Методическое пособие 406

Дано:

СИ:

Решение:

u 3 км / с

Если корабль движется по круговой орбите с

?

постоянной скоростью, то на тело массы mтела в

m 2

Fin

тела

R

P Fin mтела g

m

2

mтела g .

тела

R

M 0 / m0

exp( П / u) ,

(2)

где M 0

- стартовая масса корабля, m0

- масса, с которой он выводится на

ma u

dm

mg ,

(3)

dt

a aнорм

2

Так как при обращении корабля

П

R

Подставляя (1), получим a 2g .

Теперь (3) принимает вид:

mg u

dm

dm

g

dt

,

или

.

dt

m

u

dm

g

dt

m

u

Если t - период обращения корабля по орбите, то

gt 2 R

g

П .

П

Следовательно для конечной массы mкон получаем:

m0 / mкон exp( П / u) .

С учетом (2) получаем:

M 0

exp ( 1) П

e14,8

2,6 10 6 .

mкон

u

Ответ: П 11,2

км / с ,

M 0

2,6 10 6 mкон

2.40. Спутник массой m 8 т обращается по круговой орбите вокруг Земли,

обладая кинетической энергией

Eкин

196

ГДж . С какой скоростью и на

какой высоте обращается спутник?

Дано:

СИ:

Решение:

m 8 т

8000 кг

Кинетическая

энергия

E

кин

196

ГДж

196 109 Дж

вращающегося объекта равна:

J 2

M З

5,97 10 24 кг

Eкин

.

2

м3

G 6,67 10

11

Спутник, вращающийся по земной

кг с2

Rз 6370

орбите,

можно

считать

км

материальной точкой, поэтому его

?

момент инерции равен:

J mR2 .

h ?

R R 2Eкин

R

2Eкин

2Eкин

2 196 109 7 103 м / с.

J

mR2

m

8 103

Для нахождения высоты орбиты воспользуемся II законом Ньютона: на

спутник действует только сила гравитационного притяжения к Земле, она

сообщает центростремительное ускорение:

maЦ

m

2

G

M

Земли

m

h

h)2

R

(R

Земли

Земли

Отсюда:

h

GM

З R

6,67 5,97 1013

6,37 10 6

1,76 10 6 м 1760

км.

2

З

49 10 6

Ответ: 6 103 м / с., h 37,9 10 6 м.

40

располагается

вентилятор. Рассчитать давление p снаружи на стенку

средней цилиндрической части трубы при скорости потока 100 м / с .

Дано:

СИ:

Решение:

100 м / с

p ?

2

2

p

0

gh p

gh

,

0

2

0

2

где

p0 , 0 , h0 и

p, ,

h - статическое давление, скорость движения

Очевидно, что h0

и h можно считать равными, 0

0 . В трубе вентилятор

создает

разрежение,

и воздух под

действием

разности давлений p

получает в трубе скорость .

Тогда давление на стенку трубы составит:

2

1,33 100

2

p p

p

6650

Па 0.066

атм.

0

2

2

1 атм 101325

Па

или 1 Па 9.87 10 6 атм.

Ответ: p 6650

Па 0,066

атм.

Дано:

СИ:

Решение:

S 3,3

м2

Запишем уравнение Бернули для слоя воздуха над

m 245 кг

и под крылом:

2

2

1

61

м / с

p1

gh1 p2

gh2

1

2

2

2

2

45,7 м / с

Поскольку

крыло

достаточно

тонкое,

Fподъем ?

гидростатическое

давление над и под крылом

можно считать одинаковым, тогда:

2

2

( 2

2 )

p

1

p

2

или

1

2

p

p

2

2

1

2

2

2

1 .

( p

p )S

( 2

2 )

S

1,33 3,3 (612 45,7

2 )

3582 Н.

F

1

2

2

подъем

1

2

2

Ответ:

Fподъем 3582

Н .

3.3. Устройство, называемое тубкой Пито, состоит из двух узких

коаксиальных трубок (рисунок). Внутренняя трубка открыта на нижнем

конце, внешняя имеет боковые отверстия. Внешние концы трубок

подключены к дифференциальному манометру (т.е. манометру,

показывающему разность давлений p ). Трубка Пито монтируется на крыле

самолета для определения его скорости относительно воздуха. Разность

уровней спирта, находящегося в трубке, равна 12,4 см. Какова скорость

самолета относительно воздуха?

Дано:

СИ:

Решение:

h 12,4 см

0,124

м

?

Запишем уравнение Бернули:

p

2

2

1 gh p

2

2 gh

1

2

1

2

2

возд 12

возд

gh спирт 22

спирт

gh

2

1

2

2

2

0 .

2 спиртg h

2 789 9,8 0,124

37,8 м / с.

1

возд

1,33

Ответ: 37,8

м / с .

42

заполняет баллоны на высоте, где плотность воздуха возд

1,2 кг / м3 , а

плотность

гелия

He 0,18 кг / м3 .

Найти наибольшую

массу

груза,

которую может поднять аэростат.

Дано:

СИ:

Решение:

V 4000 м3

Выталкивающая сила равна:

m 3000

кг

Fвыт воздVg .

возд

1,2 кг / м3

С другой стороны, исходя из условия

равновесия,

выталкивающая

сила равна по

He 0,18 кг / м3

модулю сумме сил тяжести, действующих на

гелий, груз и сам аэростат (с оборудованием и

M ?

экипажем):

Fвыт

mg HeVg Mg ,

где mHe V He .

Следовательно:

воздVg Mg HeVg mg ,

откуда:

M V ( возд He ) m 4000 (1,2 0,18) 3000 1080

кг

Ответ:

M 1080 кг .

3.5. Воздушный шар объема V 20 м3 ,

наполненный гелием, поднялся на

высоту

h 180 м

за время t 0,5 мин . Масса шара с оборудованием и

корзиной

M 12 кг . Найти массу груза

m , поднятого шаром. Плотности

воздуха

возд 1,29

кг / м3

и гелия

He 0,18 кг / м3 до указанной высоты

считать постоянными.

Дано:

СИ:

Решение:

V 20 м3

Шар движется вверх ускоренно под

h 180

м

действием

равнодействующей

всех

t 0,5

мин

приложенных к нему вертикальных сил:

F

Fвыт

mg mHe g Mg ,

M 12 кг

где масса гелия: mHe HeV .

возд

1,29 кг / м3

Так как плотность воздуха считается

He 0,18 кг / м

3

постоянной на всем пути, то выталкивающая

43

m ?

сила Fвыт

тоже постоянна и равна:

Fвыт воздVg .

Постоянна и равнодействующая вертикальных сил, следовательно имеем

равноускоренное движение шара. Ускорение можно найти из

кинематического уравнения для постоянного ускорения:

h

at 2

a

2h

,

т.е.

.

2

t 2

Согласно II закону Ньютона:

(m M mHe )a Fвыт mg mHe g Mg :

откуда:

m(g a) Fвыт

(mHe M )( g a) воздVg ( HeV M )( g a)

m воздV

g

HeV M 1,29 20

9,8

0,18 20 12 9,2 кг.

g

2h

9,8

2 180

t 2

302

Ответ: m 9,2 кг.

3.6. Парашют массой m1 32 кг пилота m2

65

кг в раскрытом состоянии

имеет форму

полусферы

диаметром

d 12 м ,

обладая коэффициентом

сопротивления

Сx 1,3 .

Определите

максимальную скорость пилота.

Плотность воздуха 1,29

кг / м3 .

Дано:

СИ:

Решение:

m1

32

кг

Запишем уравнение динамики движения пилота

m2

65

кг

с парашютом:

F Rx (m1 m2 )g ,

d 12 м

где Rx – сила лобового сопротивления.

Сx

1,3

Очевидно, что сила тяжести гораздо сравнима с

1,29

кг / м3

силой лобового сопротивления, следовательно:

Rx (m1 m2 )g 0 .

?

Сила лобового сопротивления пропорциональна подъемной силе парашюта

(см. задачу 3.2. о подъемной силе крыла):

Rx

Cx

2

S .

2

Таким образом:

2

d 2

(m1 m2 )g .

Cx

m ax

2

4

Отсюда:

44

max

8(m1 m2 )g

8 (32 65) 9,8

3,17 м / с.

C

x

d

2

1,3 1,29 3,14 122

Ответ: m ax 3,17

м / с .