Методическое пособие 252

Рис. 3

6) Решим задачу Коши численно с помощью общепринятой процедуры решения на основе метода Рунге Кутта, воспользовавшись пакетом Maple

29

Рис. 4

7) Получим систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний P(t) 0 :

Первые четыре уравнения не являются линейно независимыми, поэтому первое из них может быть заменено условием нормировки

30

8) Решая систему в Maple, получаем:

Рис. 5

P4 0,05P1 0,028. Проверим вычисления с помощью условия нормировки:

0,562 0,362 0,048 0,028 1.

Вероятности нахождения системы в различных состояниях связаны с средними временами нахождения в состояниях и используются в задачах экономической оптимизации системы, а также задачах надежности систем.

31

ПРИЛОЖЕНИЕ № 1 О математическом пакете Maple

Maple - это среда для выполнения математических расчетов на компьютере. В отличие от языков программирования высокого уровня Фортран, Си или Паскаль, Maple может решать большое количество математических задач без всякого предварительного программирования в режиме командной строки.

Огромным преимуществом пакета является очень развитая символьная математика: решение задач может быть получено аналитически, то есть в виде формул, состоящих из математических символов. Вследствие этого Maple называют также пакетом символьной математики.

Просто научиться работать с Maple в интерактивном режиме или режиме командной строки. При загрузке программы автоматически загружается новый рабочий лист (worksheet), на котором находится приглашение для ввода команды > (prompt). В командную строку можно записать любое алгебраическое выражение, то есть выражение, состоящее из имен переменных и функций, чисел и символьных констант, соединенных алгебраическими операторами. На конце команды обязательно должен стоять символ конца команды - точка с запятой или двоеточие. В противном случае команда не будет выполняться. Если поставлена точка с запятой, то при нажатии клавиши Enter или кнопки с восклицательным знаком на инструментальной панели команда будет выполнена и результат будет выведен на экран дисплея. Если после конца команды стоит двоеточие, то результат не будет выведен на дисплей, а только сохраниться в памяти компьютера.

В Maple каждое выражение, содержащее операторы, и на конце которого стоит точка с запятой, является командой, приводящей к выполнению операторов выражения. Однако, существенное увеличение возможностей в Maple связано с использованием в командной стоке команд-процедур.

Такая команда вводится следующим способом:

>Имя_команды(аргумент, опции);

32

Например, команда solve, использующая оператор "=", предназначена для аналитического решения линейных и нелинейных уравнений, неравенств и систем. Так для решения системы уравнений

x 3y 10,

3x y 6

достаточно ввести команду

> sols:= solve( { x+3*y=10, 3*x+y=6 }, { x, y } );,

где в первых фигурных скобках указаны сами уравнения системы, а во вторых скобках перечислены неизвестные. Решению системы присвоено имя sols. В результате в переменной sols выведено решение системы:

.

Возможен и другой вариант решения системы:

>eqn1:=x+3*y=10:

>eqn2:=3*x+y=6:

>sols:=solve({eqn1,eqn2},{x,y});

.

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а также систем дифференциальных уравнений используется команда

> dsolve (eq, vars, options);,

где eq заданные дифференциальные уравнения, vars переменные, по отношению к которым ищется решение,

33

options - необязательные опции, задаваемые в виде: ключевое слово=значение.

Если задана опция type=exact, то команда пытается найти аналитическое решение (опция задана по умолчанию). Возможны другие значения этой опции type=series ( решение ищется в виде ряда), type=numeric ( ищется численное решение).

Для того, чтобы найти численное решение дифференциального уравнения (задачи Коши или краевой задачи) в команде dsolve следует указать параметр type=numeric (или просто numeric). Тогда команда решения дифференциального уравнения будет иметь вид

dsolve(eq, vars, type=numeric, options),

где eq – уравнения, vars – список неизвестных функций, options – параметры, позволяющие указать метод численного интегрирования дифференциального уравнения, например, при опции method=rkf45 используется метод Рунге-Кутта четвертого-пятого порядка.

Для нахождения решения задачи Коши

с начальными условиями x(0) 0, y(0) 1 вводим команды:

>sys:=diff(x(t),t)=2*y(t)-x(t)-t, diff(y(t),t)=x(t)):

>cond:=x(0)=0,y(0)=1:

>dsolve({sys,cond},{x(t),y(t)},laplace);

{x(t)=- e-2x+ ex+ , y(t)= ex+ e-2x+ + }

Следует отметить, что начальные условия вводятся с помощью переменной cond, во второй фигурной скобке перечислены

34

неизвестные функции, в качестве опции задан способ получения решения ( с помощью преобразования Лапласа).

Для построения двумерных графиков служит функция plot. Для построения графиков решений дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений служит специализированная функция plot[odeplot] из пакета odeplot. Она может быть задана в виде:

> plots[odeplot](f,[var], 0..8, options);,

где f — визуализируемая функция (или функции), var — переменные с указанием области их изменения, v — независимая переменная с указанием области изменения, options — параметр или набор параметров, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т. д.). Maple позволяет воспроизводить на одном графике множество кривых. В простейшем случае для построения таких графиков достаточно перечислить нужные функции и установить для них общие интервалы изменения:

> plots[odeplot](f,[[t,p1(t)],[t,p2(t)],[t,p3(t)],[t,p4(t)]],0..8);.

35

ПРИЛОЖЕНИЕ № 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРЕЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «ВГТУ», ВГТУ)

______________________________________________

(факультет) Кафедра______________________________________________

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине_________________________________________

____________________________________________________

Тема__________________________________________________

_____________________________________________________

Расчетно-пояснительная записка Разработал(а) студент(ка)______________________________-

Подпись, дата Инициалы, фамилия Руководитель__________________________________________

Подпись, дата Инициалы, фамилия

Защищена __________________Оценка___________________

Дата

36

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 1979.

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. М.:

Высш. шк., 1979.

3.Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М., «Наука» 2005г.

4.Вентцель Е.С ., Овчаров Л .А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь , 1983.

37

СОДЕРЖАНИЕ

Рекомендации студенту по изучению дисциплины «Специальные главы математики»…………… …… …..........1

Правила выполнения и оформления курсовой работы………………………………………………….…….…..2

Программа дисциплины «Специальные главы математики» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» очной формы обучения………………………………..………..2

Вопросы для самопроверки по численным методам и теории вероятности…………………………..….…4

Сведения из теории марковских процессов………….......6 Варианты заданий по курсовой работе…..……...…..….16 Пример решения задания….……………………..……....21 Приложение №1. О математическом пакете Maple…....32 Приложение № 2. Титульный лист……………………....36 Библиографический список…………………………........37

38