Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 377

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

						(			4			)
						(						)
As =			μ3		=				λ3					=	2	,
												3
			3												√2
			3				√2								√2
		√(μ2)				(	√2				)
		√(μ2)				(					)
									λ
						(204 )
Ex =	μ4			− 3 =				λ					− 3 = 2.
Ex =			2	− 3 =				2				2	− 3 = 2.
	(μ2)					(		2		)
	(μ2)					(		2		)
								λ

Расчитанные параметры сведены в табл. 3, которую можно использовать для инженерных расчетов.

Таблица 3 Аналитические выражения риска и параметров

(для экспоненциального распределения плотности вероятности наступления ущерба)

Risk(u) = λu exp(−λu)

где: u – ущерб, λ – параметр распределения плотности вероятности наступления ущерба

Наименование параметра риска	Аналитическое выражение
Среднее значение ущерба	M =				2
	M =				λ
Мода ущерба	u0 =			1

				λ
Пик риска	Rmax	=				1

						e
Среднеквадратическое отклонение
Среднеквадратическое отклонение	σ =		√2
ущерба			√2
ущерба				λ
Ассиметрия риска	As =			2
	As =
			√2
Островершинность риска	Ex = 2

Подобную таблицу целесообразно получить для координат экстремума риска при различных законах распределения плотности вероятности ущерба.

Так, для распределения Релея на основании табл. 2

представляется составить уравнение

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u) == 2λ2u + 2uλ2 − u ∙ 2λ2u ∙ 2λ2u = 2λ2u + 2λ2u − 4λ4u3 = 0

или

2λ2u − 4λ4u3 = 0.

Решая последнее уравнение, имеем

u0 = 1λ.

Отсюда пик риска равен

Rmax = 2λ2 (1λ)2 exp (−λ2 (1λ)2) = 2e .

Применительно к гамма-распределению уравнение экстремума выглядит следующим образом

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u)

c−1

c−2

c−1

+ u

(c − 1)u

− u

λ = 0

Г(с)

или

1 + (c − 1) − λu = 0.

Решением такого уравнения будет мода риска

u0 =

а пик риска будет равен

c с

Rmax =

(λ)

exp (−λ ∙

) =

Г(с)

Г(с)ec

Далее рассмотрим распределение Эрланга, для чего

составим уравнение моды

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u)

n−1

(n − 1)u

n−2

n−1

+ u

− u

λ u

λ.

(n − 1)!

Упрощая, имеем уравнение

1 + (n − 1) − λu = 0,

решением которого является мода u0 = nλ.

По аналогии составим уравнение моды для распределения Вейбула (табл. 2)

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u) = = dλdud−1 + udλd(d − 1)ud−2 −

− udλdud−1λddud−1 = 0.

Упрощение уравнения приводит к виду

1 + (d − 1) − dλdud = 0.

Отсюда мода равна

u0 = 1λ.

Соответственно пик риска будет равен

Rmax = dλd (1λ)d exp [− (λ 1λ)d] = dλ.

Применительно к логнормальному распределению плотности вероятности наступления ущерба уравнение моды риска согласно табл.2 примет следующий вид

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u) =

+ u

∙ (−

) − u

uσ√2π

σ√2π

× [2 ln u (

) − 2m (

)] = 0.

Упрощение дает

2 ln u − 2m = 0,

откуда находим моду риска

= em.

Соответственно пик риска будет равен

(ln(em) − m)2

Rmax =

exp [−

] =

2σ2

σ√2π

Вышеперечисленные

выражения

для

координат

экстремума риска сведены в табл. 4.

Таблица 4 Аналитические выражения моды и пика риска

Вид используемого

Мода

Аналитическое

закона распределения

риска

выражение для пика

плотности вероятности

риска

ущерба

Экспоненциальный

Релея

Гамма

Г(с)ec

Эрланга

(n − 1)! en

Вейбулла

Логнормальный

σ√2π

Теперь определим аналитические выражения параметров риска для экспоненциального распределения согласно табл. 2. они будут иметь следующий вид:

2!⁄λ2

;

α1

1⁄λ

3!⁄λ3

2 2!⁄λ2

2 2

+(M )2 = √

σ = √

− 2M

− 2

+ (

) =

1⁄λ

= √

−

√2

;

λ2

α4

− 3

α2α3

+ 2

α23

α1

α12

α13

4!⁄λ

(3!⁄λ

)(2!⁄λ

)

(2!⁄λ

)

− 3

+ 2

−

1⁄λ

(1⁄λ)2

(1⁄λ)3

λ3

;

μ*

α5

-4

α4α2

α3α22

-3

α24

α13

α1

α12

α14

5!⁄λ5

(4!⁄λ4 )(2!⁄λ2 )

(3!⁄λ3 )(2!⁄λ2 )2

(2!⁄λ2 )4

-4

- 3

1⁄λ

(1⁄λ)2

(1⁄λ)3

(1⁄λ)4

120

192

144

;

As =

μ3

λ3

√2

√2;

⁄

√(μ2)3

√2

√

)

(

20⁄λ4

− 3 =

− 3 = 2.

(μ )2

⁄λ)2

(√2

Интересно также было бы найти среднеквадратическое отклонение от моды

3!⁄λ3

1 2!⁄λ2 1 2

√

σ0

= √

− 2u0

+(u0)2 =

− 2

+ (

) =

1⁄λ

√3

= √

−

λ2

а также– островершинность риска на ее основе

1⁄λ

E0 =

√3

2σ0

2√3

Рассмотрим далее распределение Релея. Опираясь на выражение в табл. 2, имеем:

		1		Г (1 +	2
	α2				2)		1 Г(2)
M =	α2	=	λ2		2)	=	1 Г(2)	;
M =		=				=		;
	α1	1		Г (1 +	1		λ Г(1,5)
			λ	Г (1 +	2)

σ = √

α3

− 2M

α2

+(M )2 =

Г (1 +

+ [1 Г(2) ]

= √λ3

2) − 2 [1 Г(2) ]

(1 +

λ Г(1,5)

= √

1 Г(2,5)

−

Г(2)

[

]

λ2 Г(1,5)

λ2

Г(1,5)

√

Г(2,5)

Г(2)

−

[

] ;

Г(1,5)

(1+

α4

α2α3

α23

λ4

μ =

-3

−

α12

α13

α1

Г (1+

(1+

Г (1+

− 3

[

] =

Г (1+

[λ

Г (1+

2)]

Г(3)

Г(2,5)Г(2)

Г3(2)

[

-3

] ;

λ3

Г(1,5)

Г2(1,5)

Г3(1,5)

α α

6(α α2)

α4

μ*

-4

4 2

-3

α13

α1

α12

α14

Г(3,5)

Г(3)

Г(2)

-4

Г(1,5)

Г2(1,5)

6 (

Г(2,5)

Г2(2))

Г(2)

-3 [

] ;4

Г3(1,5)

Г(1,5)

Г(2,5)

Г(2)

) =√

σ0

=√

-2u

+(u

-2

0 α

Г(1,5)

=√ 1 Г(2,5)

-2

1 Г(2)

1 .

λ2 Г(1,5)

λ2

Далее не представляет труда нахождение прочих

параметров

As = μ3 ; √(μ2)3


		μ
E	=		4		− 3;

x		(μ )2

		2 u
	E	=		0		.

	0			2σ0

Полученные (на основе распределения Релея) параметры риска сведены в табл. 5 и табл. 6 соответственно.

Таблица 5 Аналитические выражения риска и его параметров

(для показательного распределения плотности вероятности наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

Risk(u) = λu exp(−λu)

где: u – ущерб, λ – параметр распределения плотности вероятности наступления ущерба

Наименование параметра риска	Аналитическое выражение
	параметра риска
Среднее значение ущерба	M =	2

			λ
Мода ущерба	u0 =	1

		λ
Пик риска	Rmax =			1

				e

Аналитическое выражение параметра риска

M = 1 Г(2) λ Г(1,5)

u0 = 1λ

Rmax = e

Продолжение табл. 5

Наименование параметра риска	Аналитическое выражение
	параметра риска
Среднеквадратическое отклонение
	σ =		√2
ущерба
			λ
Среднеквадратическое отклонение
	σ0 =		√3
от моды
			λ
Островершинность риска	E0 =	1

		2√3

Таблица 6 Аналитические выражения риска и его параметров

(для распределения Релея плотности вероятности наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

Risk(u) = λ(λu)2 exp(−(λu)2)

где: u – ущерб, λ – параметр распределения плотности вероятности наступления ущерба

Наименование параметра риска

Среднее значение ущерба

Мода ущерба

Пик риска

Среднеквадратическое

Г(2,5)

Г(2)

отклонение ущерба

σ =

√

− [

]

Г(1,5)

Среднеквадратическое

σ0 = √

Г(2,5)

Г(2)

отклонение от моды

− 2

λ2 Г(1,5)

λ2

По аналогии для гамма-распределения найдем выражения параметров риска:

Г(с + 2)⁄λ2

Г(с)

1 Г(с + 2)

M =

;

α1

Г(с + 1)⁄λ Г(с)

λ Г(с

+ 1)

σ = √

Г(с + 3)⁄λ3Г(с)

Г(с + 2)⁄λ2Г(с)

−

[

]

Г(с + 1)⁄λ Г(с)

Г(с

+ 1)⁄λ Г(с)

1 Г(с + 3)

Г2(с + 2)

√

−

;

Г(с + 1)

Г2(с + 1)

σ0

= √

Г(с + 3)⁄λ3Г(с)

с Г(с + 2)⁄λ2Г(с)

− 2

(

)

Г(с

+ 1)⁄λ Г(с)

λ Г(с + 1)⁄λ Г(с)

√

Г(с + 3)

− 2с

Г(с + 2)

+ с2

;

λ Г(с + 1)

Г(с + 1)

E =

λσ0

λ√

Г(с + 3)

− 2с

Г(с + 2)

+ с2

Г(с + 1)

где u0 = λс.

Полученные выражения для удобства их вычислений сведены в табл. 7.

Таблица 7 Аналитические выражения риска и его параметров (для гамма-

распределения плотности вероятности наступления ущерба)

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u

(λu)с

Risk(u) = Г(с) exp(−λu)


где: u – ущерб, λ, с –	параметр распределения плотности
вероятности наступления ущерба
Наименование параметра	Аналитическое выражение
риска	параметра риска
Среднее значение ущерба	M =	1	Г(с + 2)
		λ Г(с + 1)
Мода ущерба	u0 =			с
				λ

Продолжение табл. 7

Наименование параметра

Аналитическое выражение

риска

параметра риска

Пик риска

Rmax =

сс

Г(с)eс

Среднеквадратическое

(с + 2)

отклонение ущерба

σ =

√

Г(с + 3)

−

(с + 1)

λ Г(с + 1) Г

Среднеквадратическое

σ0 =

Г(с + 3)

Г(с + 2)

+ с2

отклонение от моды

√

− 2с

λ Г(с + 1)

Г(с + 1)

Островершинность риска

E0 =

λ√Г(с + 3)

− 2с

Г(с + 2)

+ с2

Г(с + 1)

Соответветсвенно для распределения плотности вероятности наступления ущерба по закону Эрланга параметры риска можно описать следующими выражениями:

n (n + 1)

n + 1

M =

λ2

;

λ n

− [n + 1] =

σ = √λ3 n (n + 1)(n + 2)

λ n

√n + 1

√(n + 1)(n + 2) − (n + 1)2

;

(n + 1)(n + 2)

n + 1

σ0 = √

λ3

− 2

(

λ λ

λ n

√n + 2

;

√(n + 1)(n + 2) − 2n(n + 1) + n2 =

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.06 Mб9Методическое пособие 372.pdf
#
30.04.20221.06 Mб15Методическое пособие 373.pdf
#
30.04.20221.07 Mб7Методическое пособие 374.pdf
#
30.04.20221.07 Mб2Методическое пособие 375.pdf
#
30.04.20221.07 Mб2Методическое пособие 376.pdf
#
30.04.20221.07 Mб2Методическое пособие 377.pdf
#
30.04.20221.08 Mб4Методическое пособие 378.pdf
#
30.04.20221.08 Mб2Методическое пособие 379.pdf
#
30.04.2022507.9 Кб6Методическое пособие 38.doc
#
30.04.2022287.2 Кб4Методическое пособие 38.pdf
#
30.04.20221.08 Mб3Методическое пособие 380.pdf