11_Vraschatelnoe_dvizhenie_tvyordogo_tela_Moment_impulsa_moment_sily_zakon_sokhranenia_momenta_impulsa

Вращательное движение твёрдого тела. Момент импульса, момент силы, закон сохранения момента импульса.

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела: φ = φ(t).

Если φ измерять в радианах, то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка за время Δt, равна: ΔS = Δφr.

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ.

Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. В скалярном виде выглядит так: ω = dφ/dt.

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле ω = φ/t.

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости [ω] = 1 рад/с.

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π, то: ω = 2π/T.

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна: ν = 1/T.

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины: ω = 2πν.

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε, характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения: ε = dω/dt.

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0, вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0, то векторы ε и ω противоположно направлены.

Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением ΔS = Δφ r.

Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение будет: υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом: a = υ^2/r = ω^2*r^2/r.

В скалярном виде a = (ω^2)*r.

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение a = ε r.

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой mi на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (Li) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через ri и υi, и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора ri к υi правый винт покажет направление вектора Li).

В скалярной форме: L = mi*υi*ri*sin(υi,ri).

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные, то sin(υi,ri) = 1.

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид: L = mi*υi*ri.

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме: Mi = ri*Fi*sin(ri, Fi).

Считая, что ri*sinα = li, то Mi = liFi.

Величина li, равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы Fi.

Уравнение динамики вращательного движения записывается так: M = dL/dt.

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой L = mi*υi*ri.

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую: υi = ωri, то выражение для момента импульса примет вид Li = mi*(ri^2)*ω.

Величина Ii = mi*(ri^2) называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем: Li = Iiω.

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело: L = Iω.

Закон вращательного движения гласит: M = dL/dt.

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции: L = Iω.

Тогда: M = Idω/dt.

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением ε = dω/dt, получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции: M = Iε.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих.

З ако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) —векторная сумма всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел, которая остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем: