Методическое пособие 449

рейдя к привычным обозначениям для аргумента и функции, полу-

В частном случае для натурального логарифма имеем:

ln x 1x .

Аналогичным образом могут быть получены производные обратных тригонометрических функций. Например, для функции y arcsin x обратной функцией является функция x sin y . Тогда

ной функцией с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x .

Пример 3.1. Найти производную сложной функции y (2x3 5)4 .

40

3.6.Гиперболические функции и их производные

Вмеханике встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами: гиперболический синус

ния, аналогичные соотношениям между тригонометрическими функциями:

ch2 x sh2 x 1;

sh x y shx chy shy chx ; ch x y chx chy shx shy ;

sh2x 2shx chx ;

41

ch2x ch2 x sh2 x .

3.7. Таблица производных

42

3.8. Неявная функция и ее дифференцирование

Неявно заданной функцией называется функция, задаваемая уравнением F x, y 0 , не разрешенным относительно y . Любую

явно заданную функцию y f x можно записать как неявно заданную уравнением f x y 0 . Переход от неявного задания

функции к явному заданию часто невозможен ввиду сложности связи переменных x и y , как, например, в неявно заданной функции

y sin xy 2x y 0 .

Для того, чтобы найти производную неявной функции F x, y 0 , не преобразовывая ее в явную, продифференцируем обе части уравнения по x , считая, что y есть функция от x . Полученное уравнение разрешается относительно y .

Пример 3.3. Найти производную функции, заданной неявным образом: x y e xy .

Решение. Дифференцируем левую и правую части уравнения

по x :

1 y e xy y xy или y 1 xexy yexy 1.

Разрешая уравнение относительно y , находим производную

y yexy 1 . 1 xexy

3.9. Метод логарифмического дифференцирования

В некоторых случаях перед нахождением производной можно прологарифмировать исходную функцию и только после этого дифференцировать. Данный метод называется логарифмическим дифференцированием. Метод логарифмического дифференцирования облегчает взятие производной функции, содержащей большое количе-

sin 2 x 3 4 x 5 y ctg 3 x 2 x 1 .

43

Решение. Обычный вариант нахождения производной с помощью правил дифференцирования оказывается достаточно громоздким, поэтому предварительно прологарифмируем функцию:

ln y 2 ln sin x 53 ln 4 x 3ln ctgx x 1 ln 2 .

Продифференцируем данное равенство по x :

Метод логарифмического дифференцирования оказывается единственным способом нахождения производной для показатель-

но-степенной функции y u x v x :

Пример 3.5. Найти производную функции x x .

Решение. Здесь основание и показатель степени зависят от х. В таблице производных нет формулы для таких функций. Пролога-

рифмируем заданную функцию ln y ln x x x ln x. Продиффе-

ренцируем по х обе части полученного равенства.

Так как у есть функция от х, то ln у есть сложная функция от х и (ln y) 1y y . Следовательно,

44

Использованный прием называют логарифмическим дифференцированием.

3.10. Производная параметрически заданной функции

Пусть зависимость между аргументом x и функцией y зада-

на параметрическим образом посредством двух уравнений

y y t ,x x t ,

где t - вспомогательная переменная величина, называемая параметром. Параметр принимает непрерывный ряд значений из некоторого

раметрически заданной функции, не находя непосредственной зависимости y от x .

45

касательную. Касательная как наклонная прямая линия, проходящая через точку M , имеет уравнение вида

y f x0 k x x0 .

Угловой коэффициент касательной k равен производной функции, посчитанной в точке касания x0 , т.е. k f x0 . В резуль-

тате получаем уравнение касательной к графику функции в точке x0

(рис. 14)

y f x0 f x0 x x0 .

46

3.12. Дифференциал

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a,b]. Следова-

ству бесконечно малых , функцию имеющую предел можно представить в виде

y y ,x

где α – бесконечно малая, т.е. 0 при х 0. Умножим правую и

левую части выражения на х

y y x x .

Так как в общем случае y 0 , произведение y x есть бесконечно малая величина первого порядка относительно x . Произведение x есть бесконечно малая высшего порядка относительно x

lim x lim 0 .x 0 x x 0

Приращение y состоит из двух слагаемых, первое из кото-

рых называется главной частью приращения, линейной относитель-

функции к дифференциалу независимой переменной.

Приращение функции отличается от дифференциала на величину x , бесконечно малую высшего порядка относительно x .

Величина x является бесконечно малой высшего порядка относительно dy

48

Поэтому можно положить y dy , то есть

f (x x) f (x) f (x) x .

Это приближенное равенство можно использовать в приближенных вычислениях.

Пример 3. 9. Найти dy и y функции y=x³.

y (x x)3 x3 3x2 x 3x( x)2 ( x)3 , dy f (x)dx 3x2 x.

Задача нахождения дифференциала равносильна нахождению производной. Следовательно большинство теорем и формул, относящихся к производным, имеют место и для дифференциала .

3.13. Производные высших порядков явно заданной функции

Производная y f x является функцией от x и называется производной первого порядка.

Если функция f x дифференцируема, то производная от

производной определена, называется производной второго порядка и обозначается

По аналогии, производной n - го порядка называется производная от производной n 1 - го порядка, т.е.

y n y n 1 .

Производные порядка выше второго называются производными высших порядков, причем порядок производной обозначается числом в скобках, записанным в виде верхнего индекса.

49