ИЭ / 4 семестр / Теория и задачи / Поверхностные интегралы - задачи
.pdfПоверхностные интегралы
|
I. Касательные и нормали к кривым и поверхностям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Составить уравнения касательной прямой кас и нормальной плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
к кривой в точке 0, соответствующей значению параметра 0 (№ 3.1 ÷ 3.6): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3.1. |
: { = 2, |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
3.2. |
: |
|
|
= |
|
1 |
3, |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
= |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
: { = − , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3.3. |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
3.4. |
: { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∙ |
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= 2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2 + 2 = 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. : { |
, 0(2; 2√3; 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
: { |
|
|
|
= |
|
, 0(1; 1; 2) |
|
|
|
+ = 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Найти косинус угла между касательными к кривой в точках, соответствующих |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значениям параметров 1 и 2 (№ 3.7 ÷ 3.8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3.7. |
: |
|
|
= |
1 |
3, |
|
|
= 1, |
= 2 |
3.8. |
: { = 2, |
|
= |
1 |
, |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
{ |
= |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Составить уравнения касательной плоскости и нормали нор |
к поверхности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в точке 0 |
|
(№ 3.9 ÷ 3.16): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.9. |
: |
= 2 + 2, |
(1; −2; 5) |
|
|
|
|
3.10. |
: |
|
= |
1 |
2 |
− 2, |
|
(2; −1; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.11. |
: |
|
3 − 3 = 1, |
(0; 1; −1) |
|
3.12. |
: |
|
22 − 2 |
+ 4 = 8, (2; 4; 4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.13. |
: |
|
2 |
+ 2 |
− 2 = 10, (2; 2; −1) |
3.14. |
: |
|
42 − 2 |
+ 2 = 16, |
(1; −2; 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3.15. |
: |
|
|
+ |
|
− |
|
= 0, |
(4; 3; 4) |
|
3.16. |
: |
|
2 |
+ 2 + 2 = 2, |
|
( |
|
|
; |
|
|
√3 |
; ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
Определить, под каким углом кривая пересекает поверхность (№ 3.17 ÷ 3.20): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3.17. |
: |
{ |
, |
: = |
+ |
|
|
|
, > 0, |
: = √ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.18. : { |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∙ |
: = 2 |
− 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3.19. : { = , |
: = |
|
|
3.20. : { = ∙ , |
|
|
|
0 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Составить уравнения касательной кас и нормали нор |
|
к плоской кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в точке 0, соответствующей значению параметра 0 (№ 3.21 ÷ 3.26): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3.21. |
: |
|
= 3, |
0(0; 0) |
|
|
3.22. |
: |
= , |
0 = ∩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3.23. |
: |
|
5 + 5 = 2, |
(1; 1) |
|
3.24. |
: |
2 + 2 = 2, ( , |
|
|
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( − ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3.25. |
: |
{ = ∙ |
, 0 |
= |
|
|
|
|
3.26. |
: |
{ = (1 − ), |
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
II. Площадь поверхности
Найти площадь поверхности, заданной уравнением (№ 3.27 ÷ 3.36):
2
3.27. 2 − 6 + 3 − 6 = 0, заключенной между координатными плоскостями. 3.28. + + = 1, заключенной между координатными плоскостями.
3.29. |
|
= , заключенной внутри тела: { |
2 + 2 = 1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
≥ 0, ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.30. |
|
= , заключенной внутри тела: |
{ |
2 + 2 = 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
≥ 0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.31. |
|
= 2 |
+ 2, ограниченной плоскостью = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3.32. |
|
= √ 2 + 2, |
ограниченной плоскостью = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, заключенной внутри цилиндра 2 + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3.33. |
|
= √ 2 |
+ 2 |
= 4 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ≤ 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
3.34. |
|
= √ 2 |
+ 2 |
, заключенной внутри тела 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 = 9. |
|||||||||||||||||||||||||||
3.35. |
|
= √25 − 2 − 2 |
, заключенной внутри цилиндра 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2 = |
2 |
|
|
|||||
3.36. |
|
|
+ |
+ |
|
|
, заключенной внутри тела: { |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
4 . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
||||
III. Поверхностные интегралы 1 рода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вычислить поверхностный интеграл 1 рода по указанной поверхности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(№ 3.37 ÷ 3.46): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + = 2, ≥ |
||||||||||
3.37. |
|
|
, |
|
: { ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 |
|
|
3.38. |
|
, : |
{ ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 |
||||||||||||||||||||||||||
3.39. |
|
|
|
( + ) , : { |
2 + 2+ 2 = 2 |
|
3.40. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2+ 2 = 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + ) , : { |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0, ≥ 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3.41. |
|
|
( + + ) , |
: { |
2 + 2+ 2 = 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.42. |
|
|
( + + ) , |
: { |
|
2 + 2+ 2 = 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3.43. |
|
|
( 2 |
+ 2) , |
: 2 + 2+ 2 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 |
+ 2) , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3.44. |
|
|
– граница тела: |
√ 2 + 2 |
≤ ≤ 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3.45. |
|
|
|
|
, |
: { ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( + + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + ≤ 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
3.46. |
|
|
|
|
, |
|
- граница тела: { ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( + + 1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложения в механике |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.47. Найти массу поверхности куба : |
0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1, если известна |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхностная плотность = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3.48. Найти массу параболической оболочки : |
2 = 2 + 2, 0 ≤ ≤ 1, если известна |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхностная плотность = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.49. Найти массу полусферы : |
2 |
+ 2+ 2 |
= 2, ≥ 0, если поверхностная плотность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
равна = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.50. Найти статические моменты , |
, |
|
|
однородной треугольной пластины |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
: + + = , ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 |
( > 0) относительно координатных плоскостей. |
3.51. Определить координаты центра тяжести ( 0, 0, 0) однородной параболической оболочки : = 2 + 2, 0 ≤ ≤ 1.
3
3.52. Определить координаты центра тяжести (0, 0, 0) части однородной поверхности: = √2 + 2, вырезанной поверхностью 2 + 2 = 2.
3.53. Найти момент инерции части однородной боковой поверхности конуса
: = √2 + 2, 0 ≤ ≤ 2 относительно оси .
3.54. Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки
: 2 + 2+ 2 = 2, ≥ 0 относительно оси .
3.55. Найти моменты инерции , , однородной треугольной пластинки: + + = 1, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 относительно координатных плоскостей.
3.56. Найти момент инерции 0 относительно начала координат однородной полной поверхности цилиндра : 2 + 2 ≤ 4, 0 ≤ ≤ 3.
IV. Поверхностные интегралы 2 рода
Вычислить поверхностные интегралы 2 рода по указанным поверхностям (а, б, в, г):
+ + =
а) по поверхности : { ≥ , ≥ , ≥ в направлении вектора ,
образующего острые углы с осями координат (№ 3.57 ÷ 3.60):
3.57. 7 + 8 + 9
|
3.58. |
|
602 |
|
|
|
3.59. |
802 |
|
|
3.60. |
12 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
по поверхностям в направлении вектора , |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
образующего острый угол с осью (№ 3.61 ÷ 3.63): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.61. : { |
2 + 2 + 2 |
= 2 |
3.62. |
: { |
2 + 2 |
+ 2 = 2 |
3.63. : { |
2 |
+ 2 + 2 = 2 |
||||||||||||||||||||||||||
≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 |
≤ 0, ≤ 0, ≤ 0 |
|
|
|
≥ 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
в) |
|
( − ) + ( − ) + ( − ) по поверхностям |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в направлении вектора , образующего тупой угол с осью (№ 3.64 ÷ 3.66): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.64. : { |
|
= √2 |
+ 2 |
|
|
3.65. |
: { |
= √2 + 2 |
|
|
3.66. : { |
= √2 + 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
≥ 0, ≥ 0, ≤ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0, ≤ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0, ≤ 1 |
||||||||||||||||||
г) по внешней стороне замкнутых поверхностей (№ 3.67 ÷ 3.72): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3.67. |
, : |
|
2 + 2 |
+ 2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3.68. |
|
, : |
|
|
+ |
|
+ |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3.69. |
|
|
+ + , : 2 + 2 |
+ 2 = 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.70. + + , |
- граница тела: |
{ |
2 |
+ 2 |
+ 2 = 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.71. |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
- граница тела: |
2 |
+ 2 + 2 = 1 |
||||||||||||||||
|
+ |
+ |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.72. |
2 |
+ 2 + 2 , |
|
- граница тела: { 2 |
+ 2 + 2 = 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.1. кас: |
|
− 2 |
= |
− 4 |
|
= |
|
− 8 |
, |
|
: + 4 + 12 − 114 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
4 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.2. кас: |
|
− |
1 |
|
|
= − |
|
1 |
|
|
= − |
1 |
, : 12 + 12 + 12 − 13 = 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
3 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.3. кас: |
|
− 2 |
= |
+ 2 |
|
= |
|
− 2 |
, |
|
: − + 2 − 8 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.4. кас: |
|
− |
= |
|
|
2 |
|
|
= − √2, |
: |
√2 − = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.5. кас: |
|
= = |
|
+ 2 |
, |
|
: + + 4 − 10 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3.6. кас: |
|
− 2 = 2√3( − 2√3) = 3 − , |
|
: |
|
2√3 + − 2√3 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3.7. √7 |
3.8. |
|
5 |
|
|
|
3.9. |
|
|
: 2 − 4 − − 5 = 0, |
|
нор: |
− 1 |
= |
+ 2 |
= |
− 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
−4 |
|
|||||||||
3.10. : |
2 + 2 − − 1 = 0, |
|
|
нор: |
|
− 2 |
= |
|
+ 1 |
= |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.11. : |
+ + 1 = 0, |
|
нор: |
|
= |
− 1 |
|
= + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.12. : |
2 − 2 + = 0, нор: |
− 2 |
= |
− 4 |
= |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.13. : |
2 + 2 − − 9 = 0, |
|
|
нор: |
|
− 2 |
= |
|
− 2 |
= |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.14. : |
2 + + 2 − 8 = 0, |
|
|
нор: |
|
− 1 |
= |
|
+ 2 |
= |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.15. : |
3 + 4 − 6 = 0, |
нор: |
− 4 |
= |
− 3 |
|
= |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.16. : |
+ √3 − 2 = 0, |
нор: |
− |
|
|
− |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
√3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.17. ( |
√ |
10 |
) |
|
|
3.18. ( |
√21 |
) 3.19. 0 |
|
3.20. |
|
|
|
|
|
3.21. кас: |
= 3 , нор: |
= − |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
3.22. кас: |
= − 1, |
|
|
нор: |
|
= − + 1 |
|
|
|
|
3.23. кас: + − 2 = 0, |
нор: − = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.24. |
кас |
: |
∙ |
|
+ ∙ |
|
= 2, |
|
|
нор |
: ∙ |
− ∙ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3.25. кас: 2 + − |
|
2 |
= 0, нор: − 2 + = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.26. кас: |
− + (2 − |
|
|
) = 0, |
|
|
нор: |
+ − |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.27. |
3,5 |
|
3.28. |
√ |
2 2 + 2 2 + 2 2 |
|
|
|
|
3.29. |
|
(2√2 − 1) |
|
|
3.30. |
(10√10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.31. |
|
(5√5 − 1) |
|
|
|
3.32. √2 |
3.33. 4 √2 |
|
|
|
3.34. √2 |
|
3.35. |
|
10 |
3.36. 2(2 − √3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.37. |
|
√ |
3 |
|
|
|
|
3.38. |
|
2√ |
3 |
|
|
|
|
|
3.39. |
|
|
|
3 |
|
|
3.40. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.41. |
3.42. |
|
3 |
|
|
3.43. |
|
|
8 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − √ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.44. |
|
(1 + √2) |
|
|
|
3.45. |
|
√3 ( 2 − |
|
|
3.46. |
|
+ (√3 − 1) 2 |
3.47. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
√3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.48. |
|
(6√3 + 1) |
|
|
3.49. |
|
|
|
|
|
|
3.50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25√5 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.51. |
|
|
|
|
|
= |
= 0, |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
3.52. |
|
|
= 1, |
|
|
|
|
= 0, |
|
= |
|
|
3.53. 8 √2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
10(5√5 − 1) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.54. |
|
4 |
4 |
3.55. |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
= |
√3 |
|
|
|
3.56. |
136 |
3.57. 1 |
|
|
3.58. |
1 |
|
|
|
3.59. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.60. |
|
1 |
|
|
|
|
|
3.61. |
3 |
|
|
|
|
3.62. |
− |
|
3 |
|
|
|
|
3.63. 6 |
|
|
|
3.64. 0 |
|
|
|
3.65. |
|
4 |
|
|
3.66. − |
|
4 |
|
|
|
|
3.67. |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.68. |
4 |
|
3.69. |
4 3 |
|
|
3.70. 2 |
3.71. |
|
|
3.72. |
|
− |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|