Методическое пособие 438

2.3.2. Основные типы задач и методы их решения

Тип 1. Определение количества теплоты, полученного газом, работы расширения газа и изменения его внутренней энергии в заданном процессе перехода.

Метод решения. Использование первого начала термодинамики, уравнения состояния идеального газа, формул внутренней энергии, работы расширения газа и количества теплоты для заданного процесса.

Тип 2. Определение теплоемкостей газа или смеси газов по заданной массе, молярной массе и числу степеней свободы.

Метод решения. Используются: а) формулы для расчета количества теплоты для заданного процесса; б) связь между удельной и молярной теплоемкостями газа; в) формулы для определения молярных теплоемкостей при постоянном объеме и постоянном давлении через число степеней свободы.

Тип 3. Нахождение характеристик тепловых и холодильных машин, определение их эффективности.

Метод решения. Представление тепловой или холодильной машины в виде соответствующего обратимого цикла на диаграмме pV ; проведение энергетических расчетов на основе уравнения состояния для рабочего тела и уравнений процессов перехода для участков цикла.

Тип 4. Расчет изменения энтропии идеального газа при переходе из одного состояния в другое.

2 Q

Метод решения. Применение формулы S .

1 T

Подсчет изменения энтропии целесообразно проводить по тому пути, который связан с наибольшей простотой расчета, независимо от реального процесса перехода из одного состояния в другое.

101

2.3.3. Примеры решения задач

Задача 1. Один киломоль идеального газа, имеющего первоначально температуру T1 290К, расширяется изобарически до тех пор, пока его объем не возрастет в 2 раза. Затем газ охлаждается изохорически до первоначальной температуры. Определить: а) приращение внутренней энергии газа; б) работу, совершенную газом; в) количество полученного газом тепла.

Q12 U12 A12 .

Работа в этом процессе с учетом того, что V2 2V1 , будет равна

m

A12 p1(V2 V1) p1V1 M RT1 .

При изохорном охлаждении газа от температуры T2 до первоначальной температуры T1 происходит уменьшение внутренней энергии газа за счет теплоты Q23 , отданной газом

окружающей среде. Газ в этом процессе работы не совершает, следовательно

A23 0, Q23 U23 .

102

Полное изменение внутренней энергии складывается из изменения энергии на участке 1-2 и изменения энергии на участке 2-3. Поскольку в данном случае начальная и конечная температуры совпадают, то

U12 U23 ,

и поэтому

U U12 U23 0.

Количество полученного газом тепла в процессе перехода 1-2-3 определяется алгебраической суммой

Q13 Q12 Q23 .

С учетом предыдущего, имеем

Q13 A12 RT1 2,4 106 Дж.

Задача 2. Определить удельные теплоемкости cV и cP

смеси газов, содержащей кислород массой m1 0,01 кг и аргон

Решение По определению, количество теплоты, сообщенное

смеси газов при постоянном объеме, равно

Q cV mdT ,

где cV - удельная теплоемкость рассматриваемой смеси

идеальных газов.

С другой стороны, выражение для Qможно записать как сумму

Q Q1 Q2 (cV1m1 cV 2m2 )dT ,

где cV1,cV 2 ,m1,m2 - удельные теплоемкости и массы

кислорода и азота соответственно. Приравнивая правые части этих выражений, получим

cV (m1 m2 ) cV1m1 cV 2m2 ,

отсюда

103

выражение, связывающее удельную теплоемкость смеси при постоянном давлении с удельными теплоемкостями кислорода и азота

cp cp1m1 cp2m2 . m1 m2

В свою очередь, удельные теплоемкости идеальных газов при постоянном объеме и постоянном давлении определяются формулами

где i - число степеней свободы молекулы.

Кислород, как двухатомный газ, обладает пятью степенями свободы, т.е. i1 5, а одноатомный газ аргон,

обладает тремя степенями свободы, т.е. i2 3.

Учитывая представленные выражения для удельных

Подстановка числовых значений дает следующий результат

cV 424 Дж/(кг К); cp 649 Дж/(кг К).

104

Следовательно, получаемое тепло от нагревателя определяется суммой Q1 Q12 Q41 , а теплота Q2 Q34 Q23 отдается холодильнику.

Используя уравнения состояния идеального газа, определим соотношения между температурами. Для

Задача 4. Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изобарного, адиабатного и изотермического процессов. При изобарном процессе рабочее тело, представляющее идеальный газ, нагревается от температуры T1 200 К до T2 500 К. Определить коэффициент полезного действия данного теплового двигателя и сравнить его с максимальным КПД цикла Карно, работающего при тех же температурах.

Решение

Представим данный цикл в координатах pV (рис.39). После изобарного расширения (прямая 1-2), газ нагревается от температуры T1 до температуры T2 , затем адиабатно (кривая 2-3) расширяется до тех пор, пока его температура не

106

теплообмена. В этом случае, согласно определению коэффициента полезного действия, имеем

Q1 Q2 .

Q1

Количество теплоты, получаемое рабочим телом при изобарном процессе,

V2 /V1 T2 /T1 .

Для адиабатного процесса 2-3, согласно уравнению Пуассона,

(V3 /V2 ) 1 T2 /T3 .

107

Учитывая, что T3 T1, получаем

Перемножая почленно первое и последнее равенства,

имеем

Выразив коэффициент Пуассона через число степеней свободы, найдем

i 2 ,

После подстановки полученного выражения в формулу для КПД цикла и преобразования, имеем окончательно

Коэффициент полезного действия цикла Карно при тех же температурах будет, как и ожидалось, существенно выше

K T2 T1 0,6.

T2

Задача 5. Тепловую машину, работающему по циклу Карно с коэффициентом полезного действия 40%, начинают использовать при тех же условиях как холодильную машину. Найти величину холодильного коэффициента и количество теплоты, которое эта машина может перенести за

108

один цикл от холодильника к нагревателю, если к ней подводится работа, равная 200 Дж.

Эту величину принято называть холодильным коэффициентом.

Полная работа за цикл, согласно первому началу термодинамики, равна количеству теплоты, получаемой и отдаваемой за цикл, т.е.

A Q1x Q2x ,

где Q1x - количество тепла, переданного окружающей среде.

При этом

Таким образом,

109