Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

установившегося режима до коммутации, определение начальных условий,

составление и решение характеристического уравнения, определение принуж-

денных и свободных составляющих и расчет входящих в конечные уравнения постоянных из начальных условий.

Детальный расчет апериодического, колебательного и граничного режи-

мов применительно к электрической цепи с источником постоянного напряже-

ния будет приведен в п. 2.3.1, 2.3.2 и 2.3.3.

2.3.1. Апериодический режим в цепи с источником постоянного напряжения

Условие задачи: определить токи во всех ветвях схемы, приведен-

ной на рис. 22, и напряжение на емкости после замыкания ключа.

Исходные параметры: U = 140 В; R1 = 20 Ом; R = 15 Ом; L = 0,025 Гн;

С = 20 мкФ.

1. Установившийся режим до коммутации. Имеет место установив-

шийся режим постоянных токов (рис. 23).

40

При t = 0–

2. Дифференциальные уравнения описывают токи и напряжения с мо-

мента времени t = 0+, при этом R1 закорочено (рис. 24). i1

3. Принужденные составляющие находятся для установившегося режи-

ма, наступающего после переходного процесса (рис. 25).

4. Определение корней характеристического уравнения. Входное комплексное сопротивление схемы для послекоммутационного состояния (см.

рис. 24)

j C

41

Заменяя далее j на р и приравнивая полученный результат к нулю, по-

лучаем

корни которого р1 = – 785 с–1 ; р2 = – 2549 с–1 , следовательно, имеет место апе-

риодический переходный режим.

5. Определение постоянных. В результате расчета получены следующие

выражения для вычисления неизвестных:

Для определения постоянных А1 – А8 требуется предварительно вычис-

лить значения функций i1(0+), i2(0+), i3(0+), uC(0+) и производных i1(0+), i2(0+), i3(0+), uC (0+). Для этого необходимо обратиться к системе (137) и записать ее для t = 0+:

42

Для вычисления i2 0 и i3 0 продифференцируем первое и третье уравнения системы (137), запишем их при t = 0+ и подставим известные ве-

личины:

3200 i 0 i 0 0;

2 3

Ri2 0 0 0,

откуда

Затем выражения (143) и их производные записываются для момента времени t = 0+:

uC 0 uC пр 0 uC св 0 0 785 A7 2549 A8.

После подстановки начальных условий (145), (146), (148) и (149) в левые части уравнений (150) – (153) получаем

43

4 9,33 А1 А2;

3200 785 А1 2549 А2,

откуда А1 = – 5,89; А2 = 0,558; i1 = 9,33 – 5,89 e–785t + 0,558 e–2549t ;

4 9,33 А3 А4;

0 785А3 2549А4,

тогда А3 = – 7,71; А4 = 2,37; i2 = 9,33 – 7,71 e–785t + 2,37 e–2549t;

0 А5 А6;

3200 785 А5 2549 А6,

следовательно А5 = 1,82; А6 = – 1,82; i3 = 1,82 e–785t – 1,82 e–2549t ;

60 140 А7 А8;

0 785 А7 2549 А8,

откуда А7 = – 115,6; А8 = 35,6; uС = 140 – 115,6 e–785t + 35,6 e–2549t.

Построенная в соответствии с расчетом зависимость i1(t) приведена на рис. 26.

i1пр

A

A2ep2t

i

A1ep1t

t

Рис. 26. Зависимость тока i1 от времени при апериодическом режиме

2.3.2. Колебательный режим в цепи с источником постоянного напряжения

Условие задачи: определить токи во всех ветвях схемы на рис. 22, и

напряжение на емкости после замыкания ключа.

44

Исходные параметры: U = 140 В; R1= 20 Ом; R = 60 Ом; L = 0,025 Гн;

С= 20 мкФ.

1.Установившийся режим до коммутации (см. рис. 23):

140

I1 I2 20 60 1,75A;

uC 60 1,75 105B.

При t = 0–

2. Дифференциальные уравнения для послекоммутационного сос-

тояния схемы:

3. Принужденные составляющие определяются из рассмотрения устано-

вившегося режима, наступающего после переходного процесса (см. рис. 25):

uC пр 140 В.

45

4. Характеристическое уравнение при заданных значениях параметров

элементов

имеет корни

р1,2 = – 417 ± j1350 = – ± j св,

следовательно, имеет место колебательный переходный режим.

5. Определение постоянных. В результате расчета получены следующие выражения для вычисления неизвестных:

uC uC пр uC св 140 A4 е t sin свt 4 .

На этом этапе система (157) записывается для момента времени t = 0+ и

после подстановки параметров с учетом равенств

получаем:

Затем выражения для тока в индуктивности и напряжения на емкости и их производные записываются для момента времени t = 0+:

После подстановки начальных условий (162) – (164) в левые части урав-

нений (165), (166) получим:

46

1,75 2,33 А1sin 1;

1400 417 А1sin 1 1350 А1cos 1;

105 140 А4 sin 4;

0 417 А4 sin 4 1350 А4 cos 4,

i1 2,33 1,04 e 417t sin 1350t 34,1 A;

uC 140 36,4e 417t sin 1350t 72,9 B.

Остальные неизвестные определим из системы (157):

1,04e 417t sin1350t A пояснения см. в прил. 1 .

Построенная в соответствии с расчетом зависимость i1 t приведена на

рис. 27.

i1

A i1пр

i1св

i

t

Рис. 27. Зависимость тока i1 от времени при колебательном режиме

47

В этом примере показано, что достаточно определить постоянные для то-

ка в индуктивности и напряжения на емкости, а оставшиеся токи можно найти из дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

2.3.3. Граничный режим в цепи с источником постоянного напряжения

Условие задачи: определить токи во всех ветвях схемы, приведен-

ной на рис. 22, и напряжение на емкости после замыкания ключа.

Исходные параметры: U = 140 В; R1 = 20 Ом; R = 17,68 Ом; L = 0,025 Гн;

С= 20 мкФ.

1.Установившийся режим до коммутации (см. рис. 23):

uC 17,68 3,72 65,7B.

При t = 0–

i1(0–) = 3,72; uC 0 = 65,7 В.

2. Дифференциальные уравнения:

3. Принужденные составляющие (см. рис. 25):

48

140

i1пр 17,68 7,92 A;

uC пр = 140 В.

4. Характеристическое уравнение при значениях параметров элементов рассматриваемого примера имеет вид:

корни его:

р1,2 = – 1414 = р,

следовательно, имеет место граничный переходный режим.

5. Определение постоянных. В результате расчета получены следующие выражения для вычисления неизвестных:

i1 i1пр i1св 7,92 A1 A2t еp t;

i2 i2 пр i2 св 7,92 A3 A4t еp t;

(176)

i3 i3пр i3св 0 A5 A6t еp t;

uC uC пр uC св 140 A7 A8t еp t.

Для определения постоянных А1 – А8 требуется предварительно вычислить значения неизвестных и их производных при t = 0+. Для этого необходимо обратиться к системе (172) и записать ее для t = 0+. Подставляя в уравнения системы (172) численные значения параметров элементов с учетом равенств

Затем выражения для тока в индуктивности и напряжения на емкости и их производные записываются для момента времени t = 0+:

49