ИЭ / 4 семестр / Теория и задачи / Кратные интегралы задачи
.pdfКратные интегралы
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Вычислить повторные интегралы (№ 1.1 ÷ 1.6): |
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1.1. ∫2 |
∫1( 2 + 2 ) |
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1.2. ∫4 ∫2 |
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1.3. ∫1 |
∫1 |
2 |
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0 |
0 |
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3 |
1 ( + )2 |
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0 |
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0 1 + 2 |
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2 |
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2 |
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3 |
5 |
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1 |
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√1− 2 |
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( + 2 ) 1.6. |
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√1 − 2 − 2 . |
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1.4. ∫ |
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∫ |
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1.5. ∫ |
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∫ 2 |
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∫ |
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∫ |
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2 |
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−4 |
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1 |
⁄2 |
−3 |
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0 |
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0 |
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Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле |
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( , ) |
для указанных областей двумя способами (№ 1.7 ÷ 1.14): |
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1.7. - прямоугольник , где |
(0; 0), (2; 0), |
(2; 1), (0; 1). |
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1.8. - треугольник , |
где (0; 0), (1; 0), (1; 1) |
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1.9. - трапеция , где (0; 0), (0; 1), (1; 1), (2; 0). |
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1.10. - параллелограмм , где |
(1; 0), (1; 3), |
(2; 5), (2; 2). |
1.11. – круговой сектор с центром в точке (0; 0), у которого концы дуги
(1; 1) и (−1; 1).
1.12. – параболический сегмент с осью , ограниченный параболой с вершиной (0; 0) и отрезком прямой , соединяющим точки (−1; 2) и (1; 2). 1.13. – круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов = 1 и = 2, с
общим центром (0; 0).
1.14. – область, содержащая начало координат, ограниченная гиперболой
2 − 2 = 1 |
и окружностью 2 |
+ 2 = 9. |
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Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах |
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(№ 1.15 ÷ 1.24): |
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1.15. |
∫2 ∫6 2 |
( , ) |
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1.16. ∫1 |
∫3 ( , ) |
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0 |
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3 |
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0 |
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2 |
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√ |
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∫ |
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2− 2 |
( , ) |
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∫ |
√2 − 2 |
( , ) |
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1.17. |
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∫ 2− 2 |
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1.18. ∫ |
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0 |
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⁄2 |
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0 |
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|||||||
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2 |
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1.19. ∫2 |
∫√ |
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1.20. ∫1 |
∫1− |
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4 |
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( , ) |
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( , ) |
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2 |
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|
2 |
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0 |
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√2 − |
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0 |
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−√1− |
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√2 |
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1 |
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√3− 2 |
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1 |
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√1− 2 |
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1.21. |
∫ |
|
∫ 2 |
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( , ) 1.22. ∫ 2 |
∫ |
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( , ) + ∫√ |
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∫ |
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( , ) |
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2 |
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0 |
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0 |
|
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|
0 |
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|
2 |
0 |
|
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|||||||
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|
2 |
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1.23. |
∫ |
1 |
∫ |
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( , ) + ∫ |
√2 |
∫ |
√2− 2 |
( , ) |
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0 |
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|
0 |
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1 |
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0 |
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1.24. ∫√3 |
∫0 |
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2 |
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( , ) |
+ ∫2 |
∫0 |
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( , ) |
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−2 |
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2 |
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0 |
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√4− |
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√3 |
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−√4− |
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Вычислить двойные интегралы (№ 1.25 ÷ 1.44): |
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1.25. |
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, где – треугольник с вершинами |
(0; 0), (0; 1), |
(1; 1). |
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1.26. |
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, где область ограничена прямой, проходящей через точки |
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(0; 2), (2; 0), |
и правой полуокружностью с центром в точке (0; 1) радиуса 1. |
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1.27. |
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, где – часть круга радиуса с центром в точке |
(0; 0), |
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|
√ |
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2− 2− 2 |
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лежащая в первой четверти. |
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1.28. |
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√ 2 − 2 , где – треугольник : |
(0; 0), (1; −1), (1; 1). |
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2 |
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1.29. |
√ − 2 , где – треугольник : (0; 0), (10; 1), (1; 1). |
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1.30. |
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⁄ |
, где – криволинейный треугольник, ограниченный параболой |
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= 2 |
и прямыми = 0, = 1. |
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1.31. |
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, где – параболический сегмент, ограниченный параболой |
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2 + 2 |
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= |
2 |
и прямой = . |
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2 |
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1.32. |
2 , где область ограничена параболой 2 = 2 и прямой = . |
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|
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|
1.33. D (6 + 243 3) , ограничена линиями: = 1, = −2, = √ |
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. |
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|
1.34. D |
(4 + 32 2) , ограничена линиями: = 1, = 2, = − √ |
|
. |
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|
|
|
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|||
|
(4 + 1763 3) , ограничена линиями: = 1, = −3, = √ |
|
|
|
. |
|
|||||
1.35. D |
|
||||||||||
|
(24 + 182 2) , ограничена линиями: = 1, = 3, = − 3√ |
|
. |
|
|
||||||
1.36. D |
|
||||||||||
1.37. |
3, |
ограничена линиями: |
− + 4 = 0, = 0, 2 − 2 = 0. |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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1.38. |
24 ( + 2) , ограничена линиями: + 3 − 4 = 0, = 0, = √ |
|
. |
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1.39. |
24 , ограничена линиями: − 2 + 2 = 0, = 0, 2 + 2 = 4. |
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|
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|
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|
|
|
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|
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1.40. |
8 , |
ограничена линиями: |
2 − + 2 = 0, = 0, 2 − 2 = 4. |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.41. |
2 , |
ограничена линиями: |
3 + 2 = 12, = 0, − 2 = 0. |
||||||||
1.42. |
102 , ограничена линиями: + = 6, = 2, = 0 ( ≥ 0). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.43. |
, где ограничена: = 6 − 2, = 2 − 2, = 0, = 0 ( ≥ 0). |
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|
|
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|
|
|
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|
|
1.44. |
8 , где ограничена: = 1 + 2, 2 = 2, = 0, = 2 ( ≥ 0). |
||||||||||
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Вычислить двойные интегралы, переходя к полярным координатам
(№ 1.45 ÷ 1.54):
1.45. √2 + 2 , где – первая четверть круга радиуса с центром в начале координат.
1.46. , где – верхний полукруг диаметра с центром в точке (2 ; 0)
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1.47. √2 |
− 2 − 2 |
, где – верхний полукруг радиуса с центром в |
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|
|
начале координат |
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||||||
1.48. |
(2 |
+ 2) , где – круг 2 |
+ 2 ≤ 2 |
|
|
|
||||||||||
1.49. |
|
|
|
|
, : 2+ 2 ≤ 2 1.50. |
|
, : |
9 ≤ 2+ 2 ≤ 25 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
D 2+ 2 |
|
|
|
|
|
|
2+ 2−1 |
|
|
|
||||||
1.51. ( + ) , |
: { |
2+ 2 ≤ 4 |
1.52. , |
: { |
2+ 2 ≤ 2 |
|||||||||||
|
|
|
≥ |
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− √3 ∙ ≥ 0 |
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D |
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||||
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|||
1.53. D |
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|
6 |
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, |
: { |
2+ 2 ≤ 2 |
1.54. D , : { |
2+ 2 ≤ 4 |
|||||||
√ |
|
|
|
|
≤ |
|
≤ |
|||||||||
2 + 2 |
|
Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями
(№ 1.55 ÷ 1.64):
3
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|||
1.55. + = 2, = √ , = 12 , = 0 |
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|||||||||||||||
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|
|
|
15 |
, = 0 |
|
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||||||||
1.56. 2+ 2 = 8, = √2 |
, = 0, = |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
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|
|
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|
|
||
1.57. 2 |
+ 2 |
+ 4 = 0, = 8 − 2, = 0 |
|
|
|
|||||||||||||
1.58. 2 |
+ 2 |
= 4 , = 4 − 2, = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.59. = 2 2 |
− 1, = 1, = 2 − 5 2 |
|
− 3, = 2 − 5 2 − 6 |
|
|
|
||||||||||||
1.60. = 2 2 |
− 3, = −7 2 + 6, = 1 + √ |
2 + 16 2 |
, = −3 + √ |
2 + 16 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 = 2 + 2 |
|||||||||||
1.61. = 3√ |
2 + 2 |
, = 10 − 2 − 2 |
|
1.62. = √36 − 2 − 2, |
||||||||||||||
1.63. = 2 − 4( 2 + 2), = 8 + 2 |
1.64. = 10( 2 + 2) + 1, |
= 1 − 20 |
Вычислить тройной интеграл по пространственной области ,
ограниченной заданными поверхностями (№ 1.65 ÷ 1.76): |
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1.65. Ω 24( + 2 ) , |
Ω: = 0, = 0, = 0, + = 1, = + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.66. Ω (3 + 4 ) , |
|
|
|
Ω: |
= 1, = 0, = 0, = , = 5( 2 |
+ 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.67. Ω (1 + 2 3) , |
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||||||||||||||||||||||
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|
Ω: |
= 1, = 0, = 0, = 3 , = √ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.68. Ω , Ω: = 1, = 0, = 0, = 3 , = |
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|
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|
|
|
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1.69. Ω (3 2 + 2) , |
Ω: = 0, = 0, = 0, + = 1, = 10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.70. Ω (15 + 30 ) , |
Ω: = 1, = 0, = 0, = , = 2 |
+ 3 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.71. Ω (4 + 8 3) , |
|
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|
Ω: |
= 1, = 0, = 0, = , = √ |
|
|
|
|
|
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1.72. Ω 21 , |
Ω: |
|
|
= 2, = 0, = 0, = , = |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.73. ( 2 |
|
+ 3 2) , |
Ω: = 0, = 0, = 0, + = 1, = 10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ω |
|
|
|
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1.74. |
|
2 , Ω: = 2, = 0, = 0, = 3 , = |
|
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Ω |
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1.75. |
|
( + ) , |
Ω: |
= 1, = 0, = 0, = , = 30 2 + 60 2 |
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Ω |
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|
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1.76. Ω 2 , Ω: |
= 0, = 0, = 0, + = 1, = 10( + 3 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить объем тела , переходя к сферическим координатам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(№ 1.77 ÷ 1.88): |
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4 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 64 |
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1 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 36 |
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||||||||||
1.77. Ω: { |
|
|
|
− √3 ≤ ≤ 0 |
|
|
|
1.78. Ω: { − √3 ≤ ≤ √3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
≥ |
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
√ 2+ 2 ≤ ≤ |
√ 2+ 2 |
|
|
|
√ 2+ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
√15 |
|
|
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|
|
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|
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|
|
√3 |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
√99 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 64 |
|
|
|
|
16 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 100 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ ≤ 0 |
|
|
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|
|
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1.79. Ω: { |
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
1.80. Ω: { |
|
|
|
|
|
√3 ≤ ≤ 0 |
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|
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
√ |
|
|
|
|
|
|
≤ ≤ |
1 |
√ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√ |
2+ 2 |
≤ ≤ |
√ |
2+ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2+ 2 |
2+ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√35 |
|
√3 |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
15 |
|
|
|
|
√3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 81 |
|
|
|
36 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 100 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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1.81. Ω: { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ ≤ − |
|
|
|
|
|
|
1.82. Ω: |
|
|
≤ ≤ √3 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
√ 2+ 2 ≤ ≤ |
|
|
|
|
√ 2+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
≥ |
|
√ |
2 |
+ |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
√35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√63 |
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
9 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 81 |
|
|
49 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 169 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.83. Ω: |
|
|
≤ |
1 |
|
, |
|
|
≤ 0 |
1.84. Ω: |
|
|
|
|
|
≥ |
1 |
, |
|
|
≥ 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
≤ ≤ 0 |
||||||||||||||||||||||||||
{ 0 ≤ ≤ |
|
√ 2+ 2 |
{ |
2+ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
√24 |
|
|
|
|
|
√24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
16 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 100 |
|
|
|
|
|
|
64 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 196 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.85. Ω: { |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.86. Ω: { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ ≤ √3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
√ |
|
|
|
≤ ≤ |
−1 |
|
√ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√ |
2+ 2 |
≤ ≤ |
√ |
2+ 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2+ 2 |
2+ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√15 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
64 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 144 |
|
|
16 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 100 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.87. Ω: |
|
|
|
0 ≤ ≤ |
1 |
|
1.88. Ω: |
|
|
|
|
|
≤ 0, ≤ − |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ ≤ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{ |
|
|
|
≥ |
|
√ 2+ 2 |
{ |
|
|
|
|
√ 2+ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√63 |
|
|
|
|
|
√24 |
|
|
|
|
Приложения в механике
I. Двойные интегралы.
Пластинка D ограничена заданными линиями. Найти массу пластинки, если
известна поверхностная плотность (№ 1.89 ÷ 1.92): |
|
|
|
|
||||
1.89. |
: = 1, = 0, 2 = 4 ( ≥ 0), = 7 2 + |
|
|
|
||||
1.90. |
: 2+ 2 = 1, 2+ 2 = 4, = 0, = 0 |
( ≥ 0, ≥ 0), = |
|
+ |
|
|||
2 + 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
1.91. |
: = |
1 |
, = 0, 2 = 2 ( ≥ 0), = 4 + 9 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||
1.92. |
: 2 + 2 = 9, 2+ 2 = 4, = 0, = 0 |
( ≤ 0, ≥ 0), = |
|
− 2 |
||||
|
2 + 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1.93. Найти массу круглой пластинки радиуса , если плотность ее пропорциональна расстоянию точки от центра и равна 3 ед. на краю пластинки.
1.94. Найти массу квадратной пластинки со стороной , если плотность ее пропорциональна расстоянию точки от одной из вершин квадрат и равна 3 ед. в центре квадрата.
1.95. Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами = 3 и = 4, причем плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от большего катета. Найти статические моменты и пластинки относительно катетов треугольника.
Найти координаты центра тяжести ( 0, 0) однородных пластинок, ограниченных
следующими кривыми (№ 1.96 ÷ 1.102): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.96. |
= 2, + = 2 |
|
1.97. 2 = 4 + 4, |
|
2 = −2 + 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||
1.98. |
√ + √ = √ , |
= 0, = 0 |
1.99. |
|
|
+ |
|
= |
|
, ≥ 0, ≥ 0 |
|||||||||||
3 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||
1.100. = 6( − ), = 6(1 − ), |
[0; 2 ], |
= 0 |
|||||||||||||||||||
1.101. |
= , [− |
|
; |
|
] |
|
1.102. = 18∙(1 + ), = 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найти моменты инерции |
и относительно осей координат однородных фигур, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограниченных следующими кривыми: (№ 1.103 ÷ 1.104): |
|
|
|||||||||||||||||||
1.103. |
+ = 2, = 2, = 2 |
1.104. 2 |
+ 2 = 9, 2+ 2 = 1 |
5
Найти момент инерции 0 относительно начала координат однородных фигур, ограниченных следующими кривыми (№ 1.105 ÷ 1.108):
1.105. = , = , = 0, = 0 |
( > 0) |
1.106. 2 + 2 = 16, |
2+ 2 = 4 |
|
1.107. = ∙(1 + ) |
|
|
|
|
|
1.108. = ∙√cos 2 |
|
II. Тройные интегралы.
Тело Ω ограничена заданными поверхностями. Найти - массу тела, если плотность в точке ( , , ) равна (№ 1.109 ÷ 1.112):
1.109. Ω: 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 3, = + + |
||||
1.110. Ω: 2 |
+ 2+ 2 = 4, + = 2 |
( ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0), Ω, = 3 |
||
1.111. Ω: 2 |
+ 2 |
= |
4, 2+ 2 = 4 , |
= 0, = 0, = 0 ( ≥ 0, ≥ 0), = 5 |
1.112. Ω: 2 |
+ 2 |
= |
2, 2+ 2 = , = 0, = 0 ( ≥ 0, ≥ 0), = 35 |
Найти координаты центра тяжести ( 0, 0, 0) однородных тел, ограниченных поверхностями (№ 1.113 ÷ 1.115):
1.113. 16 2+ 16 2 = 2, = 4 1.114. 2+ 2 = , + = 1, = 0, = 0, = 0
1.115. 2 + 2 + 2 = 1, = 0, = 0, = 0
4 16 64
1.116. Найти момент инерции прямого кругового цилиндра, высота которого и радиус основания , относительно оси, проходящей через диаметр основания.
1.117. Найти момент инерции неоднородного шара 2 + 2 + 2 ≤ 2 массы относительно оси его диаметра, если плотность шара в точке пропорциональна расстоянию этой точки от центра шара.
Найти моменты инерции |
|
, , |
|
относительно координатных плоскостей |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
однородных тел, ограниченных поверхностями (№ 1.118 ÷ 1.120): |
||||||||||||||||||||||
1.118. |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
= 1, = 0, = 0, |
= 0 |
|
|
|||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
||||||
1.119. |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
= 1 |
1.120. |
|
|
+ |
|
= |
|
, = 5 |
||||
1 |
9 |
|
|
1 |
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
25 |
Ответы
1.1. 4 |
|
2 |
|
|
1.2. |
|
|
25 |
|
|
1.3. |
|
|
|
|
|
1.4. 1,5 |
|
1.5. |
|
50,4 |
|
|
|
1.6. |
|
|
|
|
|
1.7. ∫1 |
∫2 = ∫2 |
|
∫1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
24 |
|
|
12 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||
1.8. |
∫1 |
|
∫1 |
|
= ∫1 ∫ |
|
|
1.9. ∫1 |
∫1 |
+ ∫2 ∫2− |
= ∫1 |
∫2− |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.10. |
|
|
∫ |
∫ |
= |
∫ |
|
∫ |
2 + ∫ |
∫ |
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
2 −2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
√2− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
√2− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
√2− 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.11. |
|
|
|
|
∫0 |
∫− |
+ ∫1 |
|
∫−√2− 2 |
= ∫−1 |
|
∫− |
|
|
|
|
|
+ |
∫0 |
∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1.12. |
|
|
|
|
∫1 |
∫2 |
2 = |
∫2 |
|
|
∫√ ⁄2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−√ ⁄2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
√4− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−√1− 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
√4− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
√4− 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1.13. |
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−2 |
|
−√4− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
−√4− |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
√1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−√4− |
|
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
√4− 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−√1− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
√4− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
√4− 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫−2 |
∫−√4− 2 |
+ ∫−1 |
|
∫−√4− 2 |
|
|
+ |
∫−1 ∫√1− 2 |
|
+ |
∫1 |
∫−√4− 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.14. ∫ |
−2 |
∫ |
√9− 2 |
+ |
∫ |
2 |
|
|
∫ |
√1+ 2 |
|
+ ∫ |
3 |
|
|
∫ |
√9− 2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−3 |
|
|
|
|
−√9− |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
−√1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−√9− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
√ |
2−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
√9− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
√9− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−√ |
2−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫−√ |
|
∫−√9− 2 |
|
+ ∫−√ |
|
∫−√ |
|
|
|
+ ∫−1 |
∫−√9− 2 |
|
+ |
∫1 |
∫−√9− 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
2−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.15. |
|
∫12 ∫√ ⁄3 |
|
|
1.16. |
|
∫2 |
∫ ⁄2 |
+ ∫3 |
∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
⁄6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
⁄3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
⁄3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
⁄2 |
|
|
|
|
|
√ |
2− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
2− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1.17. |
|
∫0 |
|
|
∫√ |
|
|
|
+ |
∫ ⁄2 ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.18. |
|
∫ √ |
3⁄2 ∫ |
|
|
|
+ |
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄2 |
|
|
|
|
√3⁄2 |
|
|
|
|
|
|
−√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.19. |
|
∫ |
|
∫ |
−√ |
2− 2 |
+ |
∫ |
|
∫ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∫ |
2√2 |
∫ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
⁄4 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
⁄4 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+√ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.20. ∫−01 ∫0√1− 2 + ∫01 ∫01−
1.21. ∫01⁄2 ∫0√2 + ∫1√⁄22 ∫01 + ∫√√23 ∫0√3− 2
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
2⁄2 |
|
|
|
|
|
|
|
√1− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
√2− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
√4− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.22. |
|
∫0 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.23. ∫0 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.24. |
|
∫−1 ∫√− 2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.25. |
|
1 |
|
|
|
1.26. |
|
1 |
|
1.27. |
|
|
|
|
1.28. |
|
|
1.29. |
6 |
1.30. |
|
1 |
|
|
1.31. |
|
2 |
1.32. |
|
|
8√2 |
5 |
|
|
1.33. |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2 |
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|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1.34. |
0 |
|
|
1.35. |
|
|
5 |
|
|
1.36. |
|
−1 |
|
1.37. −14 |
1.38. |
61 |
|
|
|
|
|
1.39. |
27 |
|
|
|
1.40. |
|
−9 |
1.41. 3 |
1.42. 704 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.43. |
8 |
|
|
1.44. |
|
18 |
|
|
1.45. |
|
|
3 |
|
|
1.46. |
|
|
|
3 |
|
1.47. |
|
3 |
|
|
1.48. |
|
|
3 4 |
|
|
|
|
1.49. |
|
|
|
|
|
|
|
1.50. |
∙ 3 |
|
|
1.51. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
12 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 − √3) |
|
|
1.52. |
|
1.53. |
|
8 − 5√2 |
|
|
1.54. |
|
|
1.55. |
|
5 |
|
|
|
1.56. |
8 |
|
|
|
1.57. 28 |
|
|
1.58. |
|
12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.59. |
8 |
|
|
1.60. |
|
|
48 |
|
|
1.61. |
|
16 |
|
|
1.62. |
85,5 |
|
|
1.63. |
|
2 |
|
|
1.64. |
5 |
1.65. |
9 |
1.66. |
7 |
|
|
1.67. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4√ |
3 |
|
1.68. |
|
|
1,8 |
|
|
|
1.69. |
|
1 |
|
|
|
1.70. |
18 |
|
1.71. 1 |
1.72. 64 |
|
|
|
1.73. |
1 |
|
|
1.74. |
144 |
1.75. |
16 |
|
|
|
1.76. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
1.77. 14 |
|
|
|
1.78. |
|
43 |
|
|
1.79. |
|
28 |
1.80. |
|
26 |
|
1.81. |
|
39 |
1.82. |
|
49 |
|
|
|
|
|
1.83. 39 |
|
|
1.84. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
103 |
1.85. |
|
52 |
|
|
1.86. |
|
62 |
1.87. |
76 |
1.88. |
|
|
52 |
|
1.89. |
5 |
|
|
1.90. |
|
2 |
|
|
|
|
|
1.91. 1 |
1.92. |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.93. 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.96. = − |
1 |
, |
|
|
|
= |
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1.94. |
2√2 |
∙ (√2 |
+ (1 + √2)) |
1.95. |
|
|
= 6, |
|
|
|
= 9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.97. |
|
0 |
= |
|
2 |
, |
|
0 = 0 |
|
|
|
|
1.98. 0 |
= 0 |
|
= |
|
|
|
1.99. 0 |
|
= 0 |
= |
|
256 |
∙ |
|
|
|
|
1.100. 0 |
|
= 6 , |
|
0 = 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
315 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.101. |
|
= |
4√2 |
|
∙ |
|
, |
= 0 |
|
|
|
|
1.102. |
|
|
= 15, |
= |
32 |
|
|
|
|
|
1.103. |
|
|
|
|
= |
|
= 4 |
|
|
|
1.104. |
= = 20 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
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1.105. |
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= |
2 |
4 |
1.106. |
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= 120 |
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1.107. |
= |
35 |
4 |
1.108. |
|
|
= |
|
4 |
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1.109. = 18 |
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0 |
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3 |
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0 |
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0 |
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16 |
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0 |
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8 |
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1.110. = 8 |
|
|
|
1.111. = 8 |
1.112. |
|
= 1 1.113. (0, 0, 3) |
|
1.114. ( |
2 |
, |
|
2 |
, |
|
7 |
) 1.115. ( |
3 |
|
, |
3 |
, 3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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5 |
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4 |
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5 |
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30 |
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|
2 |
|
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||||||||||||||
1.116. 2 ( |
2 |
|
+ |
2 |
) |
|
1.117. |
|
4 |
2 |
|
|
1.118. |
|
= 6 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
= 1 |
3 |
, |
|
|
= 3 |
3 |
|
|
|
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4 |
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|
3 |
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9 |
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5 |
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5 |
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5 |
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1.119. |
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|
= 100 , |
|
= 36 , |
|
|
|
= 4 |
|
1.120. |
|
|
= 50 , |
|
|
|
|
|
= 2 , |
|
|
|
|
= |
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2 |
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