Методическое пособие 428

больше эксцентриситет, тем больше угол между асимптотами гиперболы.

Пример 8.2. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением

x2 y2 6x 10 0 .

Решение. Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

(x2 2 3x 9 9) y2 10 0 ; (x 3)2 y 2 1 ;

y 2 (x 3)2 1.

Вводя новые координаты X x 3,Y y , получаем

Y 2 X 2 1 - уравнение гиперболы, для которой действительной

Рис. 17

осью является ось OY , а центр расположен в точке O1 3;0 .

8.3. Каноническое уравнение параболы

Параболой называется геометрическое место точек плоскости,

для каждой из которых расстояние до точки-фокуса F ( 2p , о) равно

70

Пример 8.3. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением

2x2 2 y 4x 3 0 .

Решение. Выделяя полный квадрат , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

2(x2 2x 1 1) 2y 3 0 ; 2(x 1)2 2 y 5 ;

y 52 (x 1)2 .

Вводя новые координаты X x 1,Y y 52 , получаем

Рис. 19

Вопросы для самопроверки

1.Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы?

2.Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса, гиперболы, параболы?

72

3.Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы, параболы?

4.Что называется асимптотами гиперболы?

9. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

Полярная система координат образуется полюсом-точкой О и лучом O , называемым полярной осью. Возьмем произвольную

точку М на плоскости. Положение этой точки задается двумя числами, называемыми полярными координатами: полярным радиусом - расстоянием от полюса О до точки М и полярным

углом , образованным отрезком ОМ с полярной осью. при этом

отсчет угла ведется от полярной оси против часовой стрелки.

Число называется полярным радиусом и может меняться на промежутке [ 0, ). Угол называется полярным углом и

принимает значения на промежутке [0,2 ).

Для установления связи между прямоугольными и полярными координатами совместим полюс О с началом координат системы хОу , а полярную ось – с положительной полуосью Ох. Пусть х и у

Рис. 20

73

Из рисунка видно, что прямоугольные координаты точки М с вязаны с полярными координатами следующим образом:

определить ее тип и сделать чертеж.

Решение. Воспользуемся формулами связи декартовых и полярных координат (11.1)

74

Разделив обе части уравнения на 79 , получаем каноническое уравнение гиперболы, смещенной по оси Ох на 74 влево.

Рис. 21

Вопросы для самопроверки

1. Как образуется система полярных координат?

75

2.В каких пределах меняются полярный радиус и полярный

угол?

3.Какими соотношениями связаны декартовы прямоугольные координаты и полярные координаты произвольной точки?

76

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии линейной алгебры. М.: Наука,1980.

2.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука,1975

3.Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М.: Наука,1972.

4.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.:

Наука,1980.

5.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч.1.

6.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука,1975.

77

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………….………3

1.Матрицы и операции над ними…………………….……….4

1.1.Понятие матрицы………………………………….….....4

1.2.Линейные операции над матрицами………….….….…5

1.2.1.Сумма матриц…………………………………….…....5

1.2.2. Умножение матриц на действительное число………………………………………………………….…….6

1.2.3. Транспонирование матриц….………………………...6

1.3.Умножение матриц……………………………..…….…7

2.Определители……………………………………………….....9

2.1.Операции над определителями…………………..……..9

2.2.Основные свойства определителя………………..…..11

2.3.Ранг матрицы..……………………………………..……13

2.4.Вычисление ранга матрицы приведением

еек ступенчатому виду…………………….….………..….…14

2.5.Вычисление обратной матрицы…….………………....15

3.Системы линейных алгебраических уравнений…………17

3.1.Матричная форма системы уравнений………...……...17

3.2.Матричный метод решения системы

уравнений……………………………………………..…….19

3.3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера……………………………………………..21

3.4..Метод Гаусса…………………………………………...22

4.Векторная алгебра…………………………………………....26

4.1.Понятие вектора………………………………….....…..26

4.2.Линейные операции над векторами………..……….…27

4.2.1.Операция сложения векторов………………………..27

4.2.2.Операция умножения вектора на вещественное

число ……………………………………………………….……..28

4.3.Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости и в пространстве…………………………………..…29

4.4.Базис на плоскости и в пространстве. Разложение

78

по базису……………………………………………………….30

4.5Проекция вектора на ось и ее свойства…………………..31

4.6.Декартова прямоугольная система координат……...…..32

4.7.Формулы деления отрезка в данном отношении…….....35

4.8.Скалярное произведение векторов…………..………36

4.9.Векторное произведение векторов………………………38

4.10.Смешанное произведение трех векторов…………..…..41

5.Плоскость в пространстве……………………………………..44

5.1.Общее уравнение плоскости………………………….….44

5.2.Уравнение плоскости в нормальном виде……….……...45

5.3.Уравнение плоскости в отрезках…………………….….46

5.4.Уравнение плоскости, проходящей через три точки.…..47

5.5.Угол между двумя плоскостями. Условия параллель-

ности и перпендикулярности плоскостей….……….…………….47

6.Прямая в пространстве……………………………………...…50

6.1.Общие и канонические уравнения прямой в прост-

ранстве…………………………………………….………………....50

6.2.Уравнение прямой, проходящей через две заданные

точки………………………………………………….…………….51

6.3.Параметрические уравнения прямой в пространстве.…..52

6.4.Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки

до прямой………………….……………………….……..…..…53

6.5.Условие принадлежности прямых к одной плоскости......55

6.6.Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости……………….56

6.7.Пересечение прямой и плоскости………………..………..57

7.Прямая на плоскости……………………...…………………....59

7.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой……………………………….……59

7.2.Каноническое уравнение прямой……………………..….60

7.3.Параметрические уравнения прямой………………….…62

7.4.Уравнения прямой с угловым коэффициентом…….……62

7.5.Угол между двумя прямыми. Условие параллельности

иперпендикулярности двух прямых…………….………………..62

79