отметим также, что программное движение Xp (t) как

частное решение уравнения движения (3.5) при некотором допустимом управлении u up (t) зависит от параметров ξ Q .

В задачах программного управления предполагается, что эти параметры известны. В рассматриваемом случае на класс программных движений накладываются более жесткие ограниче-

ния, связанные с учетом структуры множества QX состояний.

Построение программных движений осуществляется с учетом свойств динамической модели робота с граничными условиями (3.6) и ограничениями (3.3)–(3.4). Эффективным

53

методом синтеза программных движений является метод их параметризации с учетом граничных условий (3.6). Этот метод обеспечивает отыскание приемлемых параметров программных движений при выполнении граничных условий (3.6) и учете динамического ограничения (3.4), что достигается путем специального выбора базисных функций.

Рассмотрим один из вариантов метода параметризации программных движений. Будем искать программные движения в многопараметрическом классе функций вида

j 1

где τ Nj 1 – вектор искомых параметров;

a0(t),a1(t),...,aN (t) – заданные N-мерные вектор-функции.

Будем называть их базисными, если они удовлетворяют следующим условиям [6]:

1) функции {aj (t)}Nj 0 таковы, что программное движе-

ние (3.5) удовлетворяет граничным условиям (3.6) при любом выборе параметров 1, ..., N ;

2) функции {aj (t)}Nj 0 и их производные {aj (t)}Nj 0 попарно удовлетворяют структурному ограничению (aj (t),aj (t)) PF

при всех t [t0,tT ];

3) функции {aj (t)}Nj 0 при любом конечном числе N линейно независимы;

4)каковы бы ни были функция X(t) на интервале [t0, tT]

иположительное число , существует натуральное число N и

постоянные коэффициенты 1,..., N такие, что

N

X(t) a0(t) τjaj (t) ε ; (3.8)

j 1

5) функции {aj (t)}Nj 0 достаточно просты для программ-

ной или схемной реализации.

Перечисленные требования к базисным функциям имеют следующий смысл. Первое требование обеспечивает решение

54

двухточечной краевой задачи, второе гарантирует осуществимость параметризованного программного движения (3.7) с учетом динамики робота, третье и четвертое означают возможность экономного и вместе с тем сколь угодно точного представления программных движений в виде (3.7), и, наконец, пятое обеспечивает простоту технической реализации искомого программного движения.

Первая задача в рамках параметрического метода построения программных движений заключается в рациональном выборе базисных функций. Рассмотрим некоторые примеры и общие рекомендации по конструированию базисных функций.

Базисными функциями, удовлетворяющими сформулированным требованиям, могут служить полиномы

В самом деле, при таком выборе базисных функций программное движение (3.7) удовлетворяет граничным условиям (3.6), динамическому ограничению (3.4), а также требованиям точной аппроксимации и простой реализации.

Другим примером рационального выбора базисных функций являются тригонометрические многочлены

При конструировании базисных функций можно руководствоваться следующим правилом: в качестве функции a0(t)

выбирать непрерывно дифференцируемую вектор-функцию, удовлетворяющую граничным условиям (3.6), а в качестве остальных базисных функций – функции вида

где j(t) – числовые функции на временном интервале [t0, tT], удовлетворяющие однородным граничным условиям, т. е.

55

В качестве j(t) можно выбирать рассмотренные полиномы и тригонометрические многочлены. Интерес представляет также такая параметризация программных движений, когда в качестве j(t) берутся сплайны [7] – кусочно-полиномиальные функции. Метод сплайнов будет изложен ниже.

Конструирование базисных функций с учетом высказанных соображений обеспечивает соблюдение граничных условий (3.6), динамического ограничения (3.4) при любом выборе

параметров 1, ..., N в функции (3.7), а также приводит к высокой точности аппроксимации и простой реализации синтезируемых программных движений. После выбора базисных функций a0(t), a1(t), ..., aN(t) можно перейти к фактическому построению программных движений вида (3.7).

Задача синтеза программных движений сводится к отыс-

канию приемлемых значений параметров 1, ..., N. Эти параметры следует определять исходя из заданных ограничений

(3.3), где QX F(QX ,QU ,ξ). Ограничения (3.3) с учетом (3.7) превращаются в систему неравенств относительно параметров

τ j Nj 1 .

Таким образом, задача построения программных движений в результате параметризации (3.7) сводится к решению системы неравенств, описывающих ограничения (3.3), относительно параметров искомого программного движения.

Для решения полученных неравенств простым и эффективным является метод, использующий рекуррентные конеч- но-сходящиеся алгоритмы решения неравенств.

3.3. Конечно-сходящиеся алгоритмы решения рекуррентных неравенств

Введем искомый вектор подстраиваемых параметров .

Пусть t = 0, 1, ..., t–1 – дискретное время; t( ), t( ) – вещественные функции. Предположим, что имеется правило, сопо-

ставляющее каждому набору τ0t 1 векторов [ 0, 1, ..., t–1],

56

составляющие которого соответствуют значениям вектора в дискретные моменты времени, две функции от :

(Далее, для краткости, аргументы τ0t 1 у этих функций

не выписываются). Рассмотрим неравенства

которые будем называть условными неравенствами, и неравенства

которые будем называть безусловными неравенствами.

В задачах адаптивного управления неравенства (3.14) порождаются целевым условием (целью управления); неравенства (3.15) описывают ограничения на возможные значе-

ния вектора τt подстраиваемых параметров. Знаки или > в

(3.14), (3.15) в каждый момент времени могут быть любыми. Неравенства (3.15) в частном случае могут отсутствовать.

Пусть заданы множество { }° начальных значений вектора 0 подстраиваемых параметров и правило

т. д. Неравенства (3.14), (3.15) заранее для всех t не заданы, они появляются последовательно во времени после очередного «срабатывания» алгоритма (3.16). Поэтому будем называть

57

(3.14) и (3.15) рекуррентными неравенствами. Для разных алгоритмов (3.16) неравенства (3.14) и (3.15) будут разными.

Правая часть (3.16) обычно зависит лишь от τt , t , t .

Уравнение (3.16) является конечно-сходящимся алгоритмом решения рекуррентных неравенств – условных (3.14) и безусловных (3.15), если для всех t выполнено (3.15) при

τ τt и если существует такой момент времени t* , что для t t* выполняются неравенства (3.14) при τ τt и векторы t далее не изменяются: τt* τt* 1 ... . Число r моментов времени t 1, для которых при τ τt не выполняется (3.14), назы-

вается числом ошибок (коррекций) алгоритма.

Итак, конечно-сходящийся алгоритм – алгоритм, доставляющий решение бесконечного числа заранее незаданных условных рекуррентных неравенств: неравенства (3.14) при t < t* могут остаться невыполненными. На каждом шаге решение должно выбираться из области, определяемой также появляющимся рекуррентным неравенством.

Важно помнить, что рекуррентные неравенства (3.14), (3.15) могут зависеть от алгоритма (3.16): для разных алгоритмов они разные.

При решении задачи построения конечно-сходящегося алгоритма требуется за конечное время найти решение бесконечной системы неравенств, заранее неизвестных. Однако многие задачи адаптации приводят к рекуррентным неравенствам, для которых выполнен ряд дополнительных свойств, что дает возможность строить такие алгоритмы.

Наличие определенной стабильности, присущей обычно практическим задачам, приводит к тому, что неравенства (3.14), (3.15) выполняются для всех t при значениях подставляемых параметров из некоторой окрестности вектора τ(ξ).

Иначе для τ τ(ξ) эти неравенства выполнены «с запасом».

Второе важное свойство, которое часто имеет место, – это наличие областей в пространстве { }, определяемых ре-

58

куррентными неравенствами (3.14), (3.15). Указанные два обстоятельства позволяют строить конечно-сходящийся алгоритм следующим образом.

Пусть безусловные неравенства отсутствуют. Обозначим через Тt область, определяемую неравенством (3.16). Если

(3.14) выполняется для τ τt , т. е.τ Тt , то полагаем τt 1 τt . Если (3.14) не выполнено для τ τt , то существует плоскость

Пt, отделяющая вектор t от множества Тt. Выберем в качествеt+1 ортогональную проекцию вектора t на плоскость Пt. Век-

тор t+1 будет ближе к неизвестному нам вектору ( ), чем t. Из сделанных предположений следует существование такого

не зависящего от t числа > 0, что

Итак, построенный алгоритм будет обладать свойством (3.17). Отсюда следует его конечная сходимость. Каждый раз, когда не выполнено (3.14), справедливо (3.17), т. е. величина

V(τt ) τt τ(ξ)2 убывает по меньшей мере на . Когда нера-

венство (3.14) выполнено, то V( t) не изменяется. Поэтому число r ошибок алгоритма конечно.

Плоскость Пt можно строить по-разному: при этом получаются различные конечно-сходящиеся алгоритмы. Вместо

функции V(τt ) τ τ(ξ)2 можно выбрать любую неотрица-

тельную функцию; важно лишь, чтобы для некоторого > 0 выполнялось

V(τt 1 ) V(τt ) при ( ) < 0 ( 0). (3.18)

Рассмотрим конечно-сходящийся алгоритм «Полоска-1», который целесообразно использовать при прямоугольной форме препятствий.

59