OPISIS_LAB1

Основы построения инфокоммуникационных систем и сетей Лабораторная работа №1 «Цифровая модуляция»

1.1.Гауссовский канал, общая задача приема, оптимальные решающие правила

Любая информационная система, в которой данные передаются из одной пространственной точки в другую, может быть представлена следующей абстрактной моделью.

обусловленной искажающим воздействием шумов и помех, присутствующих в любом реальном канале. Классическим вопросом теории радиоприема является следующий: что представляет собой наилучшее правило решения о том, какое из возможных сообщений (или сигналов) было передано, если принято наблюдение y(t) ?

Для ответа на поставленный вопрос необходимо знать модель канала. Математическое

y(t) , канал исчерпывающе описан.

При равной вероятности всех сообщений источника (что, как правило, характерно для разумно спроектированной системы) оптимальной стратегией наблюдателя, обеспечивающей минимальный риск перепутывания действительно переданного сигнала с каким-то другим, является правило максимального правдоподобия (МП). Согласно этому алгоритму по получении колебания y(t) решение принимается в пользу того сигнала, для которого вероятность

трансформации каналом именно в наблюдение y(t) является наибольшей (в сравнении с другими сигналами).

В теории связи наиболее распространенной моделью служит канал с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ), или просто гауссовский канал, в котором переходная вероятность экспоненциально уменьшается с ростом квадрата евклидова расстояния между переданным сигналом и выходным наблюдением:

достоверности двоичной передачи данных является увеличение расстояния между сигналами. При равенстве энергий обоих сигналов

Бинарная фазовая манипуляция (БФМ) практически реализует подобную пару и широко используется в цифровых системах передачи данных.

Вероятность ошибки при передаче двоичных данных посредством БФМ

Pe Q(q) ,

где

энергетически проигрывают противоположным 3 дБ.

Существует еще один, достаточно старый, способ двоичной передачи: бинарная амплитудная манипуляция (БАМ), называемая также амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ) или OOK (on-off keying). В данной схеме символ ‘0’ передается импульсом с энергией E0 E , а символ ‘1’ – паузой, так что

d01 E ,

демонстрирующая, что БАМ требует на 6 дБ большей энергии, чем БФМ, для достижения той же достоверности передачи, когда ограничение наложено на пиковую энергию. На практике чаще ограничение накладывается на среднюю энергию, тогда потери БАМ составляют лишь 3 дБ по сравнению с БФМ, т.е. обладают энергетическим проигрышем, что и у БЧМ.

1.3. Прием двоичных данных

Напомним некоторые основные положения.

1.Каждый сигнал – это бесконечномерный вектор. Каждая его координата – это момент времени.

2.Основной мешающий процесс – это случайные движения носителей заряда (тепловой шум) в приемной аппартуре. Аналогичный шум присутствует и в передающем устройстве, но обычно на фоне полезного сигнала он слишком мало. Напротив, в приемнике, когда полезный сигнал

ослаблен, шум может сильно его исказить. Для описания теплового шума используются модель АБГШ, содержащая в себе его статистические характеристики.

3.При приеме сигнала образуется «облачко» концов векторов конкретных реализаций шума, и чем длиннее вектор – тем меньше шанс его появления.

4.Решение выносится либо по максимуму корреляции («похожести»), либо по минимуму дистанции. Оба способа принятия решения эквивалентны.

5.Реализация вычисления корреляции – активный коррелятор или согласованный фильтр. У каждого способа есть свои положительные и отрицательные стороны.

Общая схема моделирования:

Условные вероятности:

Графики условных вероятностей:

.

Вероятности ошибки

Общая вероятность ошибки

Программный код #1 Моделирование BPSK clear

N = 10^6 % number of bits or symbols rand('state',100); % initializing the rand() function

randn('state',200); % initializing the randn() function

% Transmitter

ip = rand(1,N)>0.5; % generating 0,1 with equal probability s = 2*ip-1; % BPSK modulation 0 -> -1; 1 -> 1

n = 1/sqrt(2)*[randn(1,N) + j*randn(1,N)]; % white gaussian noise, 0dB variance

Eb_N0_dB = [-3:10]; % multiple Eb/N0 values

for ii = 1:length(Eb_N0_dB) % Noise addition

y = s + 10^(-Eb_N0_dB(ii)/20)*n; % additive white gaussian noise

%receiver - hard decision decoding ipHat = real(y)>0;

%counting the errors

nErr(ii) = size(find([ip-ipHat]),2);

end

simBer = nErr/N; % simulated ber

theoryBer = 0.5*erfc(sqrt(10.^(Eb_N0_dB/10))); % theoretical ber

% plot close all figure

semilogy(Eb_N0_dB,theoryBer,'b.-'); hold on semilogy(Eb_N0_dB,simBer,'mx-'); axis([-3 10 10^-5 0.5])

grid on

legend('theory', 'simulation'); xlabel('Eb/No, dB'); ylabel('Bit Error Rate');

title('Bit error probability curve for BPSK modulation');

1.3 Передача М-ичных данных

Обратимся к более общему случаю, когда M альтернативных сигналов s1(t), s2(t), …, sM(t) переносят M возможных сообщений по АБГШ каналу. В наиболее типичной ситуации энергии всех сигналов одинаковы

что в геометрической интерпретации означает равенство длин всех сигнальных векторов.

Для принятого наблюдения y(t) вычисляются расстояния (или корреляции) между наблюдением и всеми конкурирующими сигналами и решение выносится в пользу того сигнала, который наиболее близок к y(t):

Для минимизации риска ошибочного решения (т.е. перепутывания одного сигнала с некоторым другим) необходима одновременная максимизация всех расстояний. Однако в данных условиях подобная задача оказывается весьма нетривиальной, поскольку они могут конфликтовать друг с другом: удаление некоторого вектора от соседнего, чревато риском приближения его к какому-то третьему. Можно показать, что минимальное расстояние между любой парой различных сигналов ограничено следующим соотношением

Следовательно, если вероятность перепутывания ближайших сигналов (максимальная вероятность ошибки) минимизирована, то оптимальными являются сигналы, лежащие нам этой границе. Подобные сигналы, известные под наименованием симплексных, являются эквидистантными и обладают одинаковыми коэффициентами корреляции

эквивалентными по помехоустойчивости симплексным. Вероятность ошибки когерентного приема M ортогональных сигналов может быть вычислена как

где q , как и прежде, отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра, а

стандартная функция ошибок.

Наряду с точной формулой в инженерной и исследовательской практике применяется иное соотношение для быстрого получения оценки вероятности ошибки. При его выводе используется неравенство, называемое аддитивной границей

n

Pr(A1 A2 An ) Pr(Al ) l 1

свидетельствующее, что вероятность объединения событий Ai , i 1, 2, , n не превышает суммы

(Pe 5 10 3) , обеспечивая оценкой, практически не отличающейся от истинного значения.

Кроме того, она гарантирует «запас безопасности», поскольку истинное значение вероятности ошибки всегда лежит ниже границы объединения. Это служит объяснением широкой популярности границы объединения.

При определении вероятности битовой ошибки следует обращать внимание на то, что в некоторой литературе вместо энергии на бит используют более простую в вычислении энергию на один символ модуляции. Вместе с тем, зная, сколько бит переносит один символ (а это log2M), достаточно разделить энергию бита на это число. При использовании канального кодирования процедура подсчета несколько усложняется, как будет показано в последующих лабораторных работах. Кроме того, следует различать вероятность ошибки на бит (BER) и на символ (SER). При оптимальной расстановке точек сигнального созвездия эти вероятности равны между собой, однако имеют различный смысл.

1.4.1 Прием QPSK

Вероятность символьной ошибки (приблизительное значение)

Программный код #2 Моделирование QPSK clear

N = 10^5; % number of symbols

Es_N0_dB = [-3:20]; % multiple Eb/N0 values ipHat = zeros(1,N);

for ii = 1:length(Es_N0_dB)

ip = (2*(rand(1,N)>0.5)-1) + j*(2*(rand(1,N)>0.5)-1); % s = (1/sqrt(2))*ip; % normalization of energy to 1

n = 1/sqrt(2)*[randn(1,N) + j*randn(1,N)]; % white guassian noise, 0dB variance

y = s + 10^(-Es_N0_dB(ii)/20)*n; % additive white gaussian noise

nErr(ii) = size(find([ipipHat]),2); % couting the number of errors end

simSer_QPSK = nErr/N;

theorySer_QPSK = erfc(sqrt(0.5*(10.^(Es_N0_dB/10)))) - (1/4)*(erfc(sqrt(0.5*(10.^(Es_N0_dB/10))))).^2;

close all figure

semilogy(Es_N0_dB,theorySer_QPSK,'b.-'); hold on semilogy(Es_N0_dB,simSer_QPSK,'mx-'); axis([-3 15 10^-5 1])

grid on

legend('theory-QPSK', 'simulation-QPSK'); xlabel('Es/No, dB')

ylabel('Symbol Error Rate')

title('Symbol error probability curve for QPSK(4-QAM)')

1.4.2. Прием прочих типов модуляций

Для наиболее популярных типов модуляций вероятность символьной и битовой ошибки в канале с АБГШ можно определить теоретически. Отметим, что эти значения являются приближенными, поскольку не учитывают возможность перехода не в соседнюю зону решений, а дальше, однако при реально используемых порядках модуляции эти вероятности незначительны.

Программный код #3 Моделирование различных модуляций в АБГШ (все вызываемые функции – в приложении)

clearvars; clc;

%---------Input Fields------------------------

nSym=10ˆ5;%Number of symbols to transmit

EbN0dB = -4:2:14; % Eb/N0 range in dB for simulation MOD_TYPE='FSK'; %Set 'PSK' or 'QAM' or 'PAM' or 'FSK' arrayOfM=[2,4,8,16,32]; %array of M values to simulate %arrayOfM=[4,16,64,256]; %uncomment this line if MOD_TYPE='QAM' COHERENCE = 'coherent';%'coherent'/'noncoherent'-only for FSK plotColor =['b','g','r','c','m','k']; p=1; %plot colors legendString = cell(1,length(arrayOfM)*2); %for legend entries for M = arrayOfM

%-----Initialization of various parameters----

k=log2(M); EsN0dB = 10*log10(k)+EbN0dB; %EsN0dB calculation SER_sim = zeros(1,length(EbN0dB));%simulated Symbol error rates d=ceil(M.*rand(1,nSym));%uniform random symbols from 1:M s=modulate(MOD_TYPE,M,d,COHERENCE);%

for i=1:length(EsN0dB)

r = add_awgn_noise(s,EsN0dB(i));%add AWGN noise dCap = demodulate(MOD_TYPE,M,r,COHERENCE);%

SER_sim(i) = sum((d˜=dCap))/nSym;%SER computation end

SER_theory = ser_awgn(EbN0dB,MOD_TYPE,M,COHERENCE);%theory SER semilogy(EbN0dB,SER_sim,[plotColor(p) '*']); hold on; semilogy(EbN0dB,SER_theory,plotColor(p)); legendString{2*p-1}=['Sim ',num2str(M),'-',MOD_TYPE]; legendString{2*p}=['Theory ',num2str(M),'-',MOD_TYPE]; p=p+1; end

legend(legendString);xlabel('Eb/N0(dB)');ylabel('SER (Ps)'); title(['Probability of Symbol Error for M-',MOD_TYPE,' over AWGN']);

1.5. Прием в каналах Релея и Райса

Проблемы, связанные с распространением волн в физических средах, достаточно сложны и нередко с трудом поддаются теоретическому анализу. Имеет место большое разнообразие факторов, вызывающих как детерминированное, так и случайное ослабление сигнала, достигающего приемной стороны. Как результат их воздействия принимаемый сигнал искажается не только аддитивным шумом (АБГШ), но и мультипликативной помехой, название которой вытекает из того факта, что она меняет интенсивность сигнала, т.е. перемножается с его амплитудой.

Начнем с идеализированной модели распространения в свободном пространстве, где отсутствуют препятствия между передающей и приемной антеннами, и излученная волна распространяется по единственно возможному пути, называемому линией прямой видимости (ЛПВ). Тогда на основе элементарной геометрии мощность принятого сигнала может быть предсказана с помощью формулы Фрииза:

приемной антенны соответственно, – длина волны несущего колебания, а D – расстояние между передатчиком и приемником. Как показывает последняя формула, ослабление мощности сигнала вдоль линии прямой видимости в свободном пространстве обратно пропорционально квадрату расстояния.

Модель распространения в свободном пространстве можно непосредственно использовать в расчетах линий связи, где окружающую обстановку можно уподобить открытому пространству, например, между космическими объектами или летательными аппаратами, наземным центром контроля и спутником и т.п. Среда распространения наземных систем намного менее благоприятна и главными факторами влияния на интенсивность сигнала оказываются затенение и многолучевой фединг (замирание).

Затенение обусловлено деталями ландшафта, препятствующими прямолинейному распространению: возвышенностями, растительностью, постройками и т.п. Вследствие их влияния интенсивность сигнала падает с расстоянием значительно быстрее, чем предсказывает формула Фрииза. Очевидно, что нерегулярный характер земных ландшафтов делает невозможной или бесполезной попытку создания некоторой универсальной теоретической модели затенения. Предложен целый ряд эмпирических моделей возможных зависимостей между принимаемой мощностью и длиной пути распространения. Среди специалистов в области мобильной связи одной из наиболее приемлемых признана модель Окамуры–Хаты (Ocumura-Hata). Согласно последней зависимость средней принятой мощности подчиняется равенству

P kP / De ,

r t

в котором конкретное значение показателя зависит от типа подстилающей поверхности, изменяясь от 3 (сельская местность) до 5 (плотная городская застройка), а коэффициент – определяется частотным диапазоном и высотой антенн.

Принятая мощность, рассчитанная таким образом, дает лишь очень грубую отправную цифру, соответствующую усреднению по различным положениям приемника, равноудаленным на D от передатчика. Флюктуации Pr по дуге радиуса D с центром в месте расположения передатчика значительны и часто аппроксимируются логнормальным законом, означающим, что распределение принятой мощности в децибелах x 10lg Pr , является гауссовским (нормальным):