Методическое пособие 393

Решение. Сначала найдем унитарный НОД ( f , f ) .

С

помощью алгоритма Евклида получаем (проверьте!):

НОД ( f , f ) НОД (x4 1, x3 ) 1.

Так как условие 1 выполнено, то переходим к проверке

условия 2. Построим многочлены

(x) xiq xi (mod f ) ,

i

i 1, 2,3 , выполняющие роль остатка от деления xiq xi на

f .

По условию q 3 и степень многочлена

f (x) равна четы-

рем. Поэтому

(x) x3i xi (mod f ) ,

и

многочлены

(x)

i

i

должны иметь степень 3 .

1) При i 1 получаем

(x) x3

x (mod f ) .

1

можно считать

(x) x3

x . Откуда, учитывая равенство

1

1 2(mod 3) , находим

(x) x3 x x3

2x 0 2x 0 x2 1 x3 .

1

2) При i 2

получаем

2

(x) x6 x2 (mod f ) .

0

0

0

0

0

2

0

1

A

.

0

0

1

0

0

1

0

2

rang A 2 n 1 3

(Проверьте!)

Следовательно,

в силу критерия Батлера многочлен

f (x) x4 2

приводим над GF (3) . Нетрудно показать, что

разложение

f (x)

на неприводимые множители над GF (3)

имеет вид

f (x) (x2 2x 2)(x2

x 2) .

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

1.

Многочлен

f (x) a xn ... a x a

с целыми коэффициен-

n

1

0

тами неприводим над полем рациональных чисел, если

существует простое число p такое, что:

1)

a p

,

a p(i

0, n 1) , a p2 ;

n

i

0

2) a p2

,

a p(i 1, n)

, a p ;

n

i

0

a p2 ,

a p2 ;

3)

a p(i 0, n) ,

n

i

0

a p2 .

4)

a p(i 0, n) ,

i

0

2.

Наибольший общий делитель многочленов

f , g

[x] ,

где

f (x) x5 3x4 x3

x2

3x 1,

g(x) x4 2x3 x 2 ,

имеет вид:

1) x 1;

2) x3 1 ;

3)

x 2 ;

4) 1.

3.

Укажите, какие из данных многочленов неприводимы над

полем

рациональных чисел:

а) x4 5x2 3 ;

б) 3x25 4x8 2 ;

в) x94 2x2 1;

г) x6 2x3 8 .

4.

Разложение многочлена

f (x) x5

7x3 12x2

6x 36 на

неприводимые множители над полем

рациональных

чисел имеет вид:

1) (x 2)(x 3)(x3

x2 6) ;

2) (x 2)(x 3)(x3

x2

6) ;

3) (x 2)(x4

9x3 6x2 6x 18) ;

4) (x 2)(x 3)(x3

x2

6) .

5.

Найдите

кратность

корня

x0 2

для

многочлена

x5 7x4 16x3 8x2 16x 16

[x] :

1) 4;

2) 3;

3) 2;

4) 1.

6.

Какова наибольшая степень многочленов f (x) [x] , не-

приводимых над полем

действительных чисел?

1) 1;

2) 2;

3) 4,

4) наибольшей степени нет

7.

Какое наибольшее число различных целых корней может

иметь многочлен

a xn

a

xn 1 ... a x a

[x]

,

если

n

n 1

1

0

an 3 , a0 9 ?

1) 8;

2) 4;

3) 6,

4) 3

8.

Известно, что многочлен

x4 x3 x2

4x 10 имеет ко-

рень

x0 1 i . Укажите, какое из следующих чисел обя-

зано быть корнем этого многочлена:

1) i ;

2) 1 i ;

3) 1 i ;

4) 1 i

9.

Число является k -кратным корнем многочлена f (x) ,

если:

1) f ( ) 0 ; 2)

f ( k ) 0 ;

полем 11 равна: 1) 2;

2) 3;

3) 4;

4) 0.

11. Разложение многочлена x4 3x3

2x2 4x 11 на непри-

водимые множители над полем

5

имеет вид:

1) (x 1)(x 2)(x2 x 2) ;

2) (x 1)(x3 3x2 1) ;

3) (x 1)2 (x 2)2 ;

4) (x 4)2 (x 2)2 .

12. В поле

3[x]

f найдите произведение классов [a(x)] f

и

[b(x)]

f

, если

a(x) 2x 2 ,

b(x) x2 x 2 ,

f (x) x3 x2 2 .

1) 2x2 ;

2) 2x3 x2 1;

3) x2 x 2 ;

4) 2x2 1.

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1) Найдите НОД многочленов

f (x) , g (x)

над полем

2

и

его линейное представление, если

f (x) x6 x ,

g(x) x5 x3 x2 1 .

2) Разложите данный многочлен

f (x) на неприводимые

множители над полями

и

5 :

4)

В поле

3[x] f найдите сумму и произведение классов

[a(x)]

f

и

[b(x)]

f

, если

a(x) x2

x ,

b(x) 2x 2 ,

f (x) x3

2x2 1.

Для класса [a(x)]

f

найдите обратный.

5)

Покажите,

что кольцо GF (2)

f , где

f (x) x4 x2 x 1

рациональных чисел ………………….……………

20

6. Интерполяционный многочлен Лагранжа ……………

28

7.

Использование многочленов для построения

конечных колец и полей ……………………………… 30

8.

Критерий Батлера неприводимости многочлена

над конечным полем ……………………………….….. 37