Методическое пособие 582

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Следовательно,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

В частности, если			f (0) = 0, то f ' (t)				p F( p) .
Доказательство. С помощью формулы интегрирования по
				частям находим, что
f ' (t)		f ' (t) e pt dt = f (t) e pt					+ p	f (0) e pt dt	=
f ' (t)		f ' (t) e pt dt = f (t) e pt				0	+ p	f (0) e pt dt	=
		0						0
		= p F( p) +			lim [ f (T )e		pT	f (0)] .
					T
Пусть		f (t)		M e 0t и пусть		= Rep > 0. Тогда
f (t) e	pT	M e	(	0 )T	0 при t	+ . Поэтому
f (t) e		M e			0 при t	+ . Поэтому
lim [ f (T )e			pT	f (0)] = - f (0) ,		f ' (t)		p F( p) - f (0) .
T
Следствие.
Если функции				f (t) ,	f ' (t) , f ' ' (t) , ... ,			f ( n ) (t) – оригиналы,
то
f ( k ) (t)		p k F( p) – pk			1 f (0) – p k	2	f ' (0) -…– f (k 1) (0) ,		(2.17)

где k = 1,2,3,... , n.

В частности, если

f (0) = f ' (0) = ...=			f (k 1) (0) = 0,
то f ( k ) (t)	p k F( p) , где k = 1,2,3, ... , n.				(2.18)
Так как f ' (t)	= [ f ' (t) ]', f ' ' ' (t) = [ f ' (t) ]', то в силу (2.16),
имеем				- f (0) ] – f ' (0) =
	f ' ' (t)		p [ p F( p)
		= p 2 F( p) - p f (0) – f ' (0) ,
f ' ' ' (t)		p [ p 2 F( p) - p		f (0) – f ' (0) ]-	(0)=
=	p3	F( p) – p 2 (0) -		p f ' (0) – (0),
f ( n ) (t)		p n F( p) – pn 1		f (0) –...- f (n 1) (0) .

Соотношения (2.17) - (2.18) играют большую роль в применениях преобразования Лапласа, так как сложной операции дифференцирования оригинала соответствует более простая

операция над изображением оригинала.

2.2.5. Интегрирование оригинала

Теорема 5. Если f (t) F( p) , то интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на p.

t	F ( p)
f ( )d		,	(2.19)
	p
0

интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на p.

В самом деле,

t		t
f ( )d	[	f ( )d ] e pt dt .
0	0	0

Применим к интегралу в правой части этого соотношения формулу интегрирования по частям, полагая

u= f ( )d , dv= e

pt dt

, du = (t)dt, v = -

e pt .

В результате получим

f ( )d

[ f ( )d

] e

pt dt = [-

e pt

f ( )d ]

f (t) e

pt dt

F( p) ,

так как, если Rep>s0, где s0 - порядок роста функции

f (

, то e pt

f ( )d

0 при t

+ .

2.2.6. Дифференцирование изображения

Теорема 6. Если f (t)		F( p) , то
(	t)	f (t)	F' ( p) ,	(2.20
(	t)n	f (t)	F ( n ) ( p) ,	(2.21)

дифференцированию изображения по переменной p соответствует умножение оригинала на ( t) .

Доказательство. Так как функция

F( p) = f (t) e pt dt аналитична в полуплоскости Rep= > 0, то

в каждой точке этой полуплоскости функция F( p) имеет производные любого порядка. Можно доказать, что

f (t) e pt dt =

f (t) e pt dt .

dp 0

Поэтому F' ( p) =

( t)

f (t) e

pt dt

(

t) f (t) .

Применяя это правило n раз, получим

( t)n f (t)

F ( n ) ( p) .

Пример. Положим в формуле (2.21)

f (t) = (-1)n.

Так как

( 1)n

( n )

(-1) (-1)

/p, то t

= ( t)

(-1)

= (-1)n(-1)(-2)(-3)...(-n)

. Следовательно,

pn 1

t n

(2.22)

pn 1

2.2.7. Интегрирование изображения

Теорема 7. Если F( p) f (t) и если несобственный инте-

грал	F(q)dq сходится, то	F(q)dq	f (t)	,
			t
p		p

иными словами, интегрированию изображения в пределах от p до соответствует деление оригинала на t.

Доказательство. Пусть несобственный интеграл

F(q)dq =	[	f (t) e qt dt ] dq	(2.23)
p	p	0

сходится и пусть интегрирование по переменной q, соединяющей точки p и , проводится по кривой, лежащей в полуплоскости Rep > 0, где 0 - порядок роста функции f (t) . Тогда, меняя в повторном интеграле (2.23) порядок интегрирования, получим

F(q)dq = [

e qt dq ] f (t) dt =

e qt

p ] f (t) dt=

f (t) e pt dt ,

то есть

f (t)

F(q)dq .

Примеры.

1. Найти изображение функции

f (t) =

sin t

Так как sin t

, то

sin t

arctgq

p =

- arctgp = arcctg p.

2. Найти изображение функции

sit =	t	sin	d .

	0

Функция sit называется интегральным синусом. Пользуясь результатом предыдущего примера и теоремой об интегрировании оригинала, находим, что

	sit	arcctgp	.
	sit		.
		p
	2.2.8. Теорема о запаздывании оригинала.
Изображение периодических оригиналов
Пусть f (t) -оригинал и
пусть a	0 . Тогда функция
f (t a)	называется запо-
здавшим оригиналом. График
функции	f (t a) получается
из графика функции f (t)
сдвигом вправо
на величину a (рис. 2.4).			Рис.2.4

Теорема 8. Если f (t) F( p) , то f (t a) F( p) e ap , при запаздывании оригинала на величину a изображение умножается на e ap .

Доказательство. Пусть f (t)		F( p) =	f (t) e pt dt .
			0
Тогда, так как	f (t a) = 0 при t<0,
то f (t a)	f (t a) e pt dt =	f (t a) e pt dt .
0	a

Впоследнем интеграле сделаем замену переменной t– a =t1.

Врезультате получим

f (t a) e pt dt =	(t1) e p(t1 a) dt1= e ap	(t1) e pt1 dt1,
a	0	0

то есть

f (t a) e ap F( p) .

Пример. Найти изображения функций, графики которых изображены на рис. 2.5, 2.6 и 2.7. Функции 1(t) и 2(t) можно

задать в виде:

1(t)=A (t)-A (t- a ),

2(t)=A (t)-2A (t- a )+2A (t-2 a ) – ...

F ( p) =

2e ap

e 2ap

e 3ap

.... ) =

2e ap

1 e ap

A(1

e ap )

p(1 e ap )

Легко видеть, что

3(t)=

f2 (

. Поэтому

F3 ( p) =

( p)

Оригинал f (t) называется периодическим оригиналом с пе-

риодом T, если равенство

(t+T)=

(t) выполняется для всех t>0.

Функции 2(t) и 3(t), рассмотренные в предыдущем примере, являются периодическими оригиналами с периодом T=2 a .

Изображение периодического оригинала можно найти следующим образом. Пусть g(t) = f (t) , если t [0,T] и g(t) =0, если t

[0,T]. Тогда
f (t) = g(t) + g(t	T ) + g(t 2T ) + g(t			3T ) + ..... ,
F( p) = G( p) + G( p) e pT + G( p) e 2 pT + G( p) e 3 pT +...
		G( p)
F( p)	=		.	(2.24)
F( p)	=	1 e pT	.	(2.24)
			Пример. Найти изображе-
		ние функции, график которой
		изображен на		рис.2.8. Имеем
		g(t) = t, если t		[0,T] и g(t) =0,
		если t [0,T]. Поэтому
Рис.2.8

T		te pt		e pt
G( p) = te pt dt =						T
			p	p2		0
0

	1		Te pt
Следовательно, F( p) =					.
	p2		p(1	e pt )

	1 e pT		Te	pT
=					.
=		p2			.
		p2		p

2.2.9. Гамма - функция Эйлера. Изображение степенных функций

В общем курсе высшей математики рассматривается не-

собственный интеграл ta 1e t dt . Этот интеграл сходится, если

			0
a > 0, и определяет функцию					(a) , называемую гамма - функ-
цией Эйлера		(a) =	ta 1e t dt , a > 0.
			0
	Для функции		(a) справедливо равенство:
(a	1) = a	(a) , которое позволяет свести вычисление функ-
ции	(a) при a >1 к вычислению					(a) при a (0,1]. В частно-
сти,

		(n 1) n! ,		(1/ 2)		, (3 / 2)	/ 2 .
Найдем теперь изображение функции f (t) = t a ,
где a > -1 –любое действительное число.
По определению F( p)				=	ta e	pt dt . Считая p	> 0 действи-

тельной переменной, сделаем в интеграле замену переменной pt = t1, t = t1/p, dt = dt1/p. В результате получим

			F( p) =	1	t a e	t1 dt =		(a 1)	.
			F( p) =		t a e	t1 dt =			.
				pa 1	1	1		pn 1
				pa 1	0			pn 1
					0
		Таким образом, если a > –1, то
			t a		(a	1)	( a >-1).			(2.25)
			t a		pn 1		( a >-1).			(2.25)
					pn 1
В	частности, если a			= n	– целое положительное					число, то
tn		n!	, что совпадает с результатом (2.22), полученным дру-
tn		pn 1	, что совпадает с результатом (2.22), полученным дру-
		pn 1

гим способом.

При a =–1/2 и a =1/2

получаем	1				,											.
	1							t

				p								2 p
		t		p								2 p			p
Эти результаты принято записывать в виде
						1				1			,				(2.26)
													,				(2.26)
							t				p

			2			t				1				.			(2.27)


									p			p
Замечание. Функция t a ,								a (-1,0) при t = 0									терпит разрыв

второго рода. Однако для этих функций преобразование Лапласа

существует. Поэтому функции t a при a (-1,0) включаются в множество оригиналов.

2.3.Обратное преобразование Лапласа

Впредыдущих пунктах решалась задача: дана функция f (t) , принадлежащая множеству оригиналов, требуется найти

преобразование Лапласа F( p) этой функции. Рассмотрим теперь обратную задачу. Дана функция F( p) комплексного переменного p. Требуется выяснить, при каких условиях функция F( p) является преобразованием Лапласа для некоторой функции f (t) и как найти оригинал f (t) , изображением которой является данная функция F( p) .

Для решения этой задачи сравним преобразование Лапласа с преобразованием Фурье. Как известно, если функция f (t) аб-

солютно интегрируема на всей числовой оси t и на каждом отрезке [-T,T] конечной длины кусочно-непрерывна и кусочномонотонна, то для нее существует преобразование Фурье

F( ) =		1	f (t)e i t dt .	(2.28)

		2
		2
Функция f (t) по функции		F(	) находится с	помощью об-
ратного преобразования Фурье
f (t) =	1		F( ) ei t d .	(2.29 )


	2
	2

Пусть f (t) - оригинал, F( p) - преобразование Лапласа функции f (t) . Так как f (t) = 0 при t<0 и p i , то формулу (2.2) для определения F( p) можно записать в виде

f (t)e (

i ) dt =

i ) =

[ 2 f (t)e t ]e

t dt .

Отсюда следует, что при каждом постоянном

> 0 функция

F( i )

является преобразованием Фурье для функции

Поэтому, в силу (2.29),

2 f (t)e t =

i ) ei t d ,

отсюда находим, что

f (t) =

i ) e(

)t d .

(2.30)

Формула (2.30) справедлива во всех точках t, в которых функция f (t) непрерывна, и всех > 0 .

Преобразуем интеграл в правой части (2.30) в интеграл по комплексному переменному p i .

Так как =const, то d	1	d (	i )

	i
ременная меняется в пределах от -				до
няется по прямой = const от		-i	до	+i

1i dp , при этом, если пе-

, то переменная p ме-

. Следовательно,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.53 Mб8Методическое пособие 579.pdf
#
30.04.2022489.47 Кб8Методическое пособие 58.doc
#
30.04.2022326.25 Кб2Методическое пособие 58.pdf
#
30.04.20222.55 Mб6Методическое пособие 580.pdf
#
30.04.20222.55 Mб2Методическое пособие 581.pdf
#
30.04.20222.55 Mб4Методическое пособие 582.pdf
#
30.04.20222.56 Mб3Методическое пособие 583.pdf
#
30.04.20222.57 Mб5Методическое пособие 584.pdf
#
30.04.20222.59 Mб2Методическое пособие 585.pdf
#
30.04.20222.59 Mб3Методическое пособие 586.pdf
#
30.04.20222.6 Mб3Методическое пособие 587.pdf