3884
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИКА
Методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки 43.03.02 – Туризм
Воронеж 2018
УДК 512.8
Сапронов, И. В. Математика [Электронный ресурс]: Методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки 43.03.02 – Туризм/ И. В. Сапронов, Н. М. Спирина, Е. В. Раецкая; ВГЛТУ. - Воронеж, 2018. - 21 с. - ЭБС ВГЛТУ.
Одобрено решением учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» протокол №6 от 23.03 2018 г.
Рецензент |
Доктор физ.-мат наук, |
|
профессор ВГПУ |
|
В.В. Обуховский |
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................... |
4 |
1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ .................................................................................................................... |
6 |
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ......................................................... |
11 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ....................................................................... |
21 |
ВВЕДЕНИЕ
Целью изучения дисциплины «Математика» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным понятиям и методам математического анализа, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
-самостоятельное изучение теоретического материала, построенного на основе четких формулировок и доказательство основных теорем; выработка способности проиллюстрировать самостоятельно изученный материал примерами и задачами;
-самостоятельное изучение истории появления наиболее важных понятий и результатов, а также пояснений об их приложениях к другим разделам математики и к другим наукам;
-закрепление самостоятельно изученного теоретического материала и выработка умения самостоятельно решать задачи для последующего применения математических методов в различных приложениях.
Обучающийся по результатам освоения дисциплины «Математика» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы .
В результате самостоятельного освоения дисциплины обучающийся должен:
-знать основные понятия, определения и методы исследования объектов
спомощью теорем и формул различных разделов курса математического анализа;
-уметь: четко формулировать и доказывать основные положения курса
математического анализа, решать задачи и примеры по различным разделам математического анализа с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники); самостоятельно изучать научную литературу по линейной алгебре;
- иметь представление о численных алгоритмах решения
математических и прикладных задач его профессиональной области.
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
|
|
|
|
1.1 Практическая часть |
|
||
П р и м е р 1. |
Исследовать методами дифференциального исчисления |
||||||
функцию y |
5x2 |
|
и на основании полученных результатов построить еѐ |
||||
x2 |
25 |
||||||
график. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Проведем исследование функции y |
5x2 |
по следующей |
||||
x2 25 |
|
схеме:
1.Область определения функции.
В область определения исследуемой функции не входят лишь те
значения x , для которых x2 25 0 , то есть |
x 5 и |
x 5. Поэтому |
D( y) ( ; 5) ( 5;5) (5; ) . |
|
|
2.Вид функции.
Выясним, является ли функция четной или нечетной.
Если y( x) y(x) для любого x из области определения функции y f (x) , то эта функция называется четной. График четной функции
симметричен относительно оси ординат.
Если y( x) y(x) для любого x из области определения функции y f (x) , то эта функция называется нечетной. График нечетной функции
симметричен относительно начала координат. Для нашей функции:
y(x) |
5x2 |
y( x) |
5( x)2 |
|
|
5x2 |
y(x) |
5x2 |
|||
|
, |
|
|
, |
|
. |
|||||
x2 25 |
( x)2 25 |
x2 25 |
x2 25 |
||||||||
Видим, что y( x) y(x) для |
любого x |
из области определения |
функции. Поэтому функция четная, еѐ график симметричен относительно оси ординат.
3.Точки пересечения графика функции с осями координат.
Для нахождения точек пересечения |
графика с осью Ox решим |
|||||
систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
y 0, |
|||||
|
|
|
5x2 |
|||
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
|
. |
|
x |
2 |
|
25 |
||
|
|
|
|
Отсюда получаем, что x 0 , y 0. Следовательно, точка (0;0)
является точкой пересечения графика функции с осью Ox .
Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Oy решим систему уравнений
|
x 0, |
|
|||
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
. |
|
x |
2 |
25 |
|||
|
|
|
|
Отсюда x 0 , y 0, поэтому точка (0;0) является точкой пересечения |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
графика функции с осью Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
Исследование |
|
|
функции по первой производной (интервалы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
монотонности, точки экстремума). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем первую производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
(5x2 ) (x2 |
25) 5x2 (x2 |
25) |
|
10x (x2 |
25) 5x2 2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
25) |
|
|
|
|
|
(x |
25) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
10x (x2 |
|
25 x2 ) |
|
|
250x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(x2 25)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
25)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y 0 при |
|
x 0 , y |
|
не существует при x 5 |
и x 5. Точки |
x1 5 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 0 , x3 |
5 разбивают область определения функции на четыре интервала |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ; 5) , ( 5;0) , (0;5) , (5; ) . Определим знак производной |
y |
на каждом |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
из них. Возьмем любое число из интервала ( ; 5) , например 6 . Так как |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
250 ( 6) |
|
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y ( 6) |
(36 25)2 |
|
|
|
|
121 |
|
12,4 |
|
0 , |
поэтому |
на всем интервале |
( ; 5) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
производная |
|
y 0 |
|
|
|
и, |
|
следовательно, функция монотонно возрастает. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично определяем знак производной y на трех других интервалах: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y ( 1) |
|
250 ( 1) |
|
|
|
250 |
0,4 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
(1 25)2 |
|
576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y (2) |
|
|
|
250 2 |
|
|
|
|
500 |
1,1 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
(4 25)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
441 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y (7) |
|
|
250 7 |
|
|
|
|
1750 |
3,1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(49 25)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Результаты исследования занесем в таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
( ; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 5;0) |
|
|
|
0 |
|
|
(0;5) |
|
|
|
|
(5; ) |
|||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
max |
|
функция |
|
|
|
|
функция |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
возрастает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возрастает |
|
|
|
|
убывает |
|
|
убывает |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, функция возрастает на каждом из интервалов ( ; 5) , ( 5;0) и убывает на интервалах (0;5) , (5; ) . В точке x 0 производная меняет знак
с «+» на «−», следовательно, x 0 − точка максимума функции. Значение функции в этой точке равно:
ymax(0) 0 .
5. Исследование функции по второй производной (выпуклость,
вогнутость, точки перегиба графика). Найдем вторую производную функции:
|
250x |
|
|
|
(x) (x2 25)2 |
x ((x2 25)2 ) |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
y ( y ) |
|
|
|
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
||||
|
(x |
25) |
2 |
|
(x |
25) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
1 (x2 |
25)2 |
2x (x2 25) 2x |
250 |
|
(x2 25) (x2 25 4x2 ) |
|
|||||||||||||
|
|
(x2 25)4 |
|
|
(x2 |
|
25)4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
250 |
3x2 25 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x2 25)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y 0 , если 3x2 |
25 0 . Это уравнение не имеет решения. |
|
|
|
||||||||||||||||
y не существует при x 5 |
и x 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Точки x1 5 , x2 5 разбивают область определения функции на три |
||||||||||||||||||||
интервала: ( ; 5) , |
( 5;5) , |
(5; ) . Определим |
|
знак производной y на |
||||||||||||||||
каждом |
из них. |
Так |
как |
y ( 6) 250 |
3 62 |
25 |
250 |
133 |
274,8 |
0 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(62 |
25)2 |
121 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
поэтому на всем интервале |
( ; 5) производная |
y 0 и, |
|
следовательно, |
график функции является вогнутым на данном интервале. Аналогично определяем, что y 0 на интервале ( 5;5) , поэтому график выпуклый на
данном интервале. На интервале (5; ) y 0 , поэтому график вогнутый на этом интервале. Результаты исследования занесем в таблицу:
x |
( ; 5) |
( 5;5) |
(5; ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
y |
+ |
− |
+ |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
вогнутый |
выпуклый |
вогнутый |
|
график |
график |
график |
||
|
Точек перегиба на графике функции нет.
6. Точки разрыва функции и вертикальные асимптоты её графика.
Точки разрыва функции – это точки |
x1 5 |
и x2 5 , |
в которых |
|||||||||||||||||||
функция не определена. Вычислим пределы функции в этих точках: |
||||||||||||||||||||||
|
|
5x2 |
|
125 |
|
|
|
|
5x2 |
|
125 |
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
, |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
2 |
25 |
|
|
|
2 |
25 |
|
|
|
|
|
||||||||||
x 5 x |
|
|
x 5 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Поэтому |
прямые |
с |
уравнениями |
x 5 |
и x 5 |
являются |
||||||||||||||||
вертикальными асимптотами графика функции. |
|
|
|
|
|
7. Невертикальные асимптоты графика функции.
Невертикальной асимптотой будем называть асимптоту, не
параллельную |
оси Оу. |
|
Невертикальная |
|
асимптота |
|
графика функции |
|||||||||||||||||||||||||||||
y f (x) |
при x существует тогда и только тогда, |
|
когда существуют |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
конечные пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
|
f (x) |
k, |
|
lim[ f (x) kx] b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Эта асимптота имеет уравнение y kx b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Вычислим пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x) |
|
5x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
lim |
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
|
x |
|
|
0 k , |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
x |
x x (x2 25) |
x x2 |
25 |
|
x 1 |
|
252 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|||||||||
lim[ f (x) kx] lim |
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
5 |
b . |
|||||||||||
|
|
2 |
25 |
|
2 |
25 |
1 |
25 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
x x |
|
|
|
|
|
x x |
|
|
x |
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как оба предела k |
и b конечны, то |
|
|
график |
функции |
имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||
невертикальную асимптоту при |
|
x . Еѐ уравнение |
|
|
y kx b , то есть |
y 5 .
8.Построение графика функции.
На основании результатов проведенного исследования строим график функции.
Рис. 1 Четность функции облегчает построение графика: строим часть
графика функции для значений x [0;5) (5; ) , а затем отображаем эту
часть графика симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.
Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:
|
5 22 |
|
20 |
|
|
|
5 72 |
245 |
|
||||
y(2) |
|
|
|
|
|
|
0,9 , |
y(7) |
|
|
|
|
10,2 . |
|
22 |
25 |
|
21 |
|
|
72 25 |
24 |
|
|
9.Множество значений функции.
Вид графика (см. рис. 3.1) позволяет сделать вывод, что
E( y) ( ;0] (5; ) .
1.2. Индивидуальные задания
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y f (x) и на основании полученных результатов построить еѐ график.
1. y
3. y
5. y
7. y
9. y
|
1 |
|
|
|
. |
2. |
y |
1 x3 |
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||
x2 |
4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x3 |
|
|
. |
|
|
|
4. y |
|
|
|
x2 |
2x |
. |
||||||
6 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 x 4 |
. |
|
6. |
y |
|
|
|
x 2 |
. |
|
|
||||||||
2x |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
. |
|
|
|
8. y |
|
x3 |
4 |
. |
|
|
||||||
x2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 |
|
. |
|
|
|
|
10. y |
|
x3 |
|
. |
||||||||
x2 1 |
|
|
|
|
x2 1 |