ИФПМ (ПРИТ) / Учебник

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце ка-

ждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый столбец и ка-

ждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.

4.n , , где n – некоторое фиксированное натуральное число.

5.1,1 , .

6., , где – множество положительных действительных чисел.

7., , где – множество положительных рациональных чисел.

8.Множество степеней данного натурального числа бóльшего единицы с целыми

показателями относительно умножения.

9. Множество всех комплексных корней из единицы фиксированной степени n от-

носительно умножения.

10.Множество всех комплексных корней из единицы всех степеней относительно операции умножения.

11.Множество всех комплексных чисел с модулем 1 относительно умножения.

12.Функции y1 x, y2 1x , y3 x, y4 1x с операцией «суперпозиция функций».

21

перпозиция функций».

14.Сколько элементов содержит группа движений правильного n -угольника?

15.Составьте таблицу умножений для группы D4 движений квадрата.

16.Составьте таблицу умножений для группы движений прямоугольника, не яв-

ляющегося квадратом.

17.Составьте таблицу умножений для группы движений ромба, не являющегося квадратом.

18.Составьте таблицу умножений для группы движений правильного пятиуголь-

ника.

19. Составьте таблицу умножений для группы кватернионов Q8 .

1.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп

Предложение доказано.

22

Определение 3. Пусть G – группа с единицей e, g G . Наименьшее натураль-

ное n , для которого g n e , называется порядком элемента g и обозначается o(g) . Если

такого n не существует, то считается, что o(g) .

Пример 1. Покажем, что D3 S3 . Каждому преобразованию группы D3 можно со-

поставить перестановку вершин треугольника ABC . Действительно, занумеруем верши-

ны: A – 1, B – 2, C – 3. Тогда отображение D3 S3 , при котором

является изоморфизмом.

Пример 2. Отображение f : n , при котором каждому целому k ставится

17 7 ( 3) 4 .

Пример 3. Пусть \{0} – группа всех действительных чисел отличных от нуля с обычной операцией умножения.

f : GL(n, ) \{0}

сопоставляет каждой матрице еѐ определитель. Тогда f – гомоморфизм групп, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей. Гомомор-

физм f не является изоморфизмом, так как разные матрицы могут иметь одинаковые оп-

ределители.

23

Пример 4. Пусть – группа всех действительных чисел с операцией сложения, а

– группа всех положительных действительных чисел с операцией умножения. Гомо-

морфизм

f :

определѐн формулой f (x) ex . Это действительно гомоморфизм, так как f (x y) e y ex ey f (x) f ( y) .

Более того, этот гомоморфизм является изоморфизмом.

Определение 3. Пусть G – группа. Нетрудно убедиться, что множество всех изоморфизмов f : G G также образует группу, которая называется группой автомор-

физмов группы G и обозначается Aut G .

Пример 5. Найдѐм группу Aut 6 . Заметим, что в группе 6 каждый элемент k

является суммой k 1 1 ... 1 нескольких единиц. Поэтому, чтобы задать гомоморфизм

f : 6 6 , достаточно задать f (1) . Действительно, если f (1) a , то f (2) f (1 1) a a 2a и т.д. Чтобы гомоморфизм был взаимно однозначным отображе-

нием, f (1) может равняться либо 1 , либо 5 . Обозначим первый гомоморфизм f1 , а вто-

рой – f5 . Тогда f52 f1 . Поэтому Aut 6 2 .

ция , где a b – дробная часть числа a b . Докажите, что множество 0, 1 с операцией

является группой, изоморфной группе окружности T .

3.Докажите, что следующие группы попарно изоморфны: а) S3 ;

б) D3 ;

ножения матриц, причѐм сложение осуществляется по модулю 2 (1 1 0) ;

24

1.5. Подгруппы. Теорема Кэли. Смежные классы. Теорема Лагранжа

Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если вы-

полнены следующие условия:

1)e H ;

2)h1, h2 H h1 h2 H ;

3)h H h 1 H .

Пример 1. Целые числа, делящиеся на фиксированное натуральное число n , об-

разуют подгруппу n в группе .

Пример 2. Следующие множества чисел с обычной операцией сложения образу-

ют цепочку подгрупп

.

Пример 3. В группе GL(n, ) имеется подгруппа SL(n, ) , состоящая из матриц с определителем, равным 1.

Пример 4. Если число n не является простым и k – нетривиальный делитель числа n (1 k n) , то k n – нетривиальная подгруппа в n . (Тривиальными подгруппами в любой группе называются единичная подгруппа и вся группа.)

25

Пример 5. В группе D3 всех движений треугольника нетривиальными подгруп-

пами являются

H1 e, , 2 , H2 e, a , H3 e,b , H4 e,c .

Пример 6. В группе Dn движений правильного n -угольника имеется подгруппа вращений Cn . При любом n Cn n .

Определение 2. Если H – подгруппа группы G и g G , то множество gH gh h H

называется левым смежным классом группы G по подгруппе H . Соответствен-

но, множество Hg называется правым смежным классом.

Пример 7. Найдѐм левые и правые смежные классы группы D3 по подгруппе

H2 e, a . Левые смежные классы:

H2 e, a , H2 ,b , 2H2 2 ,c .

Правые смежные классы:

H2 e, a , H2 ,c , H2 2 2 ,b .

Левые и правые смежные классы группы D3 по подгруппе H1 e, , 2 совпадают:

e, , 2 и a,b,c .

Каждое разбиение группы G на левые (правые) смежные классы по любой под-

группе H задаѐт некоторое отношение эквивалентности.

Определение 3. Число элементов конечной группы G будем называть еѐ поряд-

a1,..., an будем называть системой образующих группы G . Систему a1,..., an будем на-

зывать минимальной системой образующих группы G , если после удаления любого эле-

мента оставшееся множество уже не будет являться системой образующих для G .

Группу G будем называть циклической, если найдѐтся элемент g G такой, что g G .

Например, в группе D3 множество a, будет минимальной системой образую-

щих. Так как группа D3 не коммутативна, она не может быть циклической. Циклической будет, например, группа вычетов по любому модулю n , поскольку она порождается эле-

ментом 1 .

26

Теорема (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G – конечная группа, H – подгруппа. Рассмотрим раз-

биение группы G на левые смежные классы по подгруппе H . Отметим, что всегда g gH

g gh . Разные элементы при этом отображении переходят в разные. Действительно, если

гомоморфизм определяется образом элемента 1 , поскольку o(1) 6 , то порядок элемента

f (1) должен быть делителем числа 6. Однако f (1) 15 , поэтому порядок элемента f (1)

должен быть делителем числа 15. Значит, порядок элемента f (1) должен быть делителем числа 3. Таких элементов в группе 15 три. Это 5, 10 и 0 . Поэтому существуют три гомо-

морфизма из группы 6 в группу 15 , для которых f1(1) 5 , f2 (1) 10 и f3 (1) 0 .

Задачи

1. Найдите все подгруппы группы D4 движений квадрата. Найдите порядки всех элементов этой группы.

2. Найдите все подгруппы группы движений прямоугольника, не являющегося квад-

ратом. Найдите порядки всех элементов этой группы.

27

3. Найдите все подгруппы группы движений ромба, не являющегося квадратом.

Найдите порядки всех элементов этой группы.

4.Найдите все подгруппы группы движений правильного пятиугольника. Найдите порядки всех элементов этой группы.

5.Найдите все подгруппы группы кватернионов Q8 . Найдите порядки всех элемен-

тов этой группы.

1.6. Нормальные подгруппы. Фактор-группы

Определение 1. Подгруппа H группы G называется нормальной, если левые и

правые смежные классы по этой подгруппе совпадают, т.е. если

g G gH Hg .

Тот факт, что H – нормальная подгруппа в G , обозначается так: H G .

Пример 1. В группе D3 подгруппа H1 e, , 2 является нормальной. Подгруппы

H2 e, a , H3 e,b , H4 e,c нормальными не являются.

Определение 2. Пусть H – нормальная подгруппа в G . Смежный класс

gH Hg будем обозначать g . Рассмотрим множество G всех смежных классов с би-

нарной операцией.

g h gh .

Это множество образует группу, которую будем называть фактор-группой и обозначать G / H G .

Гомоморфизм f :G G / H , определѐнный формулой f (g) g , будем называть ка-

ноническим.

Предложение 1. Результат бинарной операции, заданной определением 2, не зави-

сит от выбора представителя.

Доказательство. Пусть g1 и h1 – другие представители смежных классов gH и hH . Тогда g1 gh2 , h1 hh3 , g1h1 gh2hh3 . Поскольку Hh hH , то найдѐтся элемент h1 H

такой, что h2h hh4 . Тогда g1h1 ghh4h3 ghH и поэтому g1h1 gh . Предложение доказано.

Пример 2. / T (группа окружности). Отображение явно может быть задано

формулой x e2 xi .

Пример 3. / n n .

Пример 4. S3 / H1 2 .

28

Выясните, что представляет собой фактор-группа G / H , если

5.G 12 , H 3 12 .

6.G Q8 , H 1,1 .

7.G 4 , H 12 .

8.G \ 0 , – группа всех ненулевых действительных чисел с операцией умно-

жения, H ( , ) – группа всех положительных действительных чисел с операцией умно-

жения.

1.7. Циклические группы. Теорема о строении конечных абелевых групп

Теорема 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна ( , ) . Всякая ко-

нечная циклическая группа изоморфна n для подходящего натурального n .

Доказательство. Пусть a – образующий циклической группы G . Если все степе-

ни элемента a различны, то отображение an n осуществляет изоморфизм G и ( , ) .

Допустим теперь, что не все степени различны. Тогда ak am для некоторых целых k m .

В этом случае ak m e . Пусть n – наименьшее натуральное число, при котором an e . То-

гда все степени a, a2 ,..., an 1, an e различны и отображение ak k осуществляет изоморфизм G и n .

Теорема доказана.

29

Примером конечной циклической группы может служить группа Cn вращений правильного n -угольника.

Определение 1. Пусть имеются две группы G1 и G2 . На декартовом произведе-

нии G1 G2 введѐм структуру группы, задав умножение формулой

(g1, g2 ) (h1, h2 ) (g1 h1, g2 h2 ), g1, h1 G1; g2 , h2 G2 .

Легко проверить, что множество G1 G2 с введѐнной таким образом операцией образует группу. Эту группу будем называть прямым произведением групп G1 и G2 . В

случае, когда группы G1 и G2 – абелевы, будем использовать аддитивную запись: G1 G2 .

В этом случае полученную группу будем называть прямой суммой групп G1 и G2 .

Определение 2. Пусть A – абелева группа и p – простое число. Множество

элементов группы A , порядки которых равны степени числа p , образуют подгруппу

группы A , которую мы будем называть p -примарной компонентой или просто примар-

морфна прямой сумме своих примарных компонент:

A A( p1) A( p2 ) ... A( pk ).

Теорема 3. Каждая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме примар-

ных циклических групп. Это разложение однозначно с точностью до перестановки сла-

гаемых.

Пример 1. Рассмотрим группу вычетов A 15 . Тогда n 15 3 5 ,

A(3) 0,5,10 , A(5) 0,3, 6,9,12 . Изоморфизм A(3) A(5) 15 можно задать следующим

образом:

(a,b) a b .

Если n p1 1 ... pk k , то группа вычетов по модулю n раскладывается в прямую

сумму примарных p -компонент следующим образом:

30