Методическое пособие 370

многократное решение систем алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования Ai по начальным

условиям, что и представляет собой основную трудность расчета классическим методом.

Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой функции времени t, называемой оригиналом, сопоставляется другая функция комплексного переменногоS j 0 , называемая изображением. При этом производ-

ные и интегралы от оригинала выражаются алгебраическими функциями от изображения и начальных значений самой функции, ее производных и интегралов. В связи с этим система интегро-дифференциальных уравнений классического метода относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений. При решении полученной системы алгебраических уравнений определяются изображения искомых функций и затем, с использованием обратного преобразования, находятся оригиналы, т.е. искомые функции времени.

Необходимость вычисления постоянных интегрирования по начальным условиям отпадает, поскольку все начальные условия учитываются при переходе от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений, составленных относительно их изображений.

1.4.2. Прямое и обратное преобразования Лапласа

Взаимное соответствие между функцией времени a t и

ее изображением A p в операторном методе устанавливается с помощью прямого преобразования Лапласа

A p L a t a t e ptdt,

0

где L – обозначение прямого преобразования Лапласа.

Это соответствие между оригиналом и изображением записывается как

30

A p : а t или a t : A p .

Некоторые простейшие изображения функций представляются в виде следующих соотношений:

Подробные таблицы оригиналов и их изображений можно найти в справочнике [2].

Обратное преобразование Лапласа записывается в виде

Лапласа.

Однако напрямую этот интеграл не «берут», а поступают следующим образом. Если имеется возможность, то по полученному изображению находят оригинал в соответствии с таблицами, однако, если изображение такое, что оригинала в таблице нет, то используют так называемые формулы перехода от изображения к оригиналу. Так, если изображение имеет

31

значение производной F2 р после подстановки в нее вместо

рзначений рk .

Вслучае, если знаменатель последнего выражения име-

ет один корень, равный нулю, т.е. F2 р рF3 р , то оригинал находится по формуле

где F1 0 и F3 0 - значения этих функций при р 0.

В соответствующих справочниках, например [2], имеются формулы и для кратных корней уравнения F2 р 0

1.4.3. Некоторые основные свойства преобразования Лапласа

Эти свойства можно представить в виде следующих соотношений:

1.k : k ;

р

2.ka t : kA р ;

32

0

Если интеграл a t dt при t 0изменяется скачком, то

нужно брать его значения справа от нуля, что и обозначено в верхнем пределе знаком 0+.

1.4.4. Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов

По аналогии с комплексным сопротивлением Z j

вводится понятие операторного сопротивления Z p . Также

поступают и для проводимости, т.е. Y j заменяется на

Y p .

Операторным входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях, т.е.

33

чина S 0 при нулевых начальных условиях.

В том случае, когда начальные условия ненулевые, эквивалентные операторные преобразования для конденсатора С и индуктивности L , будут другими, где простой заменой j на р пользоваться нельзя.

1.4.4.1. Эквивалентная операторная схема конденсатора при ненулевых начальных условиях

Напряжение на конденсаторе в общем случае определяется соотношением

в виде

сp Uс (0) 1 Iс р . (1.27)

ррС

Всоответствии с (1.27) теперь можно представить операторную схему замещения конденсатора при ненулевых начальных условиях, предварительно уточнив направление

34

напряжения у дополнительного источника UС 0 в (1.27),

р

учитывающего начальные условия. Это можно осуществить с помощью теоремы дифференцирования

Применяя (1.28) к компонентному уравнению конден-

В соответствии с (1.29) ток через конденсатор имеет две составляющие и вторая из них – отрицательна. В связи с этим на операторных схемах конденсатора ставят стрелку, совпадающую с направлением основного тока совместно с

указанием знака минус у значения UС 0 (рис. 1.13).

р

Рис. 1.13. Операторная схема замещения конденсатора

Схему по рис. 1.13 можно представить через обозначение конденсатора в виде операторного сопротивления

(рис. 1.14).

35

Рис. 1.14. Схема конденсатора в виде операторного сопротивления

1.4.4.2. Эквивалентная операторная схема индуктивности при ненулевых начальных условиях

Для индуктивности напряжение и ток выражаются соответственно соотношениями

Применяя к (1.30) теорему дифференцирования (1.28) получим, что

Используя теорему интегрирования (1.26), получим для

(1.31)

Из уравнения (1.32) видно, что в выражении напряжения на индуктивности появилась новая составляющая, LIL 0 , определяемая как дополнительный источник напряжения, составляющая тока которого совпадает с основным током, о чем свидетельствует знак плюс у второго слагаемого в

(1.33).

36

С учетом этого операторная схема для индуктивности при ненулевых начальных условиях может быть представлена как на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Операторная схема индуктивности при ненулевых начальных условиях

Как и для конденсатора (рис. 1.14) схему по рис. 1.15, можно изобразить через операторное сопротивление

(рис. 1.16)

Рис. 1.16. Схема индуктивности в виде операторного сопротивления

1.4.4.3.Эквивалентная операторная схема сопротивления

Для сопротивления напряжение и ток связаны между собой зависимостью закона Ома

Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число, то для (1.34) получим, что

В соответствии с (1.35) эквивалентная операторная схема сопротивления может быть представлена на рис. 1.17.

37

Рис. 1.17. Эквивалентная операторная схема сопротивления

Пример 1.2. Приведем пример использования эквивалентных операторных преобразований для L, C и R на конкретной схеме.

Дана электрическая цепь (рис. 1.18) и требуется начертить операторную схему ее замещения, если uC 0 E0 , iL 0 I0.

Рис. 1.18. Схема электрической цепи

Для составления эквивалентной операторной схемы ненулевые начальные условия будем учитывать для индуктивности введением дополнительного источника ЭДС равного по величине L I 0 и по направлению совпадающего с положительным направлением тока, а для конденсатора введе-

нием дополнительного источника UC 0 и противоположно p

направленного UC 0 .

38

Так как в рассматриваемом примере, iL 0 i 0 I0 ,

а uc 0 uc 0 E, то операторная схема цепи может быть представлена в виде рис. 1.19.

Рис. 1.19. Эквивалентная операторная схема цепи

1.4.4.4. Основные этапы анализа переходных процессов операторным методом

Анализ переходных процессов осуществляют по эта-

пам.

1.Анализ цепи до коммутации и определение независи-

мых начальных условий. Эта процедура выполняется так же, как и при использовании классического метода.

2.Составление операторной эквивалентной схемы це-

пи после коммутации. Ненулевые начальные условия учиты-

ваются введением дополнительных источников э.д.с.

L I 0 и UC 0 / p.

3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым методом, из ранее применяемых при расчетах электрических цепей, непосредственно по операторной схеме замещения.

39