Методическое пособие 504
.pdfвключается в искомую область; б) при одинаковых знаках в системе общая часть совпадает с полуплоскостью, которая не включает другой граничной прямой, то есть геометрическим изображением служит полуплоскость х - 2 у -3 > 0 (рис. 3.14); в) в данном случае полуплоскости не имеют никакого пересечения, то есть общей области вовсе не существует(рис.
3.15).
Рис. 3.13 |
Рис. 3.14 |
Рис.3.15
3.10. Построить область, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств у > 2x + 4, х > -5, x + y £1.
Решение. |
На плоскости Оху строим |
5 |
3 |
||||
сначала |
прямую |
||||||
y = 2x + 4 . Для |
этого |
полагаем х = 0, у = 0, |
находим |
точки |
|||
пересечения прямой |
с |
осями |
координатy = 4, 4 < x = -2 и |
||||
проводим |
через |
эти |
точки |
прямую(рис. 3.16). Неравенство |
|||
у > 2x + 4 |
будет |
представлять |
область, координаты |
точек |
которой расположены выше построенной прямой, причем сама
101
прямая в искомую область не включается. Неравенство x > -5
представляет |
область расположенную |
правее прямойx = -5 . |
Последнее |
неравенство напоминает |
уравнение прямой в |
отрезках на осях. |
|
|
|
Рис. 3. 16 |
|
|
|
|
Откладывая по осям Ох, Оу точки а = 5 и b = 3 и |
|
|||||
проводя |
через |
них |
прямую, находим, |
что |
область |
|
удовлетворяющая |
этому |
неравенству |
расположена |
ниже |
||
прямой. Из |
построений |
видно, что |
искомая |
область |
||
представляет |
треугольник ABC, где отрезок АВ принадлежит |
|
||||
области. |
|
|
|
|
|
|
3.11. |
Найти |
область, |
координаты |
точек |
которой |
|
удовлетворяют системе неравенств: |
|
|
|
|||
ì2x - y + 4 > 0, |
ì3х - у + 4 ³ 0, |
|
|
|
||
ï |
|
|
|
|
||
a) í |
x < 0; |
б) í x + y - 2 ³ 0, |
|
|
|
|
î |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
îx - 2 y - 6 > 0. |
|
|
|
|
Решение. а) Поскольку из первого неравенства при х=0, |
|
|||||
y = 0 Þ 4 > 0, то полуплоскость включает |
начало |
координат |
||||
(рис. 3.17). |
|
|
|
|
|
|
102
|
|
Рис. 3.17 |
|
|
|
|
|
|
Неравенству |
х < 0 соответствуют |
все точки |
левой |
|
||||
полуплоскости. Решением |
является |
общая |
часть |
или |
||||
пересечение |
этих |
полуплоскостей, |
ограниченная |
прямыми |
|
|||
2x - y + 4 = 0, х = 0 пересекающимися под углом a . |
|
|
|
|||||
б) При х = 0, у = 0 из первого неравенства следует, что |
|
|||||||
полуплоскость |
включает |
начало |
координат(рис. |
3.18); |
из |
|
второго - |
следует, |
что |
полуплоскость не |
включает начало |
|
||
координат; |
из третьего, |
что |
не |
включает. |
Следовательно, |
|
|
имеются |
лишь |
три |
изолированных |
пересечения |
дву |
||
полуплоскостей, |
обозначаемых, |
соответственно, углами |
|
||||
a, b,g между прямыми |
|
|
|
|
|
||
3x - y + 4 = 0, х + у - 2 = 0 и х - 2 у - 6 = 0 |
|
Рис.3.18
103
3.4. Задачи на прямую линию
1°. Точка пересечения двух прямых. Пусть прямые заданы уравнениями
А1х + В1 у + С1 = 0; A2 x + B2 y + C2 = 0 . |
(1) |
Координаты точки пересечения находятся из решения |
|
этой системы |
|
|
|
x = |
C2 B2 -C1B2 |
; |
|
y = |
A2C1 - A1C2 |
. |
|
(2) |
||||||||||
|
|
|
A1B2 - A2 B1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
A1B2 - A2 B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При этом возможны следующие случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a) A B - A B ¹ 0 или |
А1 |
|
¹ |
В1 |
|
- прямые |
пересекаются |
в |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
2 |
2 |
1 |
|
А2 |
|
В2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
определенной точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
В1 |
|
С1 |
|
|
|||||
б) A B - A B = 0 и С В -С В ¹ 0 или |
|
= |
¹ |
|
- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
А2 |
|
|
В2 |
|
С2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямые параллельны, точек пересечения нет.
в) A B - A B = 0 и С В -С В = 0 или |
А1 |
= |
В1 |
= |
С1 |
- |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
А2 |
|
В2 |
|
С2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
обе прямые сливаются в одну, система уравнений сводится к |
||||||||||||||||
одному |
уравнению, |
точек |
|
|
|
пересечения |
бесчисленное |
|||||||||
множество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2°. Под углом между двумя прямыми (рис. 3.19) |
|
|||||||||||||||
|
|
(L1 ) |
y = k1x + b1; |
|
(L2 ) |
|
y = k2 x + b2 , |
|
|
|
|
(3) |
||||
понимают |
угол j , отсчитываемый от прямой |
L1 против |
||||||||||||||
часовой стрелки, до прямой L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
tgj = |
k2 - k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ k1k2
104
Рис. 3.19
Если прямые заданы общими уравнениями(1), то формула (4) принимает вид
|
tgj = |
A1B2 - A2 B1 |
. |
|
|
(5) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
A1 A2 + B1B2 |
|
|
|
|
|
||||
Условие параллельности прямых |
|
|
||||||||||
|
k |
= k |
2 |
или |
|
А1 |
|
= |
В1 |
. |
(6) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
А2 |
|
|
В2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Условие перпендикулярности прямых |
|
|||||||||||
|
k = - |
1 |
|
|
или A A + B B = 0. |
(7) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
k2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
||||
3°. Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пучка |
|
прямых. Пучком |
прямых, |
|||||||||
проходящих |
через |
данную |
|
точкуM (x0 , y0 ) , |
называют |
|||||||
совокупность всех прямых, проходящих через эту точку |
||||||||||||
|
y - y0 = k (x - x0 ). |
|
|
|
|
|
(8) |
|||||
Точка M (x0 , y0 ) называется центром пучка. Угловой |
||||||||||||
коэффициент k |
в уравнении пучка прямых неопределён. |
|||||||||||
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку |
||||||||||||
пересечения двух данных прямых (1), имеет вид |
|
|||||||||||
A1x + B1 y + C1 + l (A2 x + B2 y + C2 ) = 0. |
(9) |
|||||||||||
Здесь параметр l неопределен. |
|
|
||||||||||
4°. Расстояние |
от |
|
данной |
|
точки до данной прямой. |
Чтобы найти расстояние от точки M1 (x1 , y1 ) до прямой, нужно в левую часть нормального уравнения прямой вместо текущих
105
координат |
подставить |
|
координаты |
точкиM1 |
и |
взять |
|||||||||||||||||||
абсолютную величину получившегося числа |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
d = |
|
x1 cosa + y1 sina - p |
|
. |
|
|
|
|
(10) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Если прямая задана общим уравнением, то формула (10) |
||||||||||||||||||||||||
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d = |
|
Ax1 + By1 + C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5°. Уравнения биссектрис углов между прямыми (1) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
A1x + B1 y + C1 |
= ± |
A2 x + B2 y + C2 |
. |
|
|
|
(12) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
A2 |
+ B2 |
|
|
|
|
|
A2 |
+ B2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6°. Из уравнения |
прямой |
|
проходящей |
через |
две |
точки |
||||||||||||||||||
следует |
условие |
расположения |
|
|
трех |
|
1 ( 1 |
1 ) |
, |
||||||||||||||||
|
|
точекM x , y |
|||||||||||||||||||||||
M 2 (x2 , y2 ), M 3 (x3 , y3 ) |
одной прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
y3 - y1 |
= |
x3 - x1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y2 - y1 |
x2 - x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4.1. |
Написать |
|
уравнения |
|
|
прямых |
проходящих |
через |
||||||||||||||||
точку |
А(-3,4) параллельно |
и |
|
|
перпендикулярно |
к |
прямой |
||||||||||||||||||
2x - y -3 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Воспользуемся уравнением пучка прямых (8) |
||||||||||||||||||||||||
и запишем уравнение пучка прямых с центром пучка в точке А |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y - 4 = k (x + 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Приводим уравнение прямой к уравнению прямой с |
||||||||||||||||||||||||
угловым |
коэффициентом у = 2х -3, |
|
отсюда |
угловой |
|||||||||||||||||||||
коэффициент прямой k = 2. |
Если прямые параллельны, то их |
||||||||||||||||||||||||
угловые коэффициенты равны(6). Выбирая из уравнения |
|||||||||||||||||||||||||
пучка |
прямую |
|
с |
угловым |
коэффициентомk = 2 |
находим |
|||||||||||||||||||
уравнение прямой параллельной данной |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x - y +10 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Используя условие перпендикулярности прямых(7), |
||||||||||||||||||||||||
находим |
угловой |
коэффициент |
перпендикулярной |
прямой |
106
k = - |
1 |
. Подставляя |
этот |
коэффициент в |
уравнение пучка, |
||
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
получим уравнение прямой перпендикулярной данной |
|
||||||
|
|
x + 2 y -5 = 0. |
|
|
|
||
|
|
4.2. Найти |
прямую, |
параллельную |
прямым |
||
2x + y - 2 = 0 и 2x + y -5 = 0, |
расположенную |
между |
ними и |
делящую расстояние между ними в отношении 1:5.
Решение. Возьмем на первой прямой точку А, абсцисса которой равна, например, нулю. Тогда ордината точкиА из уравнения прямой равна2. Проведем из этой точки перпендикуляр до пересечения со второй прямой в точкеВ
(рис. 2.20).
|
Рис .3.20 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Угловой |
коэффициент |
прямой |
равенk = -2 , |
|||||||||
следовательно, угловой коэффициент перпендикуляра kAB |
= |
1 |
. |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Подставляя его и координаты точки в уравнение пучка прямых |
||||||||||||
(8), находим уравнение перпендикуляра y - 2 = |
1 |
(x - 0) |
или |
|||||||||
|
||||||||||||
x - 2 y + 4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая |
уравнение |
|
|
|
перпендикуляра |
совместно |
||||||
уравнением второй прямой, находим точку их пересечения |
|
|
|
|||||||||
|
æ 6 |
|
13 |
ö |
|
|
|
|
|
|
||
|
B ç |
|
, |
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
è 5 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
107
Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении l = 1 ,
тогда ее координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x1 + lx2 |
|
0 + |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
y1+ l y2 |
2 + |
1 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x = |
= |
|
5 5 |
= 0, 2; y = |
= |
|
|
|
= 2,1. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1+ l |
|
1+ |
1 |
|
|
|
|
|
1+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как искомая прямая параллельна данным прямым, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
то ее угловой коэффициентk = -2 . |
Подставляя его |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||
координаты |
точки С |
в уравнение пучка прямых, находим |
|||||||||||||||||||||||||||||
уравнение |
|
искомой |
|
|
прямойy - 2,1 = -2 (x - 0, 2) |
или |
|||||||||||||||||||||||||
2x + y - 2, 5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.3. |
Определить |
|
вершины |
и |
углы |
|
|
|
|
|
|
треугольника, |
|||||||||||||||||||
стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которого |
|
|
|
|
|
|
заданы |
|
||||||||||||
x - 3y - 3 = 0, 7x - y +19 = 0, 3x + y +1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. |
|
Координаты |
вершин |
треугольника А,В,С |
|||||||||||||||||||||||||||
являются |
точками |
|
|
|
|
пересечения прямых и находятся из |
|||||||||||||||||||||||||
совместного решения систем уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ì |
x - 3y |
-3 = 0, |
|
|
|
ì |
x |
-3y -3 = 0, ì7x - y +19 = 0, |
|
||||||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x - y |
+19 = 0; |
|
3x + y +1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ï |
|
î |
î 3x + y +1 = 0; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим решение |
первой |
системы |
|
|
|
за |
|
координаты |
|||||||||||||||||||||||
точки А(-3;-2), второй – В(0;1) и третьей - С(-2;5). Из |
|||||||||||||||||||||||||||||||
построения VABC (рис. |
3.21) видно, |
что |
|
|
|
|
прямой АВ |
||||||||||||||||||||||||
соответствует первое уравнение, прямой АС - второе и прямой |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ВС - третье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
углаА пользуемся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При |
определении |
|
формулой (5), |
||||||||||||||||||||||||||||
полагая за A1, B1 |
коэффициенты при переменных в уравнении |
прямой АВ, а за A2 , B2 коэффициенты в уравнении прямой АС.
108
Рис. 3.21
tgA = 1(-1) - 7 (-3)
1×7 + (-3 )-( 1
Рис. 3.22
= 2, ÐA = arctg 2.
)
|
|
|
При |
определении |
|
|
|
углаВ |
|
за A2 , B2 |
формуле |
(5) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
принимаем коэффициенты в уравнении прямой ВС |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgB = |
1×1-3(-3) |
|
= ¥, ÐB = |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1×3 + (-3 )×1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Так как сумма углов в треугольнике равнаp , то угол |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ÐC = |
p |
- arctg 2 = arctg |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.4. |
|
|
Найти |
|
|
точку |
|
|
пересечения |
|
|
|
|
медиан |
|
и |
точку |
|||||||||||||||||||||||||||||
пересечения |
высот |
|
|
треугольника, вершины которого А(1;4), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B(-9;-8), С(-2; |
16). Написать |
|
|
|
|
уравнение |
|
|
|
биссектрисы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
внутреннего угла В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
Медианы |
|
|
пересекаются в одной ,точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
делящей их в отношении1:2 от противоположной стороны, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
которую они делят пополам. Построим треугольник (рис. 3.22) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и проведем медиану из точки С. Координаты точки D будут |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x = |
|
xA + xB |
= |
7 -9 |
|
= -1; y |
D |
= |
yA + yB |
= |
3 -8 |
= -2. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точекС |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Зная |
|
координаты |
|
|
|
|
и |
|
|
и отношение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
l = |
DE |
= |
1 |
, находим координаты точки пересечения медиан |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
EC |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x + lx |
-1+ |
|
(-2 ) |
4 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
+ l y |
|
|
|
|
-2 + |
|
(16 ) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
xE = |
D |
|
|
|
|
C |
= |
|
2 |
|
|
|
|
= - |
|
; yE = |
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
= 4. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1+ l |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ l |
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через две точки, запишем уравнения сторон АВ и ВС
y - yA |
= |
|
x - xA |
, |
y - 4 |
|||
yB - yA |
|
|
-8 - 4 |
|||||
|
|
|
xB - xA |
|||||
y - yB |
= |
x - xB |
, |
y +8 |
||||
|
|
16 + 8 |
|
|||||
yC - yB |
|
|
|
xC - xB |
|
Угловые коэффициенты сторонам находим по формулам (7)
= x - 7 , y = 3 x - 5 ,
-9 - 7 |
4 |
4 |
|
||||
= |
x + 9 |
, |
y = |
24 |
x + |
160 |
. |
|
|
|
|||||
-2 + 9 |
|
7 |
7 |
|
перпендикуляров к этим
|
|
|
|
|
|
|
|
kAB |
= - |
4 |
, kBC = - |
7 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|||
|
Подставляя |
найденные |
угловые |
коэффициенты |
и |
||||||||||||||||||||||||
координаты |
точек С и А в |
уравнение |
пучка прямых(8), |
|
|||||||||||||||||||||||||
находим перпендикуляры к прямой АВ и ВС |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y -16 = - |
4 |
|
|
(x + 2) или 4x + 3y - 40 = 0, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y - 4 = - |
7 |
|
(x - 7) |
или 7x + 24y -145 = 0. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решая |
эти |
|
уравнения |
|
высот |
совместно, находим |
|
|||||||||||||||||||||
координаты точки их пересечения(7;4), а это координаты |
|
||||||||||||||||||||||||||||
точки А, т. е. угол А равен |
p |
и треугольник прямоугольный. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем уравнения сторон АВ и ВС в общем виде: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x - 4 y - 5 = 0, |
24x - 7 y +160 = 0. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Биссектрису BF угла В находим по формуле (12) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x - 4 y - 5 |
= |
24x - 7 y +160 |
, |
|
9x +13 y +185 = 0. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
576 + 49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.5. |
|
|
Составить |
|
|
уравнение |
|
прямой, |
параллельной |
|
|||||||||||||||||||
прямой 3x + 4 y - 7 = 0 |
|
|
и |
удаленной |
от |
точкиА(3;-1) на |
три |
|
|||||||||||||||||||||
единицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Найдем |
|
|
|
угловой |
|
|
|
коэффициент |
прямой |
|||||||||||||||||||
y = - |
3 |
x + |
7 |
, k = - |
3 |
. |
|
|
|
Воспользовавшись |
уравнением(8), |
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проведем через точку А прямую параллельную данной прямой
110