455

fim о"

·"

n-+3 _j_

firn fn-1'~.

2.,.

,.. ....

"-~.о

•

Маємо ряд . а""

5i.n 2 п '{і

, члени якого у своЄму с1гадl иают1t

J)

п tГri

член якого ~"

1

• Це

ряд ДІр!ХJІе

-

1

• дпл якого

" -;;v;-"

~

- ·

L

п~

, тому цей ряд збІ.ния.

"..

Оп

si.n7. nfii

.!:

І

.І

::

..~п

.r=-

= 0 11 •

11

n vn

firn G4 ,..о

• Застосовуємо достатню...ознаку порlвняння

в граничнІй

Фoi:aif:" Порlвняємо з

рядом Дlрlхле

[_

~ .

• Обчислюсо

•

11•1

f/

-li.m

~

= fi.,,,

(3tt+2) п"-"

{L·rn

3п',..,

=.3:tO

пп.и

сІ.."!.

11~-

~"

n1 .+~•1"І3

"........

11 2

,-

Зваааючи

на те, що

ряд ! ~

(J." і

., гаr.uонlчний

ряд) роз­

а"=

" ! Vii

І

--

3"+ l

ОбчисJІЮІо

(

f +

г.\./1.

3"~ .

=-

--·--. ftm (n+t)

( 3 +

:,.f3h ІН~

вlд Іх порядкового

ноизру в рндv,

можемо

скласти ряд [_а,,_

, де

f

.

.."

Q" ; (rнg) {п (п+g)

• В даному випадку доц!льно використати

Інтегральну ознаку КошІ.

Дослlдимо

ряд на

збlжн!ст~

рядом

l

п

). Заданий ряд абсолютно розб!JІtНИй, але збlжний за

ознакою л;Йбнlца,

тому що

!)

члени

заданого

ряду монотонно спадають;

·

'/n + 5

.

'Іп

,

2)

ti1>1 -- .

= -{\t"n

-- l

:: І)

тобто загальний член

"_,_

(г п+ 1),_

"'""

'-tn

наближаєrься до нуля.

Отже, висновок - ряд

збlжний _імовно.

4.30. Обчислити суму ряду

L

(-І}~

з

заданою точн!стю

~··О,01

•

.

"·о

t+n

Даний

ряд збІжний

І притому абсолютно

(необх!дно довести!). Oт'ffe,

s= s" • r.:

,

~ S"

де

- залишок ряд.v. Можна

записати 5

з

деякою

точ-

нlстю

.J.. • Залишок ряд.У буде

знакопочережний ряд,

тому,

зг!дно

на-

слІДІСУ з теорємк ЛеЯбиІца, Іtoro сума R

не nаревищує /ам1/

3,r.;.,

• Беремо п " '{

• Тuд1

ЗвІ.цси п < 'І':19

5.зо. ~аи.·и облас'І'ь

збІжн~стІ

ряд.V

-

11

п

а)

~

/1 'l. (х-3)"

6)

L. (-1)

( х . l)

L

111''

-~ І)L

і

n•I

{,,.,

. s

lt•I

\

а} д,п" ц•оrо

рядУ застосуG.:&u

оз!іаку ДuІU'6ерв

·.

r а"•• J

-

о. І (11•1)t(-:r-3)"' (11 41

+1)l.I

.(н~t

1

І = Іх-з/.

-- - {с'"

"""'""

й"

"-+""1[(r1н}''.,.І]:.пl(х-3)"

ПоставЮІо

вимоr"/. щоб

/.r-31<1..

Тод1

-1.

(. ~ - .; (

l

t

l

<r <.

Ч .

ве.1шчиtt членІв, зб!!'t;.Є"ЬСЯ з

ря.доа.t

при

.х • Ч •

Отже, npi1

:t • ~

будеІІІО 118.':'И

:;>Р.Д

І"-.,

(i't''lt~+,у .

Ппрlв~~о no~o із з61~ним рядо~ Дlplx.ne

J\OilCІ~vГokl .~;·аrІИЧ!іОІ С8маУ.м r.орІвкяr:ня. Мг.~:ІІІQ

((ni,

[--~L-·-: .J...j::

{і,1

- .... !~~---: (('111 ~~-:і t0

·•-!>....,

\n"+І)~

rt'·

•-;~

.1•+

:!11' •1 "'" r1"

·

Знв.·~к-.·1..

n л~:>'\В<'~ІV

кJкцІ

Ік·:·~рвму

prtд

С\Х'r>,'\11'1'ЬС.Р..

Є !J!riou''

кІ1щ.І :-,кз­

КО;"Іv1:ере:ос;.н~І'! ряА -:-е. :.tбlжниР.,

ЛрfЧОL!'·'

аСісмин~·.

tіР.;)Є!ІІтІ

мо11~1110 06-

:111ст• ~i:il iu:o~т!:

І. ~ .І

~ ~

Поиз.вимо зимоrу, щоб /x-l.l<L

, тодІ -І~.х-1<.f u І<х.<5.

кІн.11, де одержали числе.вий знакопостІйниА ряд, то6rо при

х ~1

ТодІ

(-1)" {-Іі"

(-t/"

а"= (;п - &

611 - &

І масмо

ряд

l

іп~!

·

•-=-·

Цей ряд розбІжний (пор!вняй з rа{Nонlй;щм).

Нехай тепер

з:•3

• Має~о ряд

L (-/)"11

"" 6п- о

при Х• f..

Ряд, СКJlадений Із абсодЮТКІ1Х

величин,

б,-де такий же, як І

(тому І

дос.пlд11ува.шr спочатку

саме при

х" L

) І, отже,

абсолютно

Hapemтl одержимо

f < х ~ 3

б.ЗО. Розвинути функцlю

в ряд Тейлора:

xz.

а )

и :. ,r;::::::::::::;

за стmенями х;

"V1+3:r 2'

6)

1

за с~пенями

(х+2) ;

Зх + 1

в)

3Х + &

за

степенями х;

(2х-3) (xi+4)

г)

~,..

(n (Ч+3:х -xz.)

в околІ т. Х'о:?.

д)

tІ = Q zc іо.

:_~;

в ряд

Маклорена.

а)

J

~

.... ..,,

::х 2

~ xz ( 1+ 3х•

)-1.

, запишемо спо-

Зважаючи

на те,

що

JV----+""-x_z_

з

1

3

чат1tу

розвинення

функцІІ . (І+ 3х, ,- 'ІJ

в

ряд за

степентm х, ско-

риставmись основним рядом.

(1•.х)'"= f+[m(m-ІJ(m-;~·"(m-n+J)

.х",

/xlfl'

ДаJІІ, вважаючи,

що"", tr\ " -

}

І замlнюючи

х

на

3 х ~

(1... 3х2)-}= 1-t.зхz. +- f

f;, -f) (зх1z._-ftf ~1:tt-2){3xlf~." =

_ f

- х

l

f. ''"

-

f-''I· 7· .·.

,

"." "

І

f (Іft·•/. 1 ..•

І ~п-_~} ;i-t•

-

+

-z, :х

---:;:-,-

х

+-L - ---п;~.

-

•

J .

-.ч

Оскі.'Іьки основниІt ряд має

місце

для

fx/, L

• т::~ одержане розьи-

нення виконується, Р.кщо

ДомноЖІ-шо обидві частини останьої ІJівнос'l·і

на

• одержюю

ряд:

....

,rl.

1_.1,1п

f. I./. ?-".

(3п-2.)

l

+}

tn1z.

,

3 .г-----~

:: ~

L " І

.

п.

'

х

J

f .J..3X~

·

1121

*]

•

як~й

існує

при

:r є

[-{3'

,

.тому що

дсмноження

степеневuгс

3 х+ І

3 Х +' -ь + 1 :: - 5" + 3 ( х 1-l) ::

5"

/ - j ;~

_4_"'

1

І

_.!..,

1

-

Далі

скористаємося

співвідношенням

_1__ "

[ и"':: { +ц +цi!.+ui+."

ц Е {-1, L)

(lf-)

І- U

rta.0

Підставимо

ц "' ~ ('Х +l)

:і:

одержmАо

розвинення: функц:і:'f в

рfід Те~-

лора

за степенями

(;Х + 2)

z2}

/__

(#}

(x+z(

;

l

(

_-1_::.

3 ( ;

+

rt ::

- j_ -

IL

5'

11."

ІІ.0

Зх + &

А_,_ +

Alx ~

(2х-">)(;r2 +Ч) = Jx-3

.х1+ч

Звідси

3х+~

= А,(:х2 м) 1-(А,х-1-А)) (гх---3).

"

A,"z, А~= -1, А.1 -=0

• Тоді

г.

.r

:: - ~ __!__

х _1_..

~ =~

- xz+4

J

1- fx

т 1 +(f)l

З11..:тсс~<Взвm110до

;~робів форv.улу

(*) • одерж;:мо

збо

_...

l . )

ln

~ {

(

-ІІ

z )l'•'l)

z" І І

J ~

. ·,"11

~

,.",

( -;·

- [

( ) .

7:

+ !.~

---;;;;

-

~·

·

1t:o

"

•

... =-•

'1

з р'Щіусом :Иіююсті

z

/перевіртеt/~

r/ ОскіJtью1

'І...

3::r

.;;" " ('І-;о:J(:х, t}

,

підставимо

;r - z " t

одержимо

.

.

(І - t) + f,, ( f +і).

:f (~) " ~{І) а -fn

(z - t) (3 + f) = (11 6 + f1,

''.'=

f

(· _j__)

3

1 ,_J__

q

, + (~)t.· .

- (х-~у.

" - :хч9

=- 3

1 " z!

то із (-*) витікає·, що

х - ~

·

9

де

ylo)" tІ·'lcfз. (-І)"' - JL.

U'>'же,

раді~rс ЗбіJІtНості до~івнює З /перевірте!І.

І?

7.ЗО. ОбЩ!СJІМТИ

в.І

'tv9o'

з

'l"O\:li:cтio до 1Q _" ;

б/

caJ но·

з точністю до

ю '

в/

-fп 2.

З

TІJЧliiC't';l'J ДО

І()"~

•

а/ При

зкахuд.'І.енні

кореня Іf'r"огостепєн.я

і~ ч1~сла

д >О

::.ал;.~с~.-~1'Ь

ц~ число у

виrлРді

А :

а/(• ~:

так.

щ·)О

J l /о•/ <і

, .

т":~,і

·О{І-1f)~·

Д!t.пі застvсоо~r~~ь

рлд

~; • о,о&Н - о,ои;•11. • о,ооп.z~

~-1,0&Q09 .... 3,Qя,сн.

Одержана

48.С';'ИІ~:\

с.:1.1а

s"

з~6езпечу~

зздану

't'ОЧ:Ність, 'l'Ot1y;цо

І

1#

< І()

-"

а,- ~ Qv. ~

~ qocioг.s ·,7jij

"

;:,тже.

І fч/..: а•. <10 .v

у

ВЇДПОВЇ.ЦНОСТі з

ОЦЇНКС!О зна::опочсре1t1к·го

р.я,с.у.

6/ ОСіч-:~сленкя

мuJІt1a. упрос1·итv.,

1.:ко1щс·rа.11f;~11сь там, iqo

СО\ НО" = <:.S3.

( 90° t-го") = - S~h 2Q0 ,

U"

.

Грв.д:rси

обоn• яз~ом 1'ро!ба

заnиса't'и

в

радіанах

:>а формулоо

O<J~ fо.9,пи.

В дано:.:у

в~«падr.у

2()0 ~

f

pOJi:a,.,

•

Да:~і

підстQD.'if!ЄMCI в

рн:t дr.11

/)('n'X

зна.чення

.r-. f

і одер:!ІіЮ.СО

SC.11

:r ";r -

•

..r i.-

+ ."

З!

S!

eo1ff()0 =. :){r1lO": -

(

Е

"(JJ

•(~<;"

- (Д" + . ")"

9

3~

S'!

~!

~ - {о,!~'ІSі>Є5'Ь • (',(!()

~08'!.L • 01 0000\'Sl.}'"

-0,,\flOJ.Ol."'

о,3ч1;и20.

{11 (І

L

\

(-1)

lt . •·•І

• u): U - !!_ _.

~

- ".

~-, ~ ".

~

3

~·

рtдом

fп

11~~

"

l (

и ... }-!

"

~>'.. · ·· }

Запио~емо

І~

=

п~ І

або

U=

z".,. t

•

1-н

І'1

-:-оді ОД(.)'ІС;<МО

'L (

-1...-

---.

.,.

)

tJ f't

~

1·

f

·(

l11

--

\

:І.п+ f

3(1."п)"

S"(zn" t)> "."

ft

При

п~ 1

,

"дер.~имо

І

~

fп г. "' г.. ( f "

І

f-

\

3 . ' ~

s-.

з~·

"·І

-

:;

2(<.р~;~

• 0,012) "<J,<1.:J1.;S) ::

O,jlfЄl/ <:rO, 3V6.

e.:.JO. Об•;11СJ:И'fІ4. ім-:-егр~;1:

а/

1

к,г

3 'і'СЧНіСТЮ ДО

io ·!>

J" і

€-

d~:

•

о

а/ Скnрнс-:аt·ь.tс\~.я

стандартниt.: рОЗі!f.ІЩ~~НJІW в рн,ц

= ~

и"

{.._

;;; .

"~ .

Заідки

зне.х()ду.ью

- j"

(l

(-1)" rl"}ar = f

(:Q_"

(i J...2ndx ~ f

J.-tl"

•І)

.

1-

","

hr

~о

11!

~

~

11!{:!.n

для доснгнеш-:ІІ зманої точност!

/() ....

всі члени 0Gч11<:­

тсють

з

точніетІU

to·(nнJ

Ї .~ідющають

вс1 /СІ"j<ІО-~""'

Т!І потім

охругJІr.юта. результа~·

до

:задахоЇ тuчно::ті.

РНДИ ФУР•t:

f ('Х)

І. Основ~з. теорема розв~0нення функці:':"

в

µ;щ Фур'є допускає,

що зrщз.:·ш функція

/rx)

оз~щ~;ена ДJІЯ

Xf R.

і

має

період 2.'Jf

?..1".Qo f(x)

періодична, е.JІе за.цана тіJІьки в

інтервалі [· 'lt; '!і1

,

то вводя'l'Ь

нову функціn

{"1х) слі.ц..vючим

образом.

В інтервзлj

Г-Уt;.ІІJ

вважаємо

-Лr) =/fx)

• поrім

nриІЬІ~"є"о {{-·17) ~

1

,

і нз

всі

-Jl ('/1)

діАсні знзченю;

х поширю-::h'а

функці'ю

I''Cc.t:)

,

дотр:1муючись

заксну

2.

Нкщо

функці.я

fl?.:)

задана в інтервалі [- l. t 1

довжиною 2 l ,

то

nicл.f' пі.~становки

:r,

"~!:..і,

(-'h·~«i

6.'11) одержуемо

фующію ./(f.<L)

•

• Др цієЇ функціf

.

2Г

в~д

~

в

інтервалі

[~Уі, •л]

можна

зас·!·осувати

основні

формули Фур•е. з Вf)аХУВЗ.НКЯМ п.І.

З. Якщо

функція. за.цанг. в

інтервалі [о, t/]

,

то

ЇЇ

доловнюю·~·ь

для

значень

х в інтерва.'Іі [-11,0]

довільно,

а

потім

застосовують

виненні в

ряд фующЇЇ {l-x) тільки по син~rсам або тільки по косину­

сам /ди".

мал.а/ і 6//.

о

о

а/

6/

4.

Будь-яки!-! іт•ервал

[а,С1

мо:r.на '1еретвсрити

в [-fi,'fil

а-

міноrJ

~.., :J(. ~~~ tt. 'J/

, а

в

інтерЕал [о,'111

замінею ~/'

~~;- ff

При розв:тенні функці':: в рr.д Фу-р•є

на {a.,Cl

заміниJ

змінноЇ

перехо­

дять до

інтер1и..лу[.·1/,'Л],

або [О,'І/]

і за<;"·ссоРvють л. І-3.

t>.

Вва;1(апчи,

:.!{'J.;.~'.!V ф~rнкцЕ

f (l-l) , яка

мзє

леріод

2'11~

, ве-

личиІ-Jа

і;пегра11а

J f{tt)dЦ

не

за.ле1!ш·rь

від

j"

в

фо~м:•rлах