4643
.pdf
21
Рис. 1.7. Эпюры крутящих моментов и углов закручивания
0 х1 1 м
Т( х1 ) М1
1200 Н м.
0х2 0,5 м
Т( х2 ) М1
М2 1200
600 1800 Н м.
0 х3 1,2 м
Т ( х3 ) М1 М2
М3 1200 600
1500 300 Н м.
0 х4 1 м
Т ( х4 ) М1 М2
М3 М4
1200 600
1500 1000700 Н м.
По полученным данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 1.7). 4. Обозначим реактивный момент М А и определим его значение. Составим уравнение равновесия моментов относительно оси Х:
Мix 0; М1 М2 М3 М4 М А 0;
МА М1 М2 М3 М4
1200 600 1500 1000 700 Н м.
Знак (+) указывает на то, что направление М А - выбрано верно. 5. По условию прочности делаем расчет диаметра вала:
22
max |
|
Tmax |
|
|
|
|
adm . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
W pнеоб . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определяем необходимый полярный момент сопротивления, приняв допус- |
||||||||||||||||||||||
каемое касательное напряжение adm 60 МПа : |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
W необ . |
|
|
Тmax |
|
|
|
|
1800 Нм |
|
18000 кгс см |
30 см2 . |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
p |
|
|
|
|
|
adm |
|
|
|
|
60 МПа |
|
600 кгс / см2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для сплошного круглого сечения: W |
|
|
d 3 |
0 ,2d 3 ; |
||||||||||||||||||
p |
16 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подбираем диаметр вала: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
d необх . |
3 |
|
30 |
|
|
|
5 ,31см. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 ,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Исходя |
|
|
|
|
|
из |
|
|
|
заданных |
по |
условию |
диаметров, принимаем |
|||||||||
d факт. 50 мм 5 ,0 см и d факт. 60 мм 6 ,0 см. |
||||||||||||||||||||||
Определяем фактический полярный момент сопротивления: |
||||||||||||||||||||||
W факт. 0 ,2 53 25 см3 . |
|||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяем максимальное касательное напряжение: |
|||||||||
|
max |
|
|
Tmax |
|
|
|
18000 |
720 кгс / см2 72МПа ; |
|
|
|
|||||||
|
|
||||||||
W pфакт. |
|
||||||||
|
|
25 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
Подсчитаем перегрузку:
мах adm 100 % 5 %,
adm
720 600 100 % 20 % 5 %, перегрузка.
600
Принимаем d факт. 60 мм 6 ,0 см.
23
6. Проводим расчет на жесткость при кручении. Определяем величину угла закручивания в точках приложения внешних моментов:
Исходя из заданных по условию диаметров, принимаем d факт. 60 мм. Определяем фактический полярный момент сопротивления
W pфакт. 0 ,2 6 3 43,2см3 .
Определяем максимальное касательное напряжение:
|
max |
|
|
Tmax |
|
|
|
18000 |
416 ,67 кгс / см2 |
42МПа ; |
|
|
|||||||||
W pфакт. |
|
|||||||||
|
|
43,2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
max adm, что соответствует условию прочности.
7. Проводим расчет на жесткость при кручении. Определяем величину угла закручивания в точках приложения внешних моментов:
|
T l |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
G I p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Произведение G·IP называется жесткостью при кручении. |
|||||||||||||||||||||
Определяем полярный момент инерции сечения: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I |
|
|
d 4 |
|
3,14 6 |
4 |
127 ,17 см4 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
p |
|
32 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определяем жесткость вала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
GI |
p |
8 105 127 ,17 1017 ,36 105 кг см2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол закручивания в защемлении равен: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
А 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В А |
T ( x4 ) a |
|
0 |
7000кг см 100см |
|
0 ,0069 рад; |
|||||||||||||||
|
G I p |
1017 ,36 |
105 кг см2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
С В |
T ( x3 ) c |
|
0 ,0069 |
|
3000 200 |
|
|
0 ,001 рад; |
|||||||||||||
|
G I p |
|
|
105 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1017 ,36 |
|
|
||||||||||
D C |
T ( x2 ) b |
|
0 ,001 |
|
18000 50 |
|
0 ,0064 рад; |
||||||||||||||
|
G I p |
1017 ,36 |
105 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
24 |
|
|
|
||
E |
D |
T ( x1 ) a |
0 ,0064 |
12000 100 |
|
0 ,018 рад. |
||
G I p |
1017 ,36 |
10 |
5 |
|||||
|
|
|
|
|||||
По полученным величинам строим эпюру углов закручивания (рис. 1.7). Угол закручивания на метр длины вала равен:
|
|
|
max |
|
|
57 ,3 |
0 ,018 |
57 ,3 0 ,23 , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
lполн. |
|
|
4 ,5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
adm 0,3 .
1.2.2. Контрольные вопросы [1-6]
1.Какой вид напряженного и деформированного состояния называется кру-
чением?
2.Какое правило знаков принято для определения крутящего момента?
3.Как определяются напряжения при кручении?
4.Что такое момент сопротивления сечения при кручении?
5.В чем состоят условия прочности при кручении?
6.Какая величина называется жесткостью при кручении?
7.Что называется полярным моментом инерции сплошного и кольцевого се-
чения?
8.Как в общем случае определяются углы закручивания?
9.Как определить диаметр вала, удовлетворяющего условиям прочности и жесткости?
1.3. Задачи № 3, 4. Расчет на прочность при изгибе
Задание состоит из двух задач: балка, лежащая на опорах, и балка, жёстко защемлённая (консоль), (рис. 1.8).
Исходные данные выбираются из табл. 1.3. Расчетные схемы балок изображены на рис. 1.8.
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
М |
F |
q |
а |
b=c |
d |
аdm |
|
|
|
|
стро |
|
|
|
|
|
|
|
Поперечное сечение |
|||
кН м |
кH |
кH/м |
м |
м |
м |
МПа |
|||||
ки |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
10 |
9 |
5 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
12 |
7 |
6 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
155 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
14 |
5 |
7 |
2,0 |
5,0 |
3,0 |
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
16 |
3 |
4 |
4,0 |
5,0 |
2,0 |
145 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
18 |
11 |
8 |
5,0 |
4,0 |
3,0 |
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
11 |
8 |
9 |
6,0 |
3,0 |
4,0 |
135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
13 |
6 |
10 |
8,0 |
2,0 |
4,0 |
130 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
15 |
4 |
5 |
4,0 |
6,0 |
3,0 |
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
17 |
10 |
10 |
5,0 |
3,0 |
8,0 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
19 |
11 |
12 |
3,0 |
6,0 |
5,0 |
115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
е |
д |
е |
д |
е |
д |
е |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Рис. 1.8. Схемы балок (1-6) – расчет на прочность при изгибе
27
7 |
8 |
9 |
0 |
Рис. 1.8. Схемы балок (7-10) – расчет на прочность при изгибе
Для заданных схем балки требуется:
1. Построить эпюры поперечных сил Q y и изгибающих моментов M z .
2. По допускаемым напряжениям adm подобрать размеры поперечного сечения по букве «е»:
– для балки на опорах – диаметр или размеры стороны «а»;
28
– для консоли – номер швеллера или двутавра ( adm = 160 МПа).
3. По выбранным размерам поперечного сечения вычислить нормальные напряжения и сравнить их с допускаемыми напряжениями, при этом перегрузка не должна превышать 5 %.
1.3.1. Правило знаков для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Положительные значения поперечной силы Qy в сечении дают внешние силы, направленные вверх, если они расположены слева от рассматриваемого сечения, и направленные вниз, если расположены справа от сечения (рис. 1.9).
Рис. 1.9. Поперечная сила
Изгибающий момент Мz в сечении балки считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по ходу часовой стрелки, а справа – против хода часовой стрелки (рис. 1.10).
Рис. 1.10. Изгибающий илиент
29
1.3.2. Пример 1. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (балка на опорах)
Дано: F = 24 кН; M=30 кН м; q=12 кН/м; = 160 МПа; d =0,6D.
Необходимо: определить реакции опор; построить эпюры Q y и М |
z |
; |
|
подоб- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рать диаметр поперечного сечения в виде кольца (рис. 1.11). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1. Вычерчиваем расчетную схему |
|||||||||||||
|
балки с заданными нагрузками (рис. 1.12), |
||||||||||||||
|
соблюдая масштаб длины участков. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2. Изображаем опорные реакции, |
|||||||||||||
Рис. 1.11. Поперечное сечение |
возникающие в опорах балки. Вычисляем |
||||||||||||||
в виде кольца |
их величину. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Fix 0; H A 0; |
|
|
|
||||||||||
|
|
M A 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3q 1,5 M |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 RB 3,5 F 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
4 ,5q M 3,5F |
|
|||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ,5 12 30 3,5 24 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
36 кН ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
М В 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3q 1,5 M 3RA |
|
|
|
|||||||||
|
|
0 ,5 F 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
R |
A |
4 ,5q M 0 ,5F |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ,5 12 30 0 ,5 24 |
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 1.12. Балка на опорах, эпюры поперечных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сил и изгибающих моментов |
24 кН . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
30
Проверка: Fуi 0; RA 3q RB F 0; 24 3 12 36 24 0.
3. Применяя метод сквозного разреза, разбиваем схему балки на силовые участки (в нашем случае их – 2). Соблюдая правило знаков, определяем значения Q y и M z в сечениях.
Вычисляем значения Qy и Mz на каждом участке:
0 х1 3м
Q |
|
( x |
) R |
|
qx |
|
24 12 x |
|
3м 12кН . |
|
|
|
|
||||||
|
y |
1 |
|
A |
|
1 |
|
1 |
0 м 24кН |
Обращаем внимание на то, что наклонная прямая, ограничивающая эпюру Qy x1 , проходит через 0. Это означает, что на эпюре М z x1 надо искать экс-
тремальное значение. Найдем x1о :
dM( x1 ) |
R |
A |
q xо Q |
y |
( x |
1 |
) 0 ; |
|
|||||||
dx |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
x1о RqA 1224 2 м .
В этом сечении Мz (х1 ) будет иметь экстремальное значение.
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 |
|
|
|
|
|
3м 18кН м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M |
|
( x |
) R |
|
x |
|
q |
24 x |
|
6 x 2 |
2 м 24кН м ; |
|||
z |
A |
1 |
|
1 |
||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 м 0кН м |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 х2 |
0,5 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Qy ( x2 ) F 24кН ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Mz ( x2 ) Fx2 24 x2 |
|
0,5 м 12кН м |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
0 м 0кН м . |
|||||||||||||