Методическое пособие 231

чайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина будет иметь размерность энергии [В2/Гц] = [В2с].

Поэтому иногда называют энергетическим спектром.

Влитературе часто можно встретить другую

интерпретацию: – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом.

корреляционную функцию.

Контрольные вопросы

1.Что такое ряд Фурье?

2.Что такое преобразование Фурье?

3.Почему периодическая функция имеет линейчатый спектр?

4.Что такое спектральная плотность случайного

процесса?

5.Каковы связь между мощностью и спектральной плотностью мощности ?

6.Какой физический смысл имеет дисперсия?

7.Какой вид имеют спектры типовых сигналов:

-синусоиды;

-дельта-функции;

-прямоугольного импульса;

-треугольного импульса;

-последовательности прямоугольных видеоимпульсов;

-последовательности прямоугольных радиоимпульсов.

9

Практическое занятие № 3 Выбор решения

Оптимальный выбор решения – выбор решения, наилучшего в определенном (заданном конкретным критерием) смысле.

Все критерии учитывают варианты принятия правильных и ошибочных решений (табл. 1).

Рассмотрим задачу выбора решения о наличии или отсутствии полезного сигнала в принятом излучении.

Таблица 1 Вероятности обнаружения объекта или ошибки

его обнаружения

Наиболее общий критерий оптимальности решения - минимум среднего риска (риск – вероятная плата за принятое решение).

Средний риск – это риск принятия решения при всех возможных вариантах ошибок и правильных решений (или/или):

10

R=p(П00P(0/0)+П01P(1/0))+ q(П10P(0/1)+П11P(1/1)) →min

p - априорная вероятность того, что сигнал есть; q=1-p - априорная вероятность того, что сигнала нет.

Принятие решения сводится к следующему.

Решение принимается по конкретной выборке - набору значений ( x1, x2, ...., xm ), зарегистрированных в моменты

времени t1, t2, ...., tm.

Заранее устанавливается граница (порог), разделяющая все множество возможных значений X на две области (X1 - область сигнала и X0 - область шума), которым соответствуют решения о наличии или отсутствии сигнала.

Определяется, куда попала полученная конкретная выборка - в область шума или сигнала.

В простейшем варианте, когда измеряется одно значение x, заранее устанавливается порог, который разделяет множество возможных значений х (от xmin до xmax)

на области (xmin , h) и (h, xmax). Решение принимается по правилу: если x≤ h - сигнала нет, если x> h, то сигнал есть.

Вероятности принятия правильных и ошибочных решений определяются величиной h и условными вероятностями попадания значения x в ту или иную область:

11

(x попало в область, соответствующую сигналу (x> h), когда его нет)

(x попало в область, соответствующую шуму (x≤ h ), когда сигнал есть)

P(0/0)=1- P0 - вероятность правильного необнаружения P(1/1)= 1- P1- вероятность правильного обнаружения

Оптимальное правило выбора решения дает ответ на вопрос о значении оптимального порога.

Для определения значения оптимального порога находят минимум функции среднего риска. Для этого в формулу для среднего риска подставляют выражения для всех условных вероятностей, выпаженные через значения порога, и решают математическую задачу определения экстремума.

Условием достижения минимум R является

Здесь H – теоретически обоснованное значение

12

13

Во всех случаях с порогом нужно сравнивать отношение правдоподобия.

Для удобства расчетов используют его логарифм

который соответственно сравнивают с ln H.

Найдем ln l для случая, когда x имеет нормальный закон распределения:

1 – λ=s – среднее значение x при наличии сигнала;

14

0 - λ =0 - среднее значение x при отсутствии сигнала

Применение критерия идеального наблюдателя для построения оптимального приемника

Прием считается оптимальным, когда вероятность совершить ошибку минимальна (в этом случае вероятность принять правильное решение максимальна).

Вероятность ошибки - это вероятность суммы случайных событий (или-или) - вероятность совершить ошибку 1 или 2 рода, рассчитывается как

Pe= P0+P1.

Правило выбора решения:

От этой формулы, соответствующей дискретным значениям, перейдем к непрерывным сигналам.

С порогом будем сравнивать .

В случае многомерной выборки нормального случайного процесса

=wm(xi),

Обозначим =N0/2 – мощность шума, учтем, что - это энергия сигнала, и получим правило принятия

решения о наличии сигнала

15

+

Из этой формулы следует схема оптимального приемника как технического устройства (рис. 8).

Рис. 8. Схема оптимального приемника

Если q=p=1/2, то принятый сигнал сравнивают отношением

Применение критерия оптимальности для определения среднего значения нормальной случайной величины

Нужно принять решение, какое из 2 возможных значений а1 и а2 имеет случайная величина x.

W(x, a1)=

W(x, a2)=

Для принятия решения находится

ln l(x1, x2, …, xm)=

Его надо сравнить с порогом. Или сравнить

16

ln c =k

(с – порог из таблицы), k – новый (удобный) порог.

Если неравенство выполняется, то среднее значение

равно а2.

При большом n последнее слагаемое (вместе с порогом) можно отбросить.

Типовые задачи

Задача 1. При заданной выборке рассчитать значение логарифма отношения правдоподобия.

Задача 2. При заданной выборке и средних значениях a1, a2 сделать выбор о значении среднего.

Задача 3. При заданной выборке и средних значениях a1, a2 рассчитать значения ошибок первого и второго рода.

Задача 4. При заданной выборке рассчитать ошибки первого и второго рода при применении различных критериев принятия решения.

Контрольные вопросы

1.Что такое оптимальное решение?

2.Что такое средний риск?

3.Что такое ошибки 1 и 2 рода?

4.Что такое критерий минимакса? В каких случаях он применяется?

5.Что такое критерий идеального наблюдателя? В каких случаях он применяется?

6.Что такое критерий максимального правдоподобия? В каких случаях он применяется?

7.Что такое апостериорная вероятность?

8.Что такое отношение правдоподобия?

9.Какова схема оптимального приемника?

10.Чем обоснованы элементы схемы оптимального

приемника?

17

Практическое занятие № 4 Расчет отношения сигнал/шум

Радиоволны и радиосигналы

Радиоволны – электромагнитные волны (ЭМВ) с частотами до 3 ТГц, распространяющиеся в среде без искусственных направленных линий.

Таблица 4 Диапазоны длин волн и соответствующих частот

Среды, в которых распространяются радиоволны:

Тропосфера – нижняя часть атмосферы Земли, в которой температура уменьшается с увеличением высоты, за исключением локальных слоев температурной инверсии

18