Методическое пособие 152

в качестве моделей резистора.

Вторичные параметры конденсатора: тангенс угла потерь или добротность Q, можно рассчитать по формулам

ЭРЭ с индуктивной реакцией, как правило, моделируют посредством эквивалентного двухполюсника с полным сопротивлением Z и эквивалентными компонентами R и X

(рис. П1.3а), которые связаны отношением

Z=R+jX. (П1.7)

Эквивалентному двухполюснику (рис. П3а) соответствует компонентная схема (рис. П1.3б) с параметрами R и L. Эквивалентную индуктивность Lэ рассчитывают по формуле

Модели, представленные на рис. П1.3, используют для описания резисторов при выполнении условия

Достоинством метода аттестации ЭРЭ через параметры эквивалентного двухполюсника является возможность исполь-

зования простых и достаточно точных методик измерения комплексных сопротивлений. С другой стороны, более сложные компонентные модели ЭРЭ, показанные на рис. П1.1, не являют ся исчерпывающими, так как на высоких частотах необходимо переходить к более сложным компонентным схемам замещения, учитывающим распределенные параметры ЭРЭ [1].

Электрические параметры резисторов и конденсаторов однозначно связаны с их конструктивными параметрами. Номинальное сопротивление резистора определяют геометрические размеры рабочего элемента и удельное сопротивление материала, используемого в этом элементе. Рабочий элемент резистора выполняют в виде пленки, проволоки или объемного тела длиной ℓ и площадью поперечного сечения S. На рисунке 4 показан вариант рабочего элемента резистора в виде цилиндрического тела. Связь сопротивления R резистора с конструктивными параметрами выражается формулой [1]

R= l/S. (П1.10)

Во многих случаях конструкции конденсатора можно свести или к конструкции плоского конденсатора, или к конструкции цилиндрического конденсатора. Для плоского конденсатора (рис. П1.5) связь конструктивных параметров: площади пластин S и расстояния между ними d, с учетом относительной электрической проницаемости , выражается формулой

где 0 = 10-9/(36 ) - электрическая постоянная, Ф/м. Рабочий элемент цилиндрического конденсатора пред-

ставляет собой две цилиндрические коаксиальные металлические поверхности, разделенные диэлектриком с проницаемо-

стью . Конструктивные параметры: Длина конденсатора ℓ, диаметр внешней обкладки D и диаметр внутренней обкладки d определяют емкость конденсатора, которая рассчитывается по формуле

Паразитные параметры конденсатора и резистора: Lп, Сп, Rп определяют конкретные конструкции рабочих элементов, конструкции выводов и элементов защиты от внешних воздействий. Точный расчет этих параметров затруднителен.

Так как при производстве ЭРЭ их конструктивные параметры имеют неизбежный технологический разброс, то их электрические параметры, благодаря функциональной связи с конструктивными, также являются случайными величинами. Существенное влияние на дисперсию электрических параметров ЭРЭ оказывает также дисперсия удельного сопротивления материала резистивного элемента для резисторов и дисперсия диэлектрической проницаемости для конденсаторов. Паразитные параметры в процессе производства контролировать трудно, и в ряде случаев нецелесообразно, так как их значения зависят также от способа монтажа ЭРЭ на платах. В высокочастотных устройствах типа контуров, фильтров, линий задержки сигналов влияние статистических характеристик как основных, так и паразитных параметров может быть существенным.

а) б)

а - эквивалентный двухполюсник; б - его компонентная схема замещения Рис. П1.3. Модель катушки индуктивности

Рис. П1.4. Рабочий элемент резистора

1 - обкладки; 2 - прокладка-изолятор Рис. П1.5. Рабочий элемент плоского конденсатора

1 - внешняя обкладка; 2 - внутренняя обкладка; 3 – цилиндрический изолятор

Рис. П1.6. Рабочий элемент цилиндрического конденсатора

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВУХПОЛЮСНЫХ РАДИОЭЛЕМЕНТОВ

Комплексное сопротивление Z любого двухполюсника в диапазоне частот вплоть до десятка мегагерц может быть определено по способу [6] и устройству, признанными изобретениями [7]. Для этого достаточно определить три комплексных напряжения. Основными элементами измерительной схемы, показанной на рис. П1.1, является генератор G синусоидального напряжения с полым внутренним сопротивлением ZГ и калиброванный двухполюсник с полным сопротивлением Zк.

Первое комплексное напряжение U0 измеряют согласно схеме рис. П1.1а в режиме холостого хода генератора G. Вто-

рое комплексное напряжение UK измеряют на выходе генератора, нагруженном на калиброванный двухполюсник Zk согласно схеме рис. П1.1б. Третье комплексное напряжение

U измеряют согласно схеме рис. П1.1б, включив в качестве нагрузки измеряемый двухполюсник Z.

схемы следует, что измеряемое полное сопротивление Z, мо-

жет быть определено по значениям напряжений U0 ,UK ,U и сопротивления Zk по формуле

В процессе реализации данной методики измерения сопротивление ZГ удобно моделировать резистором, который на высоких частотах имеет комплексное сопротивление из-за влияния паразитных параметров. В качестве калиброванного двухполюсника Zк также может быть использован резистор, комплексное сопротивление которого должно быть определено на заданной частоте при помощи, например, высокочастотного моста.

Оптимальный режим измерительной схемы соответствует условиям

Zr Zk , Z =(0,6-1,5) Zk . (П2.2)

При применении двухполюсника Zk , от калиброванного с точностью не менее 0.5% и изменении отношения модулей ре-

не менее 1% и разности фаз этих напряжений с точностью 1-2 градуса, достигается точность измерения модуля полного сопротивления не хуже, чем 1-2 % и его фазы с точностью не менее одного градуса. Такие условия могут быть достигнуты при регистрации комплексных напряжений с помощью измерителя разности фаз типа ФК2-12.

Настоящая методика измерения разработана и апробирована на кафедре РЭУС Воронежского государственного технического университета в процессе выполнения хоздоговорных и госбюджетных научно-исследовательских работ и защищена авторским свидетельством [6,7].

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Случайная величина - величина определённой физической размерности, принимающая в результате эксперимента то или иное числовое значение, которое в принципе нельзя предсказать из условий эксперимента.

Закон распределения вероятностей случайной величины - способ количественного определения вероятностей попадания случайной величины в произвольные части области определения её возможных значений.

Генеральная совокупность - совокупность всех мыслимых результатов наблюдений над случайной величиной, которые могут быть в принципе проведены при данных условиях, которая отражает некоторые вполне определённые свойства неслучайных закономерностей, вполне присущих данной совокупности.

Выборка - конечный набор значений случайной величины, получаемый в ходе наблюдений.

Объём выборки - число элементов выборки. Репрезентативная выборка - выборка, которая достаточно

полно характеризует генеральную совокупность. Статистика - какая-либо функция от элементов выборки. Статистическая оценка параметра случайной величины -

фиксированная статистика, подходящая для оценивания того или иного параметра генеральной совокупности.

Состоятельная оценка - оценка параметра, которая при неограниченном увеличении объёма выборки стремиться к своему теоретическому значению.

Числовые характеристики случайной величины - неслучайные величины, которые характеризуют закономерности, присущие данной генеральной совокупности.

Математическое ожидание случайной величины - среднее значение переменной генеральной совокупности.

Оценка математического ожидания - среднее значение случайной переменной для выборки.

Дисперсия - основная числовая характеристика колеблемости случайной переменной ( рассеивание вокруг среднего значения ). Дисперсия генеральной совокупности есть математическое ожидание квадрата отклонений значений элементов генеральной совокупности от математического ожидания.

Оценка дисперсии - среднеквадратичное значение выбор-

ки.

Стандартное отклонение - величина, равная корню квадратному от дисперсии.

Вариационный ряд - упорядоченные в возрастающем порядке результаты наблюдений случайной величины.

Интегральная функция распределения - функция, отражающая закон распределения и показывающая, какая часть статистической совокупности лежит левее конкретного значения случайной величины.

Диаграмма накопленных частностей - интегральная функция распределения, характеризующая дискретную случайную величину ( как правило, выборку).

Дифференциальная функция распределения (функция плотности распределения ) - функция, выражающая закон распределения и представляющая собой отображение крутизны интегральной функции распределения.

Гистограмма - эмпирическая функция плотности вероятности, характеризующая свойства выборки.

2 - распределение - выборочное распределение оценки дисперсии.

t-распределение Стьюдента - распределение выборочного среднего в случае неизвестной дисперсии.

F-распределение - распределение отношения двух выборочных дисперсий.

Уровень значимости - вероятность ухода оцениваемого параметра за границы доверительного интервала.

Статистическая гипотеза - определённое предложение относительно свойств генеральной совокупности, из которой извлекается выборка.

Критерий статистической гипотезы - правило, позволяющее отвергнуть или принять данную гипотезу на основании выборки.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Назначение статистических методов анализа заключается в том, чтобы по выборке случайной переменной Х={x1, x2,...,хi, хn}, где xi- элемент выборки, N - её объём, высказать обоснованное суждение о свойствах генеральной совокупности этой случайной переменной, содержащей бесконечно большое количество элементов.

Полное количественное описание статистических свойств случайной величины производится посредством законов распределения вероятностей, которыми служат функции распределения случайной величины.

Интегральной функцией распределения случайной величины F(x) называется функция F(x)=P{X<x}, показывающая зависимость вероятностей того, что случайная величина Х не превышает некоторый уровень х.

На практике часто используют дифференциальную форму закона распределения, как более наглядную. Дифференциальная функция распределения, или функция плотности вероятности случайной величины, (х)- это производная от интегральной функции распределения

d

(x) F(x) . (П4.1) dx

Функция всегда положительна, стремится к нулю при

х , площадь под кривой (х), т.е. (x)dx ,равна едини-

це.

Для вычисления вероятности нахождения случайной

величины внутри любой части из области её возможных значений нужно воспользоваться формулой

где(хi - xj) - интервал, внутри которого определяют вероятность нахождения случайной величины x.

Если известна функция F(x), то аналогичные вычисления можно выполнить по формуле

Формулу (П4.3) используют для определения вероятностей нормального закона распределения при использовании табулированных значений функции F(x).

Для построения эмпирического графика функции (х) - гистограммы - строят ряд распределений эмпирических вероятностей (вариационный статистический ряд), в котором границы возможных значений функции (х) определяет интервал, ограниченный максимальным xmax и минимальным xmin значениями случайной величины в выборке. Этот интервал разбивают на k частей, ширину каждой части определяют по формуле

Количество интервалов k рассчитывают приближённо по формуле

округляя результат до ближайшего целого.

Вероятность Р*j попадания случайной величины в ин-

тервал (хj+1 - xj) равна относительной частоте j, которую определяют по формуле

где Nj - количество дискретных значений случайной величины, попадающих в данный интервал;

N - объём выборки.

При неограниченном объёме выборки N эмпирическая вероятность стремиться к теоретической, т.е. справедливо

Для интерполяции гистограммы теоретическим законом распределения используют выборочные оценки математического ожидания и дисперсии. Оценкой математического ожидания служит среднее значение случайной величины, которое рассчитывается по данным вариационного ряда по формуле

j 1

или по непосредственным данным выборки

где X - выборочное среднее значение случайной величины, являющееся оценкой её математического ожидания; хj - компонента вариационного ряда; j - относительная частота для j-го интервала; k - количество членов вариационного ряда (количество интервалов гистограммы); N - объём выборки; xi - i-я компонента выборки.

При неограниченном возрастании объёма выборки N

оценка X стремится к математическому ожиданию случайной величины, т.е.

S2{x} является математическое ожидание квадрата отклонений этой величины от центра её распределения, которое при известном математическом ожидании по данным вариационного ряда рассчитывают по формуле

N 1

При неограниченном возрастании объёма выборки N оценка S2{x} стремится к дисперсии 2{x}, т.е. справедливо

ратичным или стандартным отклонением.

Математическое ожидание М{x} и дисперсия 2{x} являются наиболее употребительными числовыми характеристиками случайной величины. Они полностью определяют одну из наиболее важных функций распределения, а именно нормальное распределение. Однако и для других распределений эти характеристики дают возможность в первом приближении оценить характер функции распределения и указывают центр рассеяния случайной величины и степень рассеяния.

Если необходимо определить наличие статистической связи между двумя случайными величинами X и Y, то для этого используют коэффициент взаимной корреляции. Оценка коэффициента корреляции r{x,y}, которая также является случайной величиной и зависит от объёма выборки N, рассчитывается по формуле

Оценки X и S2 являются случайными величинами. При нормальном законе распределения случайной величины законы распределения этих оценок отвечают определённым функциям - статистикам, которые используют для проверки статистических гипотез. Параметры функций статистик зависят от объёма выборки N.

Статистика оценки X при известном значении параметра2{x} отвечает нормальному закону распределения с дисперсией

Если дисперсия 2{x} не известна, то статистика X отвечает t- распределение Стьюдента с = N -1 степенями свободы.

Для проверки статистических гипотез используют нор-

мированные значения оценок 2{x} и 2{ X }

Нормированная дисперсия 2{x} оценка S2{x} отвечает2 - распределению с =N степенями свободы при известном значении параметра М{x} и =N-1степенями свободы при неизвестном параметре М{x}. Для проверки статистических гипотез о дисперсии случайной величины используют статистики

N S 2 x

g 2 x , (П4.20)

если М{x} известно, и

(N 1)S 2 x

если М{x} неизвестно.

Точное распределение выборочного коэффициента корреляции весьма сложно. При проверке значимости этого коэффициента на практике удобно пользоваться специальными таблицами, в которых приведены его критические значения в зависимости от объёма выборки N.

Определяющее практическое значение имеет проверка статистических гипотез, другими словами, определённых предложений относительно свойств генеральной совокупности, из которой извлекается выборка.

Статистические гипотезы проверяются по правиламкритериям, которые позволяют отвергнуть или принять данную гипотезу на основании выборки. При построении такого правила используют функции-статистики результатов наблюдений, значениякоторыхвычисляют по формулам (П2.1–П2.2

и П4.1–П4.7).

Все возможные значения функций-статистик для проверки той или иной гипотезы делятся на две части: область принятия гипотезы и критическую область. Критическая область состоит из всех значений статистики, при которых принимается решение отвергнуть проверяемую гипотезу как ложную. Проверка гипотезы сводится к выяснению, попадает или нет значение используемой статистики в критическую область: если нет, гипотеза принимается как не противоречащая результатам наблюдений, если да, гипотеза отвергается. Так как эти решения базируются на статистиках, найденных по выборкам ограниченного объёма, то при выборке решения всегда возможны ошибки (см. таблицу ).

Вероятность совершить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть правильную гипотезу, называется уровнем значимости критерия и обозначается буквой q. Вероятность ошибки второго рода, т.е. вероятность принять неверную гипотезу, обозначается буквой .

Типы ошибок при проверке статистических гипотез

На практике наиболее часто используют уровень значимости q = 0.05. При любом постоянном объёме выборки N вероятность совершить ошибку первого рода можно снизить, уменьшая уровень значимости q, однако при этом возрастает вероятность допустить ошибку второго рода.

Наиболее употребительные критерии для проверки различных гипотез, касающихся значений математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции, разработаны в предложении, что выполняются следующие условия:

-выборки являются случайными, с независимыми наблюдениями;

-исследуемые совокупности имеют нормальное распределение.

Поэтому первым эталоном проведения статистического анализа является проверка закона распределения исследуемой случайной величины на соответствие нормальному закону распределения. Если закон распределения можно считать нормальным, то проверка статистических гипотез сводится к выполнению следующих этапов:

-выдвижение нулевой гипотезы Н0;

-определение альтернативной гипотезы Н1;

-выбор подходящей статистики g для проверки гипотез;

-установление критической области для проверки гипотезы Н0 с учётом альтернативной гипотезы Н1 и уровня значимости q;

-вычисление значения статистики g и принятия решения: если статистика попала в область принятия гипотезы Н0, то гипотеза Н0 считается справедливой; если же статистика оказалась в критической области, то гипотеза Н0 отвергается.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Ответственным этапом является проверка гипотезы о соответствии закона распределения нормальному. Для качественного анализа и наглядности полезно построить графики гистограммы и отвечающего параметрам выборки нормального закона распределения. Для построения гистограммы используют формулы (П4.4)-(П4.6). По оси абсцисс (рис.П5.1), соответствующей значениям случайной величины, откладывают границы каждого из К интервалов и для каждого интервала строят прямоугольники с высотой, равной эмпирической вероятности P*j. Теоретические вероятности Pj, необходимые для построения графика аппроксимирующего нормального закона распределения, рассчитывают по формуле (П5.1), приняв в качестве функции (х)

_

функцию нормального распределения M x Xи {x}= S{x}

Количественно гипотеза о соответствии закона распределения случайной величины нормальному закону распределения проверяется несколькими способами. Одним из наиболее эффективных является способ на основании 2- критерия, расчётное значение которого вычисляется по формуле

1

2

Рис. П5.1. Гистограмма (1) и график нормального распределения (2)

Для проверки гипотезы необходимо сравнить расчётное значение 2рас с его критическим значением 2кр, которое находится из таблицы 2-распределения для = k - 2 числа степеней свободы при вероятности = q. Если 2рас < 2кр, следовательно, этот критерий не противоречит гипотезе о нормальности распределения. Если закон распределения нормальный, то представляется возможным эффективно использовать оценки

_

X и S{x} для проверки гипотез о равенстве выборочного среднего математическому ожиданию, о равенстве оценки S{x} стандартному отклонению, о значимости выборочного коэффициента корреляции. Проведение анализа зависит от характера альтернативной гипотезы Н1, противопоставляемой нулевой гипотезе Н0. Если нулевой гипотезе Н0: = 0 противопоставляется альтернативная гипотеза Н1: 0, где - значение оцениваемого параметра, а 0 - его значение в генеральной совокупности, то критерий для проверки Н0 носит название двустороннего, а его критическая область состоит из двух частей (рис. П5.2). Как правило, границы критической области выбираются таким образом, чтобы вероятность попадания в левую и правую части критической области была бы одинакова ( =q/2).

Если же при нулевой гипотезе Н0: = 0 альтернативная гипотеза Н1 формулируется как Н1: > 0 или Н1: < 0, то со-

ответствующие критерии называются односторонними и их критические области содержат всего одну зону (рис. П 3).

Рис. П5.2. Области принятия гипотезы (1) и критическая область (2) для двустороннего критерия

Рис. П5.3. Область принятия гипотезы (1) и критическая область (2) для одностороннего критерия: а- Н1:

< 0, б- Н1: > 0