Лекція 12 Лишки

f z an z

z0 n , 0

z z0

R .

n

Коефіцієнт a 1 , який стоїть при

z z0 1 в цьому ряді називається лиш-

ком функції

f z відносно точки z0 і позначається resf z0 або

res f z . Цей

z z0

коефіцієнт за формулою (5.8) при n 1 дорівнює

a 1

1

f z dz,

2 i

L

де L –

деяке додатно орієнтовне коло з центром в точці

z0 , радіуса

R .

resf z0

1

f z dz,

(6.1)

2 i L

Зауваження. Якщо z0 – ізольована особлива точка функції

f z , то

Теорема. Якщо однозначна функція

f z аналітична всередині замкнуто-

го контура L , і аналітична на контурі L крім скінченного числа внутрішніх ізо-

льованих особливих точок zk ,

k 1,2,...,n,

то інтеграл від функції

f z по кон-

туру L дорівнює добутку 2 i

на суму лишків функції f z відносно особливих

точок zk , тобто

n

f z dz 2 i resf zk .

(6.2)

L

k 1

контура L (рис.6.1) і resf zk ,

k 1,2,...,n –

лишки

f z відносно них. Позна-

чимо через C1 ,C2 ,...,Cn

– кола навколо точок z1 , z2 ,...,zn , відповідно, які лежать

всередині контура L і не перетинаються. Тоді за наслідком 2 з теореми Коші,

формули (4.5), маємо

f z dz 2 i resf zk

f z dz f z dz 2 i 1

n

n

n

L

k 1 C

k

k 1 2 i

C

k

k 1

12.3. Обчислення лишків

Лишок відносно скінченної

усувної особливої точки.

В цьому випадку в

лорановому розкладі коефіцієнти an

0 для n 1, 2,.... . Тому

resf z0 a 1

0,

де z0 – усувна особлива точка функції f z . Цей самий результат ми діс-

тали б, якби обчислювали лишок з формулою (6.1).

Лишок відносно полюса. Нехай z0

– простий полюс функції f z . Тоді

лорановий розклад функції f z в околі точки z0 z z0 матиме вигляд

a 1

n

f z

an z z0 ,

z z0

n 0

звідки

z z0 f z a 1 z z0 an z z0

n

n 0

і тому

resf z0 a 1 lim z z0 f z .

(6.3)

z z0

Нехай функція f z дорівнює частці двох функцій, аналітичних в околі

точки z0 , яка є простим нулем функції z :

f z

z , де z0 0, z0 0, z0 0.

z

За теоремою 2 п.5.3 точка

z0

є простим полюсом функції

1

, а отже і

z

функції f z z , оскільки z

0.

z

0

Звідси і з формули (6.3) маємо

resf z

lim z z

z

lim

z

z0

.

z z0

0

z z0

0

z

z z0

z0

resf z

z0

,

(6.4)

z0

0

де f z

z , z

– простий нуль функції z ,

z

0.

z

0

0

Нехай z0

– полюс порядку m. Тоді лорановий розклад функції

f z в

околі точки z0

z z0 має вигляд

a m

a m 1

a 1

n

f z

...

an z z0 .

z z0 m

z z0 m 1

z z0

n 0

Звідси

z z0 m f z a m a m 1 z z0 ... a 1 z z0 m 1

z z0 n

z z0 m an

n 0

.

Якщо m 1 – раз продиференціювати цю рівність, то одержимо

d

m 1

n m 1

z z0 m f z m 1 !a 1 z z0

m an z z0

dz m 1

n 0

і тому

resf z

a

1

lim

d

m 1 z z

0

m f z

,

(6.5)

dz m 1

0

1

m 1 ! z z0

де z0 – полюс порядку m функції

f z .