Практика Векторная алгебра
.pdf1.Разложение векторов
1.1.В треугольнике АВС точка О – точка пересечения медиан. Разложите вектор BO по векторам АВ и АC .
1.2.В треугольнике АВС, длины сторон АВ и АС которого равны соответственно 2 и 1, проведена биссектриса АМ. Разложите вектор АМ по векторам АВ и АC .
1.3.В треугольной пирамиде SАВС точка М – точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложите вектор SМ по векторам SА, SB и
SC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.4. Разложите вектор |
и |
|||||||||
|
с |
5l |
4l |
2 |
по векторам a |
6l |
3l |
2 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
b3l1 6l2 .
1.5.В параллелограмме АВСD точки М и N – середины сторон ВС и CD соответственно. Разложите вектор АD по векторам АM и АN .
____________________________
1.6.В параллелограмме АВСD точка М – точка пересечения диагоналей. Разложите вектор МD по векторам АB и АD.
1.7.В равнобедренной трапеции АВСD (ВС || AD) АВ = ВС = СD = 2, AD = 4, точка М – середина стороны CD. Разложите вектор АM по
векторам АB и АD. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
и |
|||||||
|
1.8. Разложите вектор с |
6l |
l |
2 |
по векторам a |
4l |
2l |
2 |
||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
b6l1 3l2 .
2.Векторы в декартовой прямоугольной системе координат
|
2.1. Найдите |
проекцию |
|
|
на ось |
Оу, если |
|||||
|
вектора 5a |
2b |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2i |
j k , b i |
4 j 2k |
|
|
|
|
||||
|
2.2. Найдите |
длину |
и |
направляющие |
косинусы |
вектора |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2i |
3 j |
6k . |
|
|
|
|
|
если радиус-вектор r |
||
|
2.3. Найдите координаты x; y; z точки М, |
точки М составляет с осью Ох угол 45°, с осью Оy – 60° и rM 6 . M
2
2.4. Найдите длину медианы АD треугольника АВС с вершинами
А(1; 2; 4), В(4; 5; 2), С(2; 3; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5. Найдите |
координаты |
вектора |
b , |
параллельного |
вектору |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
4i |
7 j |
|
4k и противоположного с ним направления, если |
b |
|
|
27 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2.6. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А(2; –6; 5), |
AB 2i |
4 j |
4k , AC 6i |
3 j |
2k . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
____________________________ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2.7. Найдите длину и направляющие косинусы вектора М1М 2 , если |
|||||||||||||||||||
М1(4; –2; 6), М2(1; 4; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.8. Найдите |
координаты |
вектора |
b , |
коллинеарного |
вектору |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
i |
2 j 2k , если |
b |
|
|
|
15 и b образует с осью Оy острый угол. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2.9. Найдите |
длины |
|
диагоналей |
параллелограмма ABCD, если |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB i |
4 j |
3k , |
AD 3i |
j 2k . |
|
|
|
|
|
|
|
2.10. В параллелограмме АВСD точка М – точка пересечения диагоналей. Найдите координаты вектора AD, если А(3; –1; 4), В(5; 0; 2),
М(6; –1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Скалярное произведение векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
7 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3.1. Найдите скалярное произведение векторов a |
|
и b , |
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
b |
|
|
4 , a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3.2. Найдите |
скалярное |
|
|
произведение |
векторов |
a |
l1 |
4l2 и |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
|
|
2l1 |
l2 , если |
l1 |
|
3 , |
l2 |
|
|
|
2 , l1 l2 |
135 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3.3. Найдите |
длину |
|
вектора |
a 3l1 l2 , |
если |
|
l1 |
|
|
1, |
|
l2 |
|
|
2 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 l2 |
60 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3.4. Найдите длины диагоналей параллелограмма, |
построенного на |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
векторах a |
2l1 |
l2 |
и b l1 |
2l2 , если |
l1 |
1, |
l2 |
|
|
1, l1 |
|
l2 |
60 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3.5. Найдите |
проекцию |
вектора |
a |
4l1 |
2l2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вектора b |
l1 |
3l2 , если |
l1 |
|
1, |
|
l2 |
|
1, l1 l2 |
120 . |
|||||
|
3.6. Найдите |
скалярное произведение векторов |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
3i |
j |
2k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на направление
|
|
|
|
a |
2i |
4 j |
k и |
|
3.7. На |
|
материальную |
точку |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
f1 |
2i |
j |
k , |
f2 |
i |
2 j |
2k , |
|
А(2; –1; 0) |
действуют |
силы |
||
|
|
|
|
|
|
f3 |
i |
j |
2k . |
Найдите |
работу |
равнодействующей этих сил по перемещению точки из А в В(4; 1; –1).
|
|
|
|
3.8. Найдите внутренний угол А треугольника АВС с вершинами |
||||||||||||||||||||||||||||||||
A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(3; 1; –2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3.9. Найдите проекцию вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
на направление вектора b с , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если a |
i 3 j |
4k , b |
|
3i |
4 j 2k |
, с i |
j |
4k . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3.10. Найдите координаты вектора |
|
|
перпендикулярного векторам |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
х |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на направление вектора |
|||||||||
a |
i |
|
k |
|
b |
j |
2k , если проекция вектора х |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
i |
|
2 j |
2k |
равна 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
____________________________ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.11. Найдите угол между векторами a |
2l1 |
4l2 и b |
l1 l2 , если |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
l1 |
|
1, |
|
|
l2 |
1, |
l1 l2 120 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3.12. Найдите проекцию вектора b 2l1 l2 |
на направление вектора |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
l1 |
l2 , если |
l1 |
|
|
|
l2 |
|
2 , |
l1 l2 |
120 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3.13. Найдите угол между векторами a |
i j |
и b |
i |
2 j |
2k . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3.14. Найдите проекцию вектора |
|
|
|
на направление вектора |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
b |
с , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если a |
3i |
6 j |
k , b |
|
i |
4 j |
5k , |
с |
|
3i |
4 j 12k . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3.15. Найдите координаты вектора |
х |
|
перпендикулярного векторам |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
2i |
3 j |
k |
и b i |
2 j |
3k , если 2i |
j |
k |
х 6. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Векторное произведение векторов |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4.1. Упростите выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) 2a 3b а |
3a |
2b b ; |
б) 2i |
j |
k 3 j |
i |
k . |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. Найдите длину вектора |
|
|
|
, если |
|
|
|
2 , |
|
|
1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
c |
2a |
b |
a |
3b |
|
a |
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Найдите |
площадь |
треугольника, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
4l1 |
l2 |
и b 2l1 |
3l2 , если |
l1 |
|
3, |
|
l2 |
|
|
||
|
4.4. Найдите |
векторное |
произведение |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
i |
3 j |
k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
построенного |
на |
векторах |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , l1 l2 |
150 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
векторов a 3i |
j |
2k и |
|
|
4.5. Найдите площадь параллелограмма, |
построенного на векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
i |
2 j |
2k и b |
4i |
|
3 j |
|
2k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4.6. Найдите |
площадь |
треугольника |
с |
вершинами |
А(–2; 1; –3), |
|||||||||||||||||||||||||||
В(1; 5; –7), С(–1; 7; –7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4.7. Найдите |
момент |
силы f |
|
|
|
|
|
2i 4 j |
5k , действующей на |
|||||||||||||||||||||||
материальную точку M(0; 2; 1), относительно точки А(–1; 2; 3). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
____________________________ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4.8. Найдите площадь параллелограмма, |
построенного на векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a |
3l1 |
5l2 |
и b |
l1 2l2 , если |
l1 |
|
2 , |
|
|
l2 |
|
|
1, l1 l2 150 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4.9. Упростите выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) 2i 3k j |
3i |
2 j i |
; |
|
|
|
|
б) i |
|
2 j j |
3k |
j 6k |
i . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
4.10. Найдите длину высоты ВD треугольника АВС с вершинами |
||||||||||||||||||||||||||||||||
А(1; –1; 2), В(5; –6; 2), С(1; 3; –1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4.11. На |
|
материальную |
|
|
|
|
точку |
|
M(3; –4; 8) |
действуют |
силы |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f1 |
2i |
4 j |
6k , |
f2 |
i 2 j |
3k , |
|
|
|
f3 |
i |
j |
7k . Найдите момент |
|||||||||||||||||||||
равнодействующей этих сил относительно точки А(4; –2; 6). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5. Смешанное произведение векторов |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5.1. Упростите выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
а) a |
b a c |
b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) a |
2b |
с a |
b |
a |
b |
c |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Найдите |
смешанное |
|
произведение |
векторов |
a |
2i |
j |
3k , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
i |
3 j |
2k |
и с 3i |
2 j |
4k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5.3. Найдите |
объём |
параллелепипеда, построенного на векторах |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
i |
2 j |
k , b |
3i |
2 j |
k |
и с |
i |
k . |
5.4.Найдите объём пирамиды с вершинами A(5; 1; –4), B(1; 2; –1),
C(3; 3; –4), D(2; 2; 2).
5.5.Покажите, что точки A(3; 5; 1), B(2; 4; 7), C(1; 5; 3), D(4; 4; 5)
лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5.6. Найдите |
значение |
α, |
|
при |
|
котором |
векторы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2i |
3k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются компланарными. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
b |
|
|
i |
7 j |
3 k |
и c 5i 3 j |
6k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
____________________________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
5.7. Найдите |
смешанное |
произведение |
|
векторов |
|
, |
|
и |
|
если |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
с , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6, |
|
|
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a |
|
|
b |
|
|
с |
|
3, a b 30 |
, с |
перпендикулярен a и b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5.8. Найдите |
длину |
высоты |
|
DH пирамиды АВСD с |
вершинами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
А(2; 3; 1), В(4; 1; –2), С(6; 3; 7), D(–5; –4; 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
5.9. Проверьте условие |
компланарности векторов |
|
a |
i 2 j |
|
2k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
|
|
i |
2 j k |
и с 5i |
2 j k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Дополнительные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
6.1. В треугольнике АВС точка О – точка пересечения медиан. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разложите векторы АB и ВС по векторам |
АО и АC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по векторам |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
6.2. Разложите вектор d |
4l |
|
12l |
|
3l |
|
|
a |
5l |
7l |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
b |
|
|
2l1 |
3l2 |
l3 и c |
3l1 |
2l2 |
4l3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
6.3. В трапеции АВСD (ВС || AD) точки М и N – середины сторон АВ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и CD соответственно. Найдите |
координаты |
вектора |
|
MN , |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AB 2; 2; 5 , |
AC 3; 6; 2 , |
AD 9; 8; 13 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6.4. Найдите |
скалярное |
произведение |
|
|
векторов |
|
|
AC |
и |
ВD |
|
– |
||||||||||||||||||||||||||
диагоналей четырехугольника ABCD, если |
|
AB 3; 1; 2 , |
|
BC 2; 5; 1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AD 3; 4; 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
6.5. Найдите |
длину |
вектора |
a |
2l1 |
4l2 , |
если |
|
|
l1 |
2 , |
|
|
l2 |
|
|
1, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 l2 60 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
6.6. Найдите |
|
скалярное |
|
и |
векторное |
произведение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
i |
2 j |
3k и b |
2i |
j k . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6.7. Найдите |
|
проекцию |
|
вектора а |
2i |
3 j |
4k |
составляющую с осями координат равные острые углы.
векторов
на ось,
6.8.Найдите внутренний угол А треугольника АВС с вершинами
A(1; 2; 3), B(3; 2; 1), C(1; 4; 1).
6.9.Найдите площадь треугольника АВС с вершинами А(3; –1; –4),
В(5; 2; –2), С(7; –4; –2).
6.10.Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
2l1 |
l2 |
и b |
l1 |
3l2 , если |
l1 |
2 , |
|
|
l2 |
|
1, |
l1 l2 |
30 . |
||
|
6.11. Найдите |
объём |
параллелепипеда, построенного на векторах |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
4i |
3 j |
, b 2i |
j |
2k |
и с 3i 2 j 5k . |
|
|||||||||
|
6.12. Покажите, |
что |
точки |
A(5; 7; –2), |
B(3; 1; –1), C(9; 4; –4), |
D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
6.13. В правильном тетраэдре SАВС точка М – середина стороны SС. Найдите угол между ребрами пирамиды SA и BM.
7
ОТВЕТЫ
1. Разложение векторов
1.1. BO |
2 |
|
АВ |
1 |
АС . 1.2. |
АМ |
1 |
|
АВ |
2 |
|
АС . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
1.3. SМ |
|
|
|
SА |
|
|
SB |
|
SC . 1.4. |
c |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b . 1.5. АD |
|
|
АM |
|
|
|
|
АN . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
1.6. MD |
|
АВ |
|
|
АD. 1.7. АМ |
|
|
|
|
|
АВ |
|
АD . 1.8. c |
|
|
a |
|
|
b . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
4 |
|
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Векторы в декартовой прямоугольной системе координат |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.1. 3. 2.2. |
7 , cos |
, cos |
|
, cos |
. 2.3. М(3 |
2 ; 3; 3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
7 |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
или М(3 |
2 ; 3; –3). 2.4. 3. 2.5. b 12i |
21 j |
12k . 2.6. D(10; –5; 3). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7. М М |
|
|
|
9, cos |
1 |
, cos |
2 |
, |
cos |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 3
2.8.b 5i 10 j 10k . 2.9. d1 30 , d2 50 . 2.10. AD 4; 1; 4 .
3.Скалярное произведение векторов1 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. –14. 3.2. –11. 3.3. |
7 |
|
. 3.4. 7 , 13 . 3.5. |
|
7 . 3.6. –8. 3.7. 7. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.8. 45°. 3.9. 5. 3.10. |
х |
i |
2 j |
k . 3.11. 120°. 3.12. 1. 3.13. 135°. 3.14. –4. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.15. х |
3i 3 j 3k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Векторное произведение векторов |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.1. а) 6 a |
b ; |
б) 6k |
. 4.2. 7. 4.3. 21. 4.4. |
5i |
j |
8k . 4.5. 15. 4.6. 9. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.7. m 8i 9 j 4k . 4.8. 11. |
4.9. а) 3i ; б) |
3 j . 4.10. 5. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.11. m 10i 10 j |
|
5k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Смешанное произведение векторов
5.1.а) abc ; б) 3abc . 5.2. 39. 5.3. 12. 5.4. 4. 5.6. 5. 5.7. ±27. 5.8. 11.
5.9.Векторы компланарные.
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Дополнительные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6.1. АB 3АO АС , BC 3АO 2АС . 6.2. d |
a |
b |
c . |
|||||||||
6.3. |
|
7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||||||||||
MN 7; 6; 10 . 6.4. 4. 6.5. 4. 6.6. ab |
a |
b |
i 5 j |
3k . 6.7. 3 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
6. 8. 60°. 6.9. 11. 6.10. 7. 6.11. 12. 6.13. arccos |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|