Методическое пособие 640
.pdf
N – среднее значение мощности помех.
Таким образом, наибольшее среднее количество информации, содержащееся в Y относительно X, равно
Это количество |
, = |
log 1+ |
|
. |
(5.20) |
|
|
||||||
макс( |
информации) |
можно представить объе- |
||||
мом в пространстве трех измерений (рис. 5.6). Для увеличе-
ния |
макс( |
, |
) |
необходимо увеличивать W, T и |
|
. Заметим, что |
|
|
|
|
величину
log
иногда называют “объемом сигнала”.
Рис. 5.6. Объем максимального количества информации, содержащегося в принимаемых сообщениях относительно пе-
редаваемых.
Из (5.20) видно, что одно и то же количество информации можно передать, сохраняя постоянным объем количества ин-
формации, но используя различные W, T и .
Тогда, пропускная способность канала связи определяет-
ся:
= макс = lim→ |
макс( , ) |
= log 1+ |
|
111 |
|
или:
= log 1+ |
|
. |
(5.21) |
|
Эта формула указывает, что наибольшая скорость передачи информации (в двоичных единицах в секунду) прямо
пропорциональна полосе частот и логарифму суммы 1+ .
Формула (5.21) может быть получена приближенно следующим способом. Наибольшая скорость передачи информации в общем случае равна
С = log = log , |
(5.22) |
где n – наибольшее количество элементов сообщений, передаваемых в единицу времени (в одну секунду);
m – количество различных возможных состояний.
Наибольшее количество элементов сообщений можно передать, если при полосе W, занимаемой сообщениями, импульсы выбрать равными
|
И = |
1 |
, |
|
|
тогда |
2 |
|
|||
|
= |
1 |
= 2 . |
(5.23) |
|
|
И |
||||
Для оценки количества состояний m можно положить, что при дисперсии шума и дисперсии принятого сигнала количество различных состояний равно
= |
|
= |
+ |
= 1+ |
|
(5.24) |
|
|
Подставляя (5.23) и (5.24) в (5.22), получим
= log 1+ |
|
(5.25) |
|
Приведенный упрощенный вывод обладает, очевидно, 112
рядом допущений: формула (5.25) справедлива лишь для равновероятного распределения состояний элементов сообщений, для нормальных шумов несправедлива, замена непрерывных состояний дискретными с интервалами квантования является условной. Тем не менее, приведенный вывод способствует лучшему интуитивному пониманию формулы максимальной пропускной способности канала связи в условиях воздействия помех.
Выше предполагалось, что W – ширина спектра сигнала и помехи. Поскольку ширина таких спектров определяется полосой пропускания канала связи, то под W целесообразно понимать ширину полосы канала связи. Зависимость пропускной способности от отношения сигнал/шум при различных величинах полосы пропускания канала изображена на рис. 5.7. Харак-
тер изменения C от отношения различный при различных от-
ношениях .
Рис. 5.7. Зависимость пропускной способности канала связи от отношения сигнал/шум при различных W
Рассмотрим два крайних случая.
1. Малое отношение сигнал/помеха. Если 1, то,
113
учитывая, что при малом ξ в разложении |
) = |
|||||
log(1+ |
) = log ∙ln(1+ |
|||||
= log |
− |
2 |
+ |
3 |
− |
(5.26) |
можно ограничиться одним членом ряда, получим
= log 1+ = log
или
= 1,443 |
|
(5.27) |
|
Это указывает, что при малом отношении сигнал/помеха пропускная способность канала связи прямо пропорциональна отношению сигнал/помеха.
2. Большое отношение сигнал/помеха. Если 1, то с
хорошим приближением
= log 1+ |
|
= log |
|
(5.28) |
|
|
т. е. зависимость пропускной способности канала связи от отношения сигнал/помеха логарифмическая.
Представляет существенный интерес выяснение зависимости пропускной способности канала связи от ширины полосы пропускания. Дело в том, что зависимость C от W в реальных системах более сложная, чем просто линейная. От полосы канала связи зависит величина мощности помехи на входе приемного устройства. Если помеха равномерно распределена по спектру частот, то ее величина может быть определена по формуле
= |
, |
(5.29) |
где – спектральная плотность мощности помехи, т. е. мощность помехи, приходящаяся на единицу полосы частот канала.
Таким образом, зависимость пропускной способности ка-
114
нала связи от ширины полосы определяется соотношением
= log |
1+ |
|
. |
|
|||
Мощность сигнала Р выразим через эквивалентную поло- |
|||
су и спектральную плотность |
: |
(5.30) |
|
= |
|
||
тогда |
|
|
|
=log 1+
и, поделив обе части равенства на |
, получим |
|||||
|
|
= |
|
log 1+ |
|
(5.31) |
|
|
|
||||
Характер, этой зависимости виден из рис. 5.7. Важно отметить, что с увеличением полосы пропускания пропускная способность канала не увеличивается безгранично, а стремится к определенному пределу. Это объясняется возрастанием шума в канале и ухудшением отношения сигнал/шум на входе приемного устройства. Предельное значение, к которому стремится (5.31) с ростом W, определим следующим образом. На основании ряда (5.26) можно считать, что с увеличением W с хорошим приближением
и тогда |
log 1+ |
|
|
= log |
|
|
||||
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
log 1+ |
|
|
= log = 1,443 |
|||
|
|
|
|
|||||||
откуда |
= 1,443 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
Раскрывая содержание эквивалентной полосы пропускания в соответствии с (5.28), окончательно получим
115
= 1,443 |
|
(5.32) |
|
Из формулы видно, что максимальное значение, к которому стремится пропускная способность канала связи с ростом ширины полосы канала, пропорциональна отношению средней мощности сигнала к спектральной мощности помехи
(рис. 5.8).
Рис. 5.8. Зависимость пропускной способности канала связи от ширины полосы канала при равномерной спектраль-
ной плотности помехи.
Отсюда, очевидно, следует практический вывод: для увеличения пропускной способности капала необходимо брать большую среднюю мощность передающего устройства и иметь приемное устройство с минимальным уровнем шумов на входе.
5.6. Влияние распределения шумов по спектру на скорость передачи информации
116
В общем случае в канале связи сигнал и шум имеют спектры, изменяющиеся в полосе частот. Пусть полоса частот ка-
нала равна |
сигнал па входе приемного устройства имеет |
||||
спектральную−плотность мощности |
( ) |
, |
а помеха – |
( ) |
|
(рис. 5.9). |
|
|
|
||
Рис. 5.9. Спектральная плотность мощности сигнала и помехи
Мощность сигнала па входе приемника может быть выражена через спектральную плотность сигнала
=( )
аналогично может быть определена мощность помехи
=( )
Для определения скорости передачи информации воспользуемся формулой
117
( ) − ( )
= lim (5.33)
→
Если сигнал и шум распределены по нормальному закону, то в элементарной полосе частот ∆ приведенная энтропия суммы сигнал плюс шум равна
∆ log2 [ ( )∆ + ( )∆ ],
а приведенная энтропия шума –
∆ log2 [ ( )∆ ]
Скорость передачи информации, обусловленная полосой ∆ , в соответствии с (5.33) равна
( |
) + |
( ) |
|
∆ = ∆ log |
( ) |
|
(5.34) |
Для определения скорости передачи информации, обусловленной полосой = − , просуммируем все составляющие (5.32) по частоте
( |
) + |
( ) |
|
= log |
( ) |
|
(5.35) |
Определим скорость передачи сообщений для двух слу-
чаев.
1-й случай. Задана спектральная плотность мощности помехи ( ). Определить вид функции спектральной плотности сигнала ( ), при которой скорость передачи информации имеет наибольшее значение. Будем считать, что при любом виде ( ), средняя мощность сигнала сохраняется неизменной, т. е.
( ) = = |
(5.36) |
Эта задача является вариационной по отысканию ( ),
118
обеспечивающей максимум функции (5.33) с дополнительным условием (5.36). Для решения задачи составим функционал
|
|
|
( |
|
) + |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
log |
|
|
( ) |
|
|
|
+ ( |
) |
|
(5.37) |
||||||
Максимум функционала имеет место, если вид функции |
||||||||||||||||||
( ), удовлетворяет уравнению Эйлера: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
( |
) |
− |
|
( |
) |
= 0 , |
|
|
|
|||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
||||||
где |
|
|
( ) + |
|
|
|
||||||||||||
( |
) = log |
|
( |
|
) |
+ |
( |
) |
(5.38) |
|||||||||
Так как (5.38) не зависит от( |
) |
|
|
, то уравнение Эйлера в |
||||||||||||||
данном случае приводится к виду |
′( |
) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
и равно |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) 1 |
|
+ |
|
|
= 0 или |
( |
1 |
( |
) |
= − |
||||||||
+ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + |
|
||||||
Следовательно( ) |
, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = − |
− |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
(5.39) |
||||||||
Так как ( ) и ( ) – величины положительные, то и −
– величина положительная. На рис. 5.10 показан способ определения спектральной плотности сигнала, обеспечивающий наибольшую скорость передачи информации: из постоянного значения надо вычесть спектральную плотность помехи, оставшаяся величина определяет нужный спектр сигнала.
119
Рис. 5.10. К определению спектральной плотности мощности сигнала
Скорость передачи информации при этом равна [см. (5.39)]
( |
) + |
( |
) |
|
1 |
|
|
|||
= log |
|
( |
) |
1 |
|
= log |
− |
|
|
− log ( ) = |
|
|
|
||||||||
|
= log |
− |
( |
− ) |
log ( ) |
(5.40) |
||||
Из последнего равенства видно, что скорость передачи информации определяется видом спектральной плотности помехи ( ).
2-й случай. Допустим, что сигнал согласован с помехой по спектру и равенство (5.37) выполняется. Определим такой вид спектральной плотности помехи при котором обеспечивается наименьшая скорость передачи информации. Мощность помехи в полосе частот − сохраняется постоянной, т. е.
( ) =
120