Теория / Теоретичні_питання_для_ІХФ_1_сем_2020
.doc
Теоретичні питання з вищої математики,
1 семестр, ІХФ-2020
Лектор Авдєєва Тетяна Василівна
Аналіз функцій. Схема повного дослідження функції та побудова її графіка.
Асимптоти функції: означення, класифікація та правила знаходження.
Базис. Координати вектора в базисі. Напрямні косинуси.
Вектори: означення, лінійні операції над векторами та їх властивості.
Векторний добуток двох векторів та його основні властивості, застосування векторного добутку.
Визначники третього порядку. Правила обчислення. Основні властивості визначників.
Відстань від точки до площини, відхилення від точки до площини.
Відстань від точки до прямої на площині. Відхилення точки від прямої.
Гіпербола: означення, канонічне рівняння гіперболи, правило побудови та основні параметри.
Границя послідовності. Означення, геометрична інтерпретація. Теорема про єдиність границі.
Границя функції. Означення, геометрична інтерпретація. Лема про зображення границі функції.
Границя числової послідовності. Теореми про збіжні послідовності. Арифметичні дії з границями.
Диференціал функції однієї змінної: означення, геометричний зміст.
Доведення першої визначної границі
,
наслідки з неї.Дотична і нормаль до кривої на площині.
Друга визначна границя
.Еквівалентність нескінченно великих функцій.
Еквівалентність нескінченно малих функцій. Ланцюжки еквівалентності та їх використання при обчисленні границь.
Елементарні дроби. Інтегрування найпростіших (елементарних) дробів.
Еліпс: канонічне рівняння еліпса, правила побудови, параметри еліпса.
Загальне рівняння площини. Рівняння площини у відрізках на осях.
Загальне рівняння прямої на площині. Рівняння прямої у відрізках на осях.
Застосування похідної до дослідження графіка функції на опуклість, достатні умови опуклості графіка функції вгору та вниз.
Інваріантність форми диференціала першого порядку функції однієї змінної. Застосування диференціалу першого порядку до наближених обчислень.
Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен:
,
.Інтегрування виразів, які містять тригонометричні функції:
,
.Інтегрування виразів, які містять тригонометричні функції:
,
,
.Інтегрування виразів, які містять тригонометричні функції:
.
Інтегрування диференціальних біномів. Теорема Чебишова.
Інтегрування ірраціональних виразів
,
,
(тригонометричні
підстановки).
Інтегрування ірраціональних виразів
,
.Інтегрування ірраціональних виразів
,
де
–
деякі раціональні числа.Інтегрування ірраціональних виразів, що містять квадратний тричлен
,
.Канонічне і параметричне рівняння прямої в просторі (вивід).
Канонічне і параметричне рівняння прямої на площині.
Координати вектору у заданому базисі.
Криві задані параметрично. Знайомство з параметричним способом визначення кривих у декартовій системі координат.
Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин.
Кут між прямими в просторі; кут між прямою і площиною.
Кут між прямими на площині. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих на площині.
Лінійні матричні рівняння.
Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори, базис.
Логарифмічне диференціювання функції однієї змінної.
Локальний екстремум функції однієї змінної. Необхідна умова екстремуму, достатні умови екстремуму функції однієї змінної.
Максимальне та мінімальне значення функції однієї змінної в області. Геометричні та фізичні застосування.
Матриці. Дії над матрицями (сума, різниця двох матриць, множення матриці на число) та їх властивості.
Матрична форма системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Матричні рівняння.
Метод Гаусса розв’язування системи лінійних рівнянь.
Метод інтегрування частинами в невизначеному інтегралі та метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.
Мішаний добуток трьох векторів: означення, основні властивості та застосування.
Множення двох матриць та її властивості.
Монотонні та обмежені послідовності. Теорема про існування границі монотонної обмеженої послідовності.
Монотонність функції. Необхідна та достатня умова монотонності функції на інтервалі.
Найбільше та найменше значення функції однієї змінної на відрізку.
Найвідоміші криві, їх геометричний та механічний зміст.
Невизначений інтеграл та його основні властивості.
Невизначений інтеграл: означення, основні властивості, властивість інваріантності формул інтегрування.
Необхідна та достатня умова існування інтервалів опуклості і увігнутості функції однієї змінної.
Необхідна умова існування екстремуму функції однієї змінної.
Неперервність функції в точці, неперервність суми, різниці, добутку та частки двох неперервних в точці функцій.
Неперервність функції. Класифікація точок розриву.
Нескінченно малі функції, порядок малості. Еквівалентність нескінченно малих. Таблиця еквівалентностей нескінченно малих.
Обернена матриця: означення, правила знаходження оберненої матриці через алгебричні доповнення та за допомогою елементарних перетворень. Вироджені матриці.
Основні властивості границі послідовності (границя суми, різниці, добутку двох збіжних послідовностей).
Парабола: означення, канонічне рівняння, основні параметри.
Первісна функція: означення, основні властивості, приклади.
Перша та друга похідні від функції однієї змінної, заданої параметрично.
Перша та друга теореми Лопіталя про розкриття невизначеностей типу
та
,
наслідки з них (без доведення).Полярна система координат: означення, формули, приклади побудови.
Поняття диференціала функції однієї змінної. Застосування диференціала до наближених обчислень.
Поняття лінійної комбінації векторів. Лінійна залежність та незалежність набору векторів.
Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції та їх застосування.
Похідна неявної функції однієї змінної. Похідна параметрично заданої функції.
Похідна функції в точці: означення, основні властивості, геометричний та механічний зміст похідної.
Похідна. Правила обчислення похідної. Похідна оберненої функції. Таблиця похідних.
Похідні та диференціали вищих порядків.
Правила диференціювання. Похідна добутку функцій (вивід).
Пряма та площина у просторі. Кут між прямою та площиною.
Ранг матриці. Подібність матриць. Правила відшукання рангу матриці, властивості рангу.
Рівняння площини, що проходить через три точки. (Вивід).
Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки (вивід).
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (вивід).
Рівняння та графіки основних поверхонь: еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди, циліндри.
Різні види рівняння прямої на площині (приклади).
Різні види рівняння прямої у просторі (приклади). Кут між двома прямими у просторі.
Різні типи рівняння площини у просторі.
Розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь у матричній формі.
Розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь методом формул Крамера.
Розриви функції у точці та їх класифікація.
Система лінійних алгебраїчних рівнянь. Теорема Кронекера–Капеллі про існування розв’язків СЛНР.
Система лінійних однорідних рівнянь: загальний та фундаментальний розв’язки СЛОР.
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Матричний метод розв’язування СЛАР. Обернена матриця. Теорема про існування оберненої матриці.
Скалярний добуток двох векторів. Властивості скалярного добутку та його застосування.
Теорема Лагранжа для диференційовної функції (про середнє значення похідної).
Теорема про збереження знака нерівності в границях послідовності. (Доведення).
Теорема про неперервність диференційовної функції.
Теорема про обмеженість збіжної послідовності. (Доведення).
Теорема про перехід до границі в нерівності.
Теорема про три збіжні послідовності (формулювання та доведення).
Теорема розкладу векторів за базисом (з доведенням).
Теорема Ролля для диференційовної функції однієї змінної.
Теорема Ферма для диференційовної функції однієї змінної.
Точки екстремуму функції однієї змінної, правила відшукання.
Формула Тейлора для функції однієї змінної. Формула Тейлора для многочленів. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано та Лагранжа.
Числові послідовності: границя послідовності, обмежені та необмежені послідовності (означення, приклади).