Методическое пособие 388

5.2. Дифференциальный подход к решению прикладных задач

Пусть y f (x) >0 на [a;b] . Выберем произвольное значение x на [a,b] ,

дадим ему бесконечно малое приращение x dx (рис. 3.6). Тогда площадь бесконечно малого прямоугольника с основанием dx и высотой y f (x) будет

равна dS f (x)dx , а чтобы вычислить всю площадь (рис. 3.7), надо проинтегрировать на всем отрезке [a, b], т. е.

f (x)

Рис. 3.7

Этимметодомэффективнорешаютмногиезадачиприкладногохарактера.

5.3. Вычисление объемов тел вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию с основанием [a,b], ограниченную непрерывной кривой y f (x) . Определим объем тела, полученного вращением трапеции вокруг оси 0 x (рис. 3.8). Выберем на отрезке [a,b] произвольную

точку x , дадим ей бесконечно малое приращение dx , проведем через точки x и x dx поперечны сечения (плоскости перпендикулярные оси 0x ). Такими сечениями S(x) являются круги с радиусами, равными модулю ординаты y вра-

щающейся кривой. Рассмотрим бесконечно малый цилиндр с основанием S(x)

и высотой dx .

Его объем равен dV S(x)dx , а площадь сечения

S(x) y2 [ f (x)]2 .

Следовательно,

41

§ 6. Несобственные интегралы

Понятиеопределенногоинтегралапредполагает, чтовыполняютсядваусловия:

1)пределы интегрирования a и b являются конечными;

2)подынтегральная функция f (x) ограничена на отрезке [ a,b ].

Вэтом случае определенный интеграл называют собственным. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

6.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Если один из пределов интегрирования будет бесконечным, то определенный интеграл нельзя построить по общей схеме, так как при разбиении отрезка на элементарные, один из них будет бесконечным и, следовательно, одно слагаемое, а следовательно вся интегральная сумма будет бесконечной.

Пусть функция y f (x) непрерывна на [a, ) . Рассмотрим интеграл

b

I (b) f (x)dx , который является функцией верхнего предела b .

a

Предположим, что при b эта функция имеет конечный предел. Этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пре-

делом от функции y f (x) на промежутке [ a , ) и обозначается

Такой интеграл называется сходящимся.

Если предел (3. 26) не существует или равен бесконечности, то несобст-

венный интеграл f (x)dx называется расходящимся.

a

Геометрически несобственный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y f (x) ,

бесконечном промежутке [1, ) (рис. 3.10). На любом конечном промежутке [ a,b ], где b >1, существует интеграл

43

который имеет предел

конечном промежутке 1;b существует, но при b равен бесконечности.

где c − любая точка интервала ( ; ).

Если хотя бы один из этих интегралов расходится, интеграл называется

расходящимся.

44

6. 2. Несобственные интегралы от разрывных функций

Пусть функция y f (x) , задана на отрезке [ a,b ] и имеет бесконечный разрыв в точке x c, a c b . В этом случае определение определенного ин-

теграла как предела интегральных сумм неприменимо. При разбиении отрезка [ a,b ] на элементарные, один из них будет содержать точку x c . Если выбрать

эту точку, то слагаемое с произведением f (c) x и, следовательно, предел

интегральной суммы будет равен бесконечности и интеграл становится несобственным.

Данная функция стремится к бесконечности при x 1 (слева). Однако на отрезке [0, c ], где 0< c <1, функция непрерывна, и поэтому существует ин-

c 1 он равен бесконечности:

Таким образом, получили расходящийся несобственный интеграл.

45

Обобщим эти примеры. Рассмотрим функцию y f (x) , разрывную в точке b отрезка [ a,b ] и непрерывную на отрезке [ a,c ], где c - любая точка интервала

Наконец, если функция имеет разрыв в некоторой внутренней точке x c отрезка [ a,b ], то мы разбиваем этот отрезок на два отрезка [ a,c ] и [ c,b ]. Если

несобственные интегралы от данной функции существуют на каждом из этих отрезков, то сумма этих интегралов является несобственным интегралом от разрывной функции y f (x) на отрезке [ a,b ].

Таким образом, из определения непосредственно следует, что несобственный интеграл от разрывной функции является пределом определенного ин-

теграла (но не пределом интегральной суммы).

§ 7. Приближенное вычисление определенных интегралов

Как мы видели выше, многие задачи геометрии, механики, экономики сводятся к вычислению определенных интегралов. Это говорит о важности определенных интегралов для различных отраслей естествознания и о необходимости разработки различных методов вычисления определённых интегралов.

b

Пусть требуется вычислить определенный интеграл I f (x)dx .

a

Если первообразная может быть найдена, то определенный интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона – Лейбница. Если же первообразная не может быть найдена, или если функция задана таблично или графически, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сделана сколь угодно большой.

Эти формулы основаны на том, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. Благодаря этому задача о приближенном вычислении определенного интеграла сводится к задаче о вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией y f (x) на отрезке [ a,b ].

46

Идея приближенных методов заключается в том, что кривая y f (x) за-

меняется другой, достаточно близкой к ней кривой. Тогда площадь приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой. В зависимости от выбора новой ограничивающей кривой мы получаем ту или иную приближенную формулу интегрирования.

В данном параграфе мы рассмотрим одну из приближенных формул вычисления определенных интегралов− формулу трапеций

7.1. Формула трапеций

b

Пусть требуется найти определенный интеграл f (x)dx от непрерывной

a

функции y f (x) , который численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной данной функцией на отрезке [a,b] (рис. 3.14).

Разобьем отрезок [ a,b ] на n равных частей точками

a x0 x1 ... xn b , так что x b n a . Впишем в кривую ломаную,

заменим криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из прямолинейных трапеций, и вычислим ее площадь.

Площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой трапеции:

Эта формула называется формулой трапеций.

Абсолютнаяпогрешностьэтогоприближенияоцениваетсяспомощьюформулы

47

§ 8. Использование определенного интеграла в экономике

Изэкономическогосмыслаопределенного интеграласледует, чтоонравен объемупроизведеннойпродукцииприизвестнойфункциипроизводительноститруда.

Рассмотрим другие примеры использования определенного интеграла в экономике. Частным видом производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов, является

функция Кобба-Дугласа: z b0 x1b1 x2b2 .

Если считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид z(t) (at b)ect .

Тогда объем выпускаемой продукции за T лет составит

Пример 1. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид z(t) (1 t)e3t .

Решение. По формуле (3.31) объем произведенной продукции равен

Q (1 t)e3t dt .

Интегрируя по частям, получаем

48

Исследуя кривую Лоренца – зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую 0BA ) (рис. 3.15), мы можем оценить степень неравенства в распределении доходов населения.

При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую – биссектрису 0A , поэтому площадь фигуры 0AB между биссектрисой 0A и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника 0AC (коэффициент Джинни), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.

y

(доля населения)

B

100%(доля доходов)

Рис. 3.15

Пример. По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца 0AB может быть описана уравнением y 1 1 x2 , где x − доля

населения, y долядоходовнаселения. ВычислитькоэффициентДжинни. Решение. Согласно определению, коэффициент Джинни равен

Достаточно высокое значение k показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

49

ПРИЛОЖЕНИЯ § 9. Другие задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

9.1. Задача о длине пути неравномерного движения.

Пусть точка М движется прямолинейно с переменной непрерывной скоростью v f (t) . Вычислим длину пути, пройденного точкой М за промежуток

времени t [a;b] .

Разобьем промежуток a;b точками tk на n элементарных участков вре-

мени [tk ,tk 1 ], длиной tk tk 1 tk .

В течение малого промежутка времени tk скорость движения считают приближенно постоянной и равной f (tk ) , где tk – некоторый момент времени промежутка tk . Поэтому длина пути за этот промежуток времени приближен-

но равна Sk f (tk ) tk .

Складывая все участки пути, получаем приближённо путь S , пройденный точкой за промежуток времени a;b :

n

S Sn f (tk ) tk .

k 1

Переходя к пределу, находим точное значение длины пути:

n

S lim f (tk ) tk , (3.32)

r 1 0

где k max tk ,k 1,2,...n .

Итак, пройденный путь равен пределу интегральной суммы для функции v f (t) на промежутке времени a;b .

9.2. Задача о работе переменной силы

Если материальная точка под действием силы F , не меняющейся ни по величине, ни по направлению, переместилась на расстояние s в направлении действия силы, то работа силы, как известно из механики, равна произведению

величины силы F F на перемещение s , то есть

A Fs .

Пусть сила F является переменной величиной, но сохраняющей постоянное направление.

Под действием этой силы материальная точка перемещается по прямой, направленной вдоль линии действия силы. Вычислим величину работы, совершаемую этой силой на промежутке [a,b].

Пусть [a,b] − отрезок пути на оси 0 x , в каждой точке которого действует переменная сила F f (x) .

50