3533
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Г.Ф. МОРОЗОВА»
Кафедра математики
Математический анализ
Методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки
38.03.01 – Экономика
Воронеж 2018
УДК 512.8
Раецкая, Е. В. Математический анализ [Электронный ресурс] : методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, П.Н. Зюкин, И.В. Сапронов; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018. – 16 с.
Одобрено решением учебно-методического совета
ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» |
(протокол № 6 |
от 23.03.2018 г.) |
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры
математического анализа ВГУ С.П. Зубова
Содержание
Введение……………………………………………………………………………..4
1.1Полное исследование и построение графиков функций…………………5
1.2Варианты индивидуальных заданий по теме «Полное исследование и построение графиков функций»………………………………………………...9
2.1Вычисление неопределенных интегралов.………….…..…………………10
2.2Варианты индивидуальных заданий по теме «Вычисление неопределенных интегралов»…………………………………………………...12
Библиографический список…………………………………………………….16
ВВЕДЕНИЕ
Для эффективного освоения дисциплины «Математический анализ» у обучающегося должны быть сформированы представления об основных понятиях, идеях и методах математического анализа, а именно:
- представления о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
- представления о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий; В результате освоения дисциплины студент должен владеть:
-методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
-стандартными приѐмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств.
Студент по результатам освоения дисциплины «Математический анализ» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.
1.1 ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
П р и м е р 1. |
Исследовать методами дифференциального исчисления |
||||||
функцию y |
5x2 |
|
и на основании полученных результатов построить еѐ |
||||
x2 |
25 |
||||||
график. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Проведем исследование функции y |
5x2 |
по следующей |
||||
x2 25 |
|
схеме:
1. Область определения функции.
В область определения исследуемой функции не входят лишь те значения
x , для |
которых x2 25 0 , то |
есть |
x 5 |
и x 5. |
Поэтому |
||
D( y) ( ; 5) ( 5;5) (5; ) . |
|
|
|
|
|
||
2. Вид функции. |
|
|
|
|
|
|
|
Выясним, является ли функция четной или нечетной. |
|
||||||
Если |
y( x) y(x) |
для любого |
x |
из |
области |
определения |
функции |
y f (x) , |
то эта функция называется четной. График четной |
функции |
|||||
симметричен относительно оси ординат. |
|
|
|
|
|
||
Если |
y( x) y(x) |
для любого |
x |
из |
области |
определения |
функции |
y f (x) , то эта функция называется нечетной. График нечетной функции
симметричен относительно начала координат. Для нашей функции:
y(x) |
5x2 |
y( x) |
5( x)2 |
|
5x2 |
y(x) |
5x2 |
|||
|
, |
|
|
, |
|
. |
||||
x2 25 |
( x)2 25 |
x2 25 |
x2 25 |
Видим, что y( x) y(x) для любого x из области определения функции.
Поэтому функция четная, еѐ график симметричен относительно оси ординат.
3. Точки пересечения графика функции с осями координат.
Для нахождения точек пересечения графика с осью Ox решим систему уравнений
|
|
y 0, |
|
|||
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
. |
|
|
x |
2 |
25 |
||
|
|
|
|
|
||
Отсюда получаем, что x 0 , |
y 0. |
Следовательно, точка (0;0) является |
точкой пересечения графика функции с осью Ox .
Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Oy решим систему уравнений
|
x 0, |
|
|||
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
. |
|
x |
2 |
25 |
|||
|
|
|
|
Отсюда x 0 , y 0, поэтому точка (0;0) является точкой пересечения графика функции с осью Oy .
4. Исследование функции по первой производной (интервалы монотонности, точки экстремума).
Найдем первую производную функции:
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
(5x2 ) (x2 25) 5x2 (x2 |
25) |
|
10x (x2 25) 5x2 2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
25) |
|
|
|
|
(x |
25) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
10x (x2 |
|
25 x2 ) |
|
|
|
250x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x2 25)2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 25)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y 0 |
при |
x 0 , |
y |
не существует при x 5 |
и |
x 5. |
Точки |
x1 5 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 0 , |
x3 5 разбивают область определения функции на четыре интервала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ; 5) , ( 5;0) , (0;5) , |
|
(5; ) . Определим знак производной y |
|
на каждом из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
них. Возьмем |
любое |
|
число из интервала ( ; 5) , |
например |
|
6 . |
Так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y ( 6) |
250 ( 6) |
|
|
1500 |
|
12,4 0 , |
|
поэтому |
на всем |
интервале |
|
( ; 5) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(36 25)2 |
|
|
121 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
производная |
|
|
|
y 0 |
|
|
|
и, |
|
|
следовательно, функция монотонно возрастает. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично определяем знак производной y на трех других интервалах: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y ( 1) |
|
250 ( 1) |
|
|
250 |
|
0,4 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
(1 25)2 |
|
576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y (2) |
|
|
250 2 |
|
|
|
500 |
|
1,1 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(4 25)2 |
441 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y (7) |
|
|
|
250 7 |
|
|
|
|
|
1750 |
3,1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(49 25)2 |
|
|
|
576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Результаты исследования занесем в таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
( ; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 5;0) |
|
|
|
0 |
|
|
|
(0;5) |
|
|
|
|
(5; ) |
|||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
функция |
|
|
функция |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
возрастае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возрастае |
|
max |
|
|
убыва |
|
|
|
убыва |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ет |
|
|
|
|
ет |
|
||||
|
Итак, функция возрастает на каждом из интервалов ( ; 5) , |
( 5;0) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
убывает на интервалах (0;5) , (5; ) . В точке |
x 0 производная меняет знак с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
«+» на «−», следовательно, |
x 0 |
|
− |
точка |
максимума |
функции. Значение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции в этой точке равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ymax(0) 0 .
5. Исследование функции по второй производной (выпуклость,
вогнутость, точки перегиба графика). Найдем вторую производную функции:
|
250x |
|
|
|
(x) (x2 25)2 |
x ((x2 25)2 ) |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
y ( y ) |
|
|
|
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
||||
|
(x |
25) |
2 |
|
(x |
25) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
1 (x2 25)2 2x (x2 25) 2x |
250 |
(x2 25) (x2 25 4x2 ) |
|
|||||||||||||
|
|
(x2 25)4 |
|
|
(x2 |
25)4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
250 |
3x |
2 25 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x2 |
25)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y 0 , если 3x2 |
25 0 . Это уравнение не имеет решения. |
|
|||||||||||||||
y не существует при x 5 |
и x 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Точки x1 5 , |
x2 5 |
разбивают область определения функции на три |
|||||||||||||||
интервала: ( ; 5) , ( 5;5) , |
(5; ) . Определим знак производной y на каждом |
||||||||||||||||
из них. Так как |
y ( 6) 250 |
3 62 |
25 |
250 |
133 |
274,8 0 |
, поэтому на всем |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(62 25)2 |
121 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
интервале ( ; 5) производная |
y 0 |
и, следовательно, |
график функции |
является вогнутым на данном интервале. Аналогично определяем, что y 0 на интервале ( 5;5) , поэтому график выпуклый на данном интервале. На
интервале (5; ) |
y 0 , |
поэтому график |
вогнутый на этом интервале. |
|||
Результаты исследования занесем в таблицу: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
( ; 5 |
( 5;5) |
(5; ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
+ |
− |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
вогнутый |
выпуклый |
вогнутый |
|
|
|
y |
|
граф |
|
||
|
|
график |
график |
|
||
|
|
|
ик |
|
||
|
|
|
|
|
|
Точек перегиба на графике функции нет.
6. Точки разрыва функции и вертикальные асимптоты её графика.
Точки разрыва функции – это точки x1 5 |
и x2 5 , в которых функция |
|||||||||||||||||
не определена. Вычислим пределы функции в этих точках: |
||||||||||||||||||
|
|
5x2 |
|
125 |
|
|
|
5x2 |
|
125 |
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
, lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
2 |
25 |
|
|
|
2 |
25 |
|
|
|||||||||
x 5 x |
|
x 5 x |
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
Поэтому прямые с уравнениями x 5 и x 5 являются вертикальными асимптотами графика функции.
7. Невертикальные асимптоты графика функции.
Невертикальной асимптотой будем называть асимптоту, не параллельную
оси Оу. Невертикальная асимптота графика функции |
|
|
y f (x) |
при |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
существует тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x) |
|
k, |
|
lim[ f (x) kx] b . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Эта асимптота имеет уравнение y kx b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Вычислим пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x) |
lim |
5x |
2 |
|
|
|
lim |
5x |
|
lim |
|
5 |
|
|
0 |
0 k , |
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
x |
x x (x2 |
25) |
|
x x2 |
25 |
x 1 |
|
252 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|||||
lim[ f (x) kx] lim |
|
|
|
|
|
|
0 x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
5 b . |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
25 |
|
25 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
x x |
|
25 |
|
|
|
x x |
|
|
x 1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
оба предела |
k и |
|
b |
конечны, |
то |
график |
функции |
имеет |
невертикальную асимптоту при x . Еѐ уравнение y kx b , то есть y 5 .
8. Построение графика функции.
На основании результатов проведенного исследования строим график функции.
Рис. 1 Четность функции облегчает построение графика: строим часть графика
функции для значений x [0;5) (5; ) , а затем отображаем эту часть графика
симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.
Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:
|
5 22 |
|
20 |
|
|
|
|
5 72 |
245 |
|
||||
y(2) |
|
|
|
|
|
|
0,9 |
, |
y(7) |
|
|
|
|
10,2 . |
|
22 |
25 |
|
21 |
|
|
|
72 25 |
24 |
|
|
9. Множество значений функции.
Вид графика (см. рис. 1) позволяет сделать вывод, что
E( y) ( ;0] (5; ) .
1.2 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ»
|
|
Исследовать методами |
дифференциального |
|
|
|
исчисления функцию |
|||||||||||||||||||||||||||||||
y f (x) и на основании полученных результатов построить еѐ график. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
14. |
y |
1 x3 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 |
|
4x 3 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
y |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
15. |
y |
|
|
x2 |
2x |
. |
|
|
|||||||||||
6 |
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3. |
y |
|
|
x2 |
x 4 |
. |
|
16. |
y |
|
|
x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
17. |
y |
|
x3 |
4 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
y |
|
|
|
x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
18. |
y |
|
|
|
|
x3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. |
y |
|
|
|
|
5x2 |
|
|
. |
|
|
|
|
19. |
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|||||||||||||||
x2 |
25 |
|
|
|
|
|
x2 |
4x 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
y |
1 x3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
20. |
y |
x2 2x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
y |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
21. |
y |
|
|
x2 |
2x |
. |
|
|
|||||||||||
6 |
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9. |
y |
|
|
x2 |
x 4 |
. |
|
22. |
y |
|
x 2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
23. |
y |
|
|
x3 |
4 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11. y |
|
|
x2 |
|
. |
|
|
|
|
24. y |
|
|
x3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 1 |
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
12. y |
|
|
|
5x2 |
|
. |
|
|
25. |
y |
|
|
5x2 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
x2 25 |
|
|
x2 |
25 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
13. y |
x2 x 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 1. |
Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
x5 x x 2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Преобразуем подынтегральную функцию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x5 x |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x4 x |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x4 x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
2 |
|
|
|
|
x4dx |
x |
2 dx 2 |
== |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ln |
x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. |
Вычислить интеграл |
|
|
|
|
5 x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Делаем замену |
|
|
5 x2 |
t , |
|
|
тогда |
|
|
|
|
2xdx dt |
|
|
|
и |
xdx |
1 |
dt |
. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 x2 |
4 C . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
5 x2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
xdx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
|
3 C = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 3. |
Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
arctg2 x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Делаем замену |
|
|
arctgx t , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
arctg 2 x |
dx = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
|
|
|
arctg3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4. |
Вычислить интеграл |
|
|
|
|
xsin 5x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Воспользуемся формулой интегрирования по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
udv uv vdu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x sin(5x)dx |
|
u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv sin(5x)dx |
|
|
1 |
x cos(5x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
cos(5x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
cos(5x)dx |
1 |
x cos(5x) |
|
|
|
1 |
sin(5x) C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 5. |
|
|
Вычислить интеграл ln |
|
2x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|