імто / пр5

Практична робота №5

АК-3-2ск

Контрольні питання до практичного заняття №5

1. В чому полягає специфіка концептуальної моделі?

2. Для вибраної моделі оцініть структуру та параметри моделі.

3. Особливості фізичної та формальної постановки задачі ідентифкації.

4. Охарактеризуйте метод найменших квадратів.

1. Концептуальна модель грунтується на розгляді об'єкта на кількох рівнях декомпозиції. Як правило, виділяють явища на макро- і мікрорівні об’єкта. На макрорівні процеси розглядаються узагальнено, «великими мазками». Наприклад, рух потоків маси і енергії, надходження грошових коштів і т.п. На мікрорівні ці процеси розглядаються більш детально. На кожному рівні декомпозиції виділяють явища і зв'язки між ними. При динамічному моделюванні під явищем будемо розуміти зміну деякої величини. У концептуальній моделі описується перебіг кожного явища. Зв'язки між явищами поділяються на взаємозв'язки явищ одного рівня декомпозиції і зв'язки між явищами різних рівнів декомпозиції. Наприклад, для гіпотези з двома рівнями декомпозиції можливі зв'язки трьох видів:

 зв'язки між явищами на мікрорівні;

 зв'язки між явищами на мікро-та макрорівні;

 зв'язки між явищами на макрорівні.

2. Для оцінки моделі проводиться формалізація, в результаті якої буде отримана структура математичної моделі, придатна для класу однотипних об'єктів моделювання. Специфіку конкретного об'єкта моделювання визначають параметри моделі. Для практичного використання моделі необхідна розробка процедури її рішення та параметричної ідентифікації. Для розв’язку динамічних моделей, як правило, використовують відповідні чисельні методи. Особливістю цих методів є дискретизації часу, що призводить до апроксимації моделі різницевими рівняннями. Розв’язок моделі дозволяє отримати вихідні змінні у вигляді таблично-заданих функцій на заданому інтервалі часу.

Задача ідентифікація полягає в мінімізації відхилень між вихідними змінними моделі, які в загальному випадку є функціями від часу , вхідних змінних і параметрів , та значеннями відповідних вихідних змінних об’єкту шляхом підбору значень параметрів . Як правило, ця процедура не є тривіальною. Розробка процедури параметричної ідентифікації моделі включає:

 фізичну та формальну постановки задачі ідентифікації;

 вибір методу ідентифікації та його програмна реалізація;

 проведення експерименту та розрахунок значень параметрів.

3. Фізична постановка задачі ідентифікації формулюється на природній мові і включає перелік параметрів, значення яких необхідно знайти, вимоги до співпадіння значень вихідних змінних моделі та об’єкту (в які моменти часу, точність), вимоги до швидкості процедури (якщо ідентифікація відбувається в контурі управління).

Формальна постановка задачі ідентифікації полягає в записі фізичної постановки у вигляді задачі оптимізації, головною складовою якої є критерій (функціонал) похибки . Параметри можуть розглядатись як константи, так і як функції. Вигляд критерію похибки залежить від специфіки конкретної задачі. Вирізняють парні та непарні критерії похибки. Непарні критерії залежать від знаку відхилення вихідних змінних моделі від змінних об’єкту, а парні – ні. У якості приклада розглянемо парний критерій, який призначений для контролю похибки на всьому інтервалі прогнозу[t₀, T]

,

де m – кількість експериментів; n – кількість вихідних змінних, – значення змінної об’єкту за результатами j-го експерименту.

4. Сутність методу (звичайного) методу найменших квадратів (1МНК) полягає у знаходженні таких значень матриці параметрів А моделі , при яких сума квадратів залишків й була б мінімальною. Мінімізуя суму квадратів залишків й шляхом знаходження першої похідної за складовими, можна знайти оцінки для теоретичної моделі.

У ряді випадків при вирішенні економічних задач необхідно встановити теоретичну (аналітичну) залежність на підставі фактичних спостережень. Результати їх можуть бути наведені у таблиці для пар значень змінних: . Проаналізуємо, який вид кривої краще підійде для апроксимації емпіричних (фактичних) даних. У спрощеному випадку це може бути пряма, з кривих - парабола, гіпербола, степенна залежність та ін.

Припустимо, що для даного розподілення емпірично отриманих точок вибраний вид залежності у вигляді безперервної лінії між точками. Функцію описують параметри аі , знайшовши які можна получити рівняння апроксимуючої лінії. Наприклад, рівняння прямої задаються у вигляді , рівняння параболи - тощо.

Відхилення ординат теоретичної лінії у від емпіричних даних у,- при тих же абсцисах відповідають різниці (при і=1...n). Чим менші ці різниці, тим краще вибрана теоретична лінія буде апроксимувати емпіричні дані.

Французьким математиком Лежандром у XIX ст. запропоновано в якості міри відхилення точок А від апроксимуючої теоретичної лінії брати мінімальну суму S квадратів відхилення їх ординат від теоретичних значень y:

З цього і назва методу - метод найменших квадратів (або скорочено МНК).