Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 296

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

795.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Пример 5. Найти

e	dx
	x	1

. Обозначим

e	x

. Тогда

x ln t

	dx	dt
	dx	t
		t

e	dx
	x	1

C ln

.Следовательно,

dt ln t ln t 1

C ln

t 1

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. Изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

Задачи для самостоятельного решения

					7					2	5
1.	cos x 5sin x 6					dx	2.	x 2		x	5	dx
1.	cos x 5sin x 6					dx	2.	x 2				dx
4.		ex		dx		5.	x cos		3x2	1 dx
4.				dx		5.	x cos		3x2	1 dx
	2ex		3
	2ex		3

3.

6.

xdx

x2 2 3

		dx
cos	2	x(3tgx 1)
cos		x(3tgx 1)

	2ln x 3			3
7.	2ln x 3					dx
			x


10.		1 cos x				dx
					2	dx
		(x	sin x)		2
		(x	sin x)

13. 2ex 3 4 ex dx

8. xe4 x2 dx

11.		cos x
			2
	5	sin		x

14. 2ln x x

1 dx

	(arcsin x)				2		1
9.	(arcsin x)						1
9.							dx
							dx
			1 x		2
			1 x
12.				x		4	dx
		x	2	4		4

15. x 5 2x2 6 dx

16.	arctg
	1 x		2


19.	x sin 5

22.	1 x	2

x	dx
	dx
2x		2	dx
2x			dx
dx
(arcsin x)				3
(arcsin x)

17.
17.
20.
23.
23.

	2		4
x3	x		4	dx
x3				dx
x	3	dx
x		dx
1 x				8
1 x
3ln x					2	2
3ln x					2	dx
			x			dx
			x

18.
18.
21.
21.
24.

e	3 sin x	cos xdx

			cos x			dx
3	2sin x 5					dx
3

	e	2x		dx
	e			dx
4	e		2x		1
	e				1

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Пусть u и v – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда дифференциал произведения uv равен:

d uv u dv v du . Интегрируя это равенство, получим:d uv uv u dv v du

или

	u dv uv		v du

(13)

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскание функции v по ее дифференциалу dv и вычисление интеграла

v du

составляли более простую задачу, чем непосредственное

вычисление интеграла u dv .

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида

P x e	kx	dx

P x sin kx dx

P x cos kx dx , где P x – многочлен, k – число. Здесь удобно

положить тели.

P x

, а за dv обозначить все остальные сомножи-

Интегралы вида

P x arcsin x dx

P x arccos x dx ,

P x ln x dx ,

P x arctg x dx ,

P x arcctg x dx . Здесь удобно

положить

dv P x dx

, а за u обозначить остальные сомножите-

ли.

Пример

Найти

2x 1 e

dx .

Положим

u 2x 1,

dv e

dx . Тогда

du 2dx ,

(можно положить

C 0 ). Следовательно, по формуле интегрирования по частям:

2x 1 e

dx 2x 1

2 dx

2x 1 e

Пример 2. Найти

dx . Пусть u x

, dv e

. Тогда

2x dx

e	x

. Поэтому

	2	x	dx
	x	e	dx

Для вычисления интеграла


2		e		x	2
x		e			2
	e		x		x dx
			x

e	x	x dx .

снова применим формулу

интегрирования по частям:					u x ,
v e	x	. Следовательно
v e		. Следовательно
		ex x dx x ex ex dx
Поэтому окончательно			2	x	2	e
Поэтому окончательно			x	e	dx x	e

Пример 3. Найти		arctg x dx .

	x	dx .			Тогда
	dv e
x ex ex C .
x	2 x e		x	e	x	C .

Пусть		u arctg x ,

Тогда du	1	dx , v x . Поэтому
	1 x2

							x
	arctg x dx x arctg x					1 x
	arctg x dx x arctg x
x arctg x		1			C.
x arctg x		2	ln 1 x2		C.
		2
	Пример 4.			Найти			ln x
	Пример 4.			Найти			ln x

2	dx

dx .

x arctg x		1
x arctg x		2
		2
Пусть	u ln

	d

x ,

	x2
1	x2
1 x
	2
dv dx

. Тогда

1 x

v xln

. Поэтому

x dx x ln x	x	1	dx
		x

x ln

x C

Задачи для самостоятельного решения

1.		3x 2 e					x	dx


4.	5 x sin 4xdx
7.	x		2	sin 4xdx



10.		ln(x			2	1)dx


13.		arctg 2x dx


2.	3x				7 cos 2xdx
5.	x3			x	dx


8.	x	3	sin 2xdx


11.		x		2	ln x 3 dx

14. x arctg 3x dx

3.	2x 3 e	3x	dx

6.		x		2	cos xdx
				2


9.		ln x 3 dx
9.		ln x 3 dx
12.	(x 1) ln					2	(x 1)dx
	(x 1) ln						(x 1)dx

15.			arccos 2xdx
15.

16. x3 ln x 7 dx

17.

3	arctg x dx
x

18.

arcsin x	2	dx

6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

6.1. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов:

A x

m 1

... A

f x

(14)

B x

n 1

... B

где

Pm x

– многочлен степени m, а Qn x – многочлен степени

Если

степень числителя

меньше

степени

знаменателя

( m n ), то дробь называется правильной, в противном случае

( m n ) дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь

P x

можно

Q x

путем деления числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

P x	L x	R x
			,	(15)
Q x		Q x

где

L x

– многочлен, а

R Q



x x



– правильная рациональная

дробь.

Правильные рациональные дроби вида

1.		A	,
		x a

2.		A		(k – целое положительное число 2 ),
		x a
			k
3.		Ax B			(корни знаменателя комплексные, т.е.

	x2 px q
4.		Ax B				(k – целое положительное число

		x2 px q k


p		2	4q 0 ),

2	, корни зна-

менателя комплексные),

называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Рассмотрим сначала интегралы от простейших рациональных дробей.

x a

Aln x a C .

x a

k 1

II.

dx A

x a

dx A

x a

Ax B

III.

px q

2x p

ln x

px q

ln x

px q

2B Ap

arctg

2x p

4q p

IV. Рассмотрим интегрирование простейшей дроби IV типа на примере:

		2		dx																	dx					.		Сделаем замену											x 2 3 tg t ,
	x	2	4x 13									2						x 2				2	9		2



тогда dx								3						dt		,		t arctg					x 2			. Следовательно,
тогда dx								cos		2			t	dt		,		t arctg						3		. Следовательно,
										2

				dx																	3 dt														3dt

	x 2				2		9				2								9 tg2t 9					2 cos2 t									9			2		2
																																				cos			t
																																		2		cos			t
																															cos				t
	1					2									1					1 cos 2t								1				1
				cos				t dt																dt						t			sin 2t				C
				cos				t dt						27										dt						t			sin 2t				C
	27													27							2						54					2
	1								x+2						1									x+2
			arctg														sin				2arctg								C.
	54		arctg					3							2		sin				2arctg			3					C.
	54							3							2									3

6.2. Разложение рациональной дроби на простейшие

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь	P x	,
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь	Q x	,
	Q x
знаменатель которой разложен на множители
Q x x x1 k1 x x2 k2 x2 p1x q1 s1 x2 pm x qm sm ,

можно представить (и притом единственным образом) в виде суммы простейших дробей:

P	x						A								A											A					B												B
							A								A					...								k			B												B
							1								2					...								1					1										2
							1								2													1	1				1										2
					x x			k				x x						k	1										1	x x						k			x x					k	1
Q	x							1										1							x x												2							2
								1										1																			2							2
							1								1																		2										2
			B									C x D														C x D														C		s	x D
...				k		...						C x D														C x D							...									s		s
...					2	...								1			1										2			2			...									1		1
					2									1			1										2			2												1		1
		x x							x											s			x								s 1							x		2	p x q
		x x									2	p x q								1				2		p x q					1							x			p x q
						2						p x q								1						p x q					1												1		1
															1			1										1		1
						M	x N											M		2	x N			2							M s				x Ns									16
...						1			1											2				2					...					m						m			,
...		x										s			x												s	1	...		x	2	p					x q					,
				2	p		x q						m			2	p					x q					m				x		p					x q
					p		x q						m				p					x q					m									m					m
							m			m										m				m

где

A , A		,..., B , B		,..., C , D ,..., M			, N	,...
1	2	1	2	1	1	1	1

– некоторые действи-

тельные коэффициенты.

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:

x2 4

;

x 2 x 3 3

x 2

x 3 3

x 3 2

x 3

;

x2 1

Cx D

x 1

x 2

x2 x 1

x 2

Для нахождения коэффициентов

A1, A2 ,..., B1, B2

Mx N		.

x2 x 1	2

,... в равен-

стве (16) можно использовать метод неопределенных коэффици-

ентов. Суть метода состоит в следующем:

1. В правой части равенства (16) приведем дроби к общему знаменателю Q x ; в результате получим тождество

P Q



x x



S Q



x x



, где

S x

– многочлен с неопределенными коэф-

фициентами.

2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е.

P x

(17)

3.Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x

вобеих частях тождества (17), получим систему линейных уравнений, из которой определяются искомые коэффициенты

A , A		,..., B , B		,...
1	2	1	2

Пример. Представить дробь

x	2	2
	2

x 1

x 2

в виде суммы

простейших дробей. Согласно (16), имеем:

x	2	2	A	A	A	B
							.
			1	2	3

						x 1		3	x 2				x 1			3	x 1				2	x 1		x 2
								3								3					2
Приводя к общему знаменателю, получим:
		x	2	2																			2				3
			2				A				x 2		A	x	1		x 2	A				x 1	2	x 2	B	x 1	3
x 1					x 2			1					2				x 1				3						.
								1					2								3
				3															3	x 2
				3															3
Приравниваем числители:																	A A 3A 3B x
x	2	2 A B x								3	A 3B x				2		A A 3A 3B x
	2									3					2
						3						2					1			2		3
2A 2A 2A B .
					1	2				3

Приравнивая коэффициенты при x3 , x2 , x1, x0 (свободный член),

получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов:

0 A3 B

1 A2 3B

0 A1 A2 3A3 3B2 2A1 2A2 2A3 B.

Решая эту систему, найдем:					A1
Следовательно,
x	2	2		1

x 1		3	x 2	x 1	3
						3

1 2

1 3

2 x 1

2 9

B	2
	9

2		.
x 2

6.3. Интегрирование любых дробно-рациональных функций

Сформулируем общее правило интегрирования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;

2.Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

3.Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример 1. Найти интеграл

	x	2
	x

xdx

1 x 1

. Под знаком ин-

теграла правильная дробь. Разложим ее на простейшие дроби:

		x	Ax

		x2 1 x 1	x2
Следовательно,	x Ax B x 1 C

x A C x2 A B

B	C	.

1	x 1

x	2	1 .
	2

x B C .

Приравнивая коэффициенты при x2 , x1 , x0 , получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов:

0 A C

1 A B

0 B C.

Решая эту систему, находим:

									1	x		1
		x dx							2	x		2
		x dx

x2		1		x 1					x2 1
x2		1		x 1					x2 1


	1	x dx			1		dx				1
	2	x	2	1	2	x	2	1			2
	2	x		1	2	x		1			2

A 1

	dx
	x 1
	x 1

	1	,
	2	,
	2


	dx

	B	1
	B	2
		2

1 2

ln x	2

x
x	2

1

	1	. Тогда

	2
1		dx	1	dx
1			2	x 1

1 arctg x

1 ln x 1 C.

Пример 2. Найти интеграл

x	5	2x		3	4x 4

	x	4	2x		3	2x	2	dx

. Под зна-

ком интеграла неправильная дробь. Выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:


x	5	2x		3	4x 4				4x	3		4x	2		4x 4
								x 2
	x	4	2x		3	2x	2		x		4	2x		3	2x	2

Разложим правильную дробь на простейшие дроби:

4x3 4x2 4x 4

A B

Cx D

x4 2x3 2x2

x2 x2 2x 2

x2 2x 2

4x3 4x2 4x 4 Ax x2 2x 2 B x2 2x 2 Cx D x2 .

4x 4

A C x

2A B D x

2A 2B x 2B.

Приравнивая коэффициенты при

, получим систему

, x

, x , x

линейных уравнений для определения коэффициентов:

A C 4

2 A B

2 A 2B 4

Решая эту систему, находим: A 0 ,

B 2 ,

C 4 , D 2 . Тогда

4x3 4x2 4x 4

4x 2

x4 2x3 2x2

x2 2x 2

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022782.86 Кб4Методическое пособие 291.pdf
#
30.04.2022784.93 Кб4Методическое пособие 292.pdf
#
30.04.2022790.13 Кб4Методическое пособие 293.pdf
#
30.04.2022794.4 Кб2Методическое пособие 294.pdf
#
30.04.2022794.89 Кб5Методическое пособие 295.pdf
#
30.04.2022795.07 Кб2Методическое пособие 296.pdf
#
30.04.2022795.19 Кб7Методическое пособие 297.pdf
#
30.04.2022799.82 Кб3Методическое пособие 298.pdf
#
30.04.2022805.01 Кб10Методическое пособие 299.pdf
#
30.04.20221.44 Mб2Методическое пособие 3.doc
#
30.04.2022157.85 Кб3Методическое пособие 3.pdf