Методическое пособие 106

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2Ф(x) 1( ) -

коэффициент доверительной вероятности;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

404.76 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Уровень значимости q 1 – целесообразно выбираемый

критерий проверки доверительной вероятности, позволяющий судить об оценке статистических параметров; обычно берется уровень значимости

q 0,05 или		q 0,01.
Величина			называется доверительной		вероятностью		если
выполняется соотношение				~
			~				(1.12)
где a			P(a 1	a a 2 ) ,	a -
	- точное значение некоторого параметра;					оценка параметра;
1 , 2	- наперед		заданная	величина ошибки	для	левого и	правого

интервалов, определяемая доверительной вероятностью .

Доверительный интервал ~ 1 ~ 2 определяет область

I (a ;a )

возможных значений несмещенной оценки a для данного параметра a . Если закон распределения симметричный (как закон Гаусса или

распределение Стьюдента), то доверительный интервал берется симметричным относительно математического ожидания.

Обычно доверительная вероятность задается, а доверительный

интервал вычисляется.
Например:	при доверительной вероятности 0,8 ,	уровень
значимости q (1 0,8) 0,2 .
Пусть для	измеряемого параметра x ( n 20 30 )	получена

несмещенная оценка m~x . Для того, чтобы оценить возможную ошибку необходимо назначить доверительную вероятность (например,=0,8, 0,9, 0,95, или 0,99) такую, при которой случайное событие можно считать практически достоверным. Найдем такое значение , для

которого выполняется условие
P	~	xi	.				(1.13)

	mx
Тогда диапазон практически					возможных значений ошибки,
				~
возникающей при замене x на mx , будет .
Перепишем (1.13) в виде
~		~		.			(1.14)
P mx		x mx
Равенство		(1.14) означает, что неизвестное				значение	параметра x
будет накрыто		интервалом		~	~	с	доверительной
				I mx ;mx

вероятностью .

Границы интервала I : m~x x1 и m~x x2 называются

доверительными границами.

При использовании метода доверительных интервалов необходимо иметь в виду два случая:

точность измерения известна ( x задана);

точность измерения неизвестна.

Ив том и другом случае попадание истинного значения x в

доверительный интервал гарантируется с заданной	доверительной
вероятностью

P m~x x m~x ,

где m~x - среднеарифметическое значение величины x , полученное при обработке экспериментальных данных; - положительная величина

ошибки, определяемая доверительной вероятностью.

Таким образом, определение границ доверительного интервала в обоих случаях сводится к вычислению

			tкр ~x .
			n
Тогда выражение для доверительного интервала примет следующий
вид	~x			~x
~			~		) ,	(1.15)
I (mx tкр	n	; mx tкр		n

где tкр - коэффициент доверительной вероятности.
Доверительный интервал для математического ожидания.						Когда

точность измерения x известна, доверительную оценку математического

ожидания можно представить через функцию Лапласа, предположив, что ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения, которое описывает поведение случайных величин при бесконечно большом числе наблюдений. В этом случае вероятность ошибки (13)

P m~x xi можно записать через функцию Лапласа

Ф(x)(

~x 2) ,

(1.16)

где ~x x n ; n - количество измерений; Ф(x) - функция Лапласа (приложение, табл. 4).

Разрешив уравнение (16) относительно , получим

Ф(x) 1( ) - обратная функция Лапласа, т.е. такое значение аргумента, для которого функция Лапласа равна .

Таким образом, получим значение доверительной вероятности для

математического ожидания

mx x

(1.18)

Границы

доверительного

интервала

при

заданной

доверительной

вероятности

определяются

соотношениями

xн mx t n

xв mx t

n .

Коэффициент доверительной вероятности t

по Лапласу для n

определяется в зависимости от по таблице 1.3.

Таблица 1.3

0,8

0,85

0,9

0,95

0,98

0,99

1,282

1,439

1,643

1,960

2,325

2,576

В том случае, когда точность измерения неизвестна, для определения доверительного интервала используют распределение Стьюдента ( t - распределение), которое обеспечивает возможность определения доверительных интервалов при ограниченном числе измерений.

Коэффициент доверительной вероятности t		Стьюдента для степени
свободы r n 1 определяется по	таблице (приложение,		табл.1) в
зависимости от уровня значимости	критерия	проверки	q 1 .

Доверительны интервал для математического ожидания (1.19) будет интервалом, соответствующим доверительной вероятности .

) .

(1.19)

; m

, m

Доверительный

интервал

для дисперсии

. В случае

использования для обработки данных вариационного ряда применяют хиквадрат 2 распределение (критерий Пирсона)

2 k ni npi 2 (1.20)

1npi

счислом степеней свободы r k 1 s , где k - число интервалов; s -

число неизвестных параметров закона распределения (для нормального

s 2 , для экспоненциального

s 1, для Вейсбула-Гнеденко

s 3).

Поэтому для нормального распределения число степеней свободы r k 1. n - число независимых переменных, разбитых на k интервалов;

n - количество результатов в i - ом интервале;	p* n n - наблюдаемая
i	i	i

частота попаданий измерений в каждый интервал; pi - теоретическая

вероятность попадания.

Построение доверительного интервала для дисперсии основано на том, что вероятность выхода случайной величины за пределы интервала

	(n 1) ~2		(n 1) ~2
I , ~	x	,		x	(1.21)
I , ~	2	,		2	(1.21)
	2			1
вправо и влево были одинаковы и равны q 1 .
Чтобы построить интервал I				с такими свойствами, необходимо по

таблице 2 приложения найти соответствующие два значения критерия Пирсона 2 : одно 12 , отвечающее вероятности P1 q ; второе 22 – вероятности P2 1 q . Далее по формуле (1.21) вычисляются левая и

правая границы доверительного интервала для ~x2 , соответствующего

доверительной вероятности .

Пример 1. Произведено 10 независимых измерений нормально распределенной случайной величины, характеризующей в мм отклонение расстояния между форсунками смесительной головки ЖРД от требуемого по техническим условиям. Необходимо: 1) построить статистический ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии; 2) построить соответствующие доверительные интервалы для математического ожиданииидисперсиипри 0,95 .

Результаты опытов представлены в виде простого статистического ряда (таб. 1.3).

Таблица 1.3

i		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi		2,5	-0,2	-2,3	-1,25	-1,1	0,4	1,2	-2,5	0,5	-0,7
	Еслирасположитьрезультатыопытов последовательно от xmin до xmax

то простой статистический ряд примет вид представленный в таблице 1.4.

								6			Таблица 1.4
i	1	2		3		4	5	6	7	8	9	10
xi	-2,5	-2,3		-1,25		-1,1	-0,7	-0,2	0,4	0,5	1,2	2,5
	Преобразуем		выборку			в интервальную			форму статистического
(вариационного) ряда по формулам (1.7),(1.8). Здесь:
				k 1 3,2 lg10 1 3,2 4 ;
		x			xmax xmin		2,5 ( 2,5) 1,25 .
		x					2,5 ( 2,5) 1,25 .
			4					4

Найдем ni - число попаданий случайной величины в каждый разряд.

Последовательным просмотром всех численных значений отнесем каждое измерение к конкретному интервалу и подсчитаем количество измерений,

приходящихся на каждый интервал. Для значений xi попадающих на границы интервалов к ni и ni 1 прибавляем по 0,5. Далее разделим ni на

общее число измерений

n и определим частоты попадания измерений в

каждый

интервал

p . Вычислим также по

формуле

среднее

значение

xi 1

каждого

интервала. Результаты вычислений

сведем в

таблицу 1.4, и построим гистограмму (рис.1.3).

Таблица1.5

-2,5; -1,25

-1,25; 0

0; 1,25

1,25; 2,5

2,5

3,5

pi ni n

0,25

0,35

0,3

0,1

pi* i

0,2

0,28

0,24

0,08

-1,875

-0,625

0,625

1,875

Вычислим

по формулам (1.10) и (1.11):

mx и x

; x

xi xi 1

;

)

i 1

n 1i 1

m~x 1,875 0,25 ( 0,625) 0,35 0,625 0,3 1,875 0,10,469 0,219 0,188 0,188 0,312.

~x2 10101 ( 1,563)2 0,25 ( 0,313)2 0,35 (0,878)2 0,3 (4,783)2 0,1

109 0,611 0,034 0,263 0,478 1,54.

Тогда ~x

1,54 1,24 .

Рис. 1.3. Гистограмма

	~
Построим доверительный интервал для mx .
Для 0,95 ,	q 1 0,95 0,05 ,	r n 1 10 1 9 по

таблице 1 приложения найдем коэффициент Стьюдента tкр 2,262 . По формуле (1.13) вычислим допустимую ошибку

tкр	~x	2,262	1,24	0,888 .
	n		10
	~
Доверительный интервал для mx будет

I~ 0,312 0,888; 0,312 0,888 1,2; 0,536 . ;

xн 1,2 ; xв 0,536 . P 1,2 x 0,536 0,95 .

Построим доверительный интервал для ~x2 .

	Вычислим вероятности										P1 и P2
	P1 1 q 1 0,05 0,95 ;														P2 q 0,05 0,05 .
	По таблице 2 приложения, для полученных P , P и																				r n 1 9 ,
																			1	2
найдем критерии Пирса 2									2,53 и								2	19,68 .
							1										2
	Вычислим			левую			и		правую							границы			доверительного интервала
		(n 1) ~2					(n	1)					~2
I	~ 2				x	,								x			:
I	~ 2		2			,					2						:
	,		2								2
			2							1
левая граница -				(n 1) ~x2								(10 1) 1,54							0,70 ,
левая граница -																			0,70 ,
					2								19,68
			2
правая граница -					(n 1) ~x2									(10 1) 1,54					5,48 .
правая граница -															2,53				5,48 .
						2									2,53
			1
	Доверительный интервал для дисперсии
							I , 2							(0,70; 5,48) .
Ответ:			~										;						~2	1,54	;
Ответ:				mx 0,312									;				I		x	1,54	;
			I ,m 1,2;0,536 ;														I	~ 2 (0,70; 5,48) .
			~															,
																		,

Задание к лабораторной работе №1

Произведено n независимых измерений над нормально

распределенной случайной величиной X , характеризующей процент выхода бракованных форсунок с технологической линии. Результаты опытов сведены в таблицы 1.6 - 1.15.

Необходимо, используя данные варианта задания:

1)Преобразовать простой статистический ряд в вариационный и построить гистограмму случайного процесса;

2)Найти математическое ожидания m~x и дисперсию ~x2 для

оценки статистического ряда.

3) Построить соответствующие доверительные интервалы для математического ожидания m~x и дисперсии ~x2 с заданной доверительной вероятностью .

Порядок выполнения работы

1. Преобразовать простой статистический ряд в форму вариационного ряда и построить гистограмму:

- вычислить количество интервалов k и длину разрядов ; - определить количество попаданий в интервалы ni ;

- вычислить наблюдаемую частоту попаданий pi ;

- оформить статистический ряд в виде таблицы; - построить гистограмму.

xидисперсии ~x2 .

3.Построить доверительный интервал для m~x с заданной~2. Найтиоценкидляматематическогоожидания m

доверительной вероятностью :

- найти r и по заданному вычислить q ;

- по таблице 1 приложения найти критерий Стьюдента tкр ;

- построить доверительный интервал I ~ .

4. Построить доверительный интервал для ~x2 ; - по значению q вычислить вероятности P1 и P2 ;

- по таблице 2 приложения найти критерии Пирса 12 , 22 ;

-построить доверительный интервал I , ~2 .

5.Сделать выводы, оформить работу.

Контрольные вопросы

1)Простой статистический ряд.

2)Математическое ожидание.

3)Дисперсия.

4)Гистограмма.

5)Функция Лапласа.

6)Закон нормального распределения.

7)Доверительная вероятность.

8)Доверительный интервал.

Таблицы №№ 1.6 -1.15 вариантов задания для выполнения лабораторной работы №1

Таблица №		Таблица№		Таблица№		Таблица№		Таблица№
	1.6		1.7		1.8		1.9		1.10
0,95		0,9		0,8		0,95		0,98

i	xi	i	xi	i	xi	i	xi	i		xi
1	2,201	1	10,95	1	4,77	1	7,49	1		7,89
2	3,19	2	8,23	2	3,75	2	5,56	2		7,52
3	1,99	3	12,88	3	3,79	3	5,80	3		6,29
4	2,03	4	10,47	4	6,39	4	5,87	4		7,86
5	3,04	5	11,47	5	5,98	5	5,39	5		5,84
6	0,19	6	11,68	6	4,23	6	4,34	6		8,88
7	3,16	7	11,18	7	4,40	7	5,25	7		7,44
8	1,33	8	10,00	8	5,00	8	7,161	8		7,22
9	0,42	9	9,42	9	5,212	9	7,22	9		7,25
10	2,58	10	10,86	10	3,54	10	5,3	10		8,22
11	3,88	11	9,44	11	5,41	11	8,20	11		6,47
12	2,73	12	10,81	12	5,12	12	6,83	12		7,67
13	2,59	13	9,73	13	4,94	13	6,90	13		6,89
14	1,08	14	11,08	14	4,49	14	6,51	14		8,52
15	2,09	15	11,06	15	4,84	15	5,29	15		6,69
16	3,5	16	10,99	16	3,77	16	6,86	16		8,72
17	0,9	17	9,9	17	5,25	17	4,84	17		6,58
18	2,28	18	10,54	18	5,14	18	7,88	18		6.57
19	2,14	19	8,65	19	6,49	19	6,34	19		7,65
20	1,72	20	9,56	20	4,56	20	5,08	20		6,95

						Продолжение таблицы №№ 1.6 -1.15

Таблица		Таблица			Таблица		Таблица		Таблица
№1.11			№1.12		№1.13		№1.14		№1.15
0,95		0,99			0,9		0,8		0,99

i	xi	i		xi	i	xi	i	xi	i	xi
1	7,89	1		8.14	1	2.55	1	10.00	1	14.04

2	9,52	2		8.73	2	3.54	2	9.41	2	14.92

3	7,88	3		9.61	3	2.21	3	10.86	3	15.83

4	9,72	4		9.21	4	4.4	4	9.44	4	15.43

5	7,57	5		7.34	5	4.57	5	10.81	5	14.27

6	7,57	6		9.88	6	3.06	6	9.73	6	15.42

7	8,65	7		9.14	7	1.8	7	11.08	7	14.73

8	6,87	8		10.11	8	1.45	8	11.16	8	13.75

9	7,92	9		10.05	9	3.71	9	10.99	9	13.79

10	8,07	10		9.08	10	2.22	10	9.90	10	16.39

11	5,86	11		8.48	11	2.55	11	10.54	11	15.98

12	7,50	12		9.12	12	1.31	12	10.10	12	15.89

13	8,83	13		8.54	13	4.49	13	8.65	13	15.51

14	8,08	14		9.54	14	2.26	14	9.56	14	14.28

15	8,56	15		8.21	15	3.42	15	9.44	15	15.86

16	7,25	16		10.41	16	1.9	16	9.49	16	13.84

17	8,61	17		10.57	17	2.61	17	8.81	17	16.88

18	7,77	18		9.06	18	3.28	18	6.72	18	15.43

19	8,59	19		7.73	19	4.23	19	10.43	19	15.21
							20	11,35
20	7,04	20		10,85	20	4.22	20	11,35	20	15.25

1.2. Лабораторная работа 2. Выравнивание статистических рядов

Цель лабораторной работы - для заданного объема статистического

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022400.76 Кб4Методическое пособие 101.pdf
#
30.04.2022401.16 Кб3Методическое пособие 102.pdf
#
30.04.2022402.96 Кб19Методическое пособие 103.pdf
#
30.04.2022403.01 Кб3Методическое пособие 104.pdf
#
30.04.2022404.07 Кб4Методическое пособие 105.pdf
#
30.04.2022404.76 Кб8Методическое пособие 106.pdf
#
30.04.2022405.4 Кб4Методическое пособие 107.pdf
#
30.04.2022405.84 Кб2Методическое пособие 108.pdf
#
30.04.2022406.66 Кб3Методическое пособие 109.pdf
#
30.04.2022429.06 Кб3Методическое пособие 11.doc
#
30.04.2022202.6 Кб2Методическое пособие 11.pdf