2480
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Воронежская государственная лесотехническая академия»
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов 2 курса заочного обучения специальности
060800 (080502) - Экономика и управление на предприятии (лесной комплекс)
Воронеж 2007
2
УДК 51
Уточкина, Е.О. Математика [Текст]: методические указания и контрольные задания для студентов 2 курса заочного обучения специальности 080502 – экономика и управление на предприятии/ Е.О. Уточкина; Фед. агентство по образованию, Гос. Образовательное учреждение высш. проф. образования, Воронеж. гос. лесотехн. акад. –
Воронеж, 2007. - 22 с.
Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУ ВПО «ВГЛТА»
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры математического анализа ВГУ Ю.И. Пастухова
3
ВВЕДЕНИЕ При оформлении контрольной работы студенту необходимо учесть
следующее:
1)на обложке тетради написать разборчиво свою фамилию, имя, отчество, шифр, номер контрольной работы и дату отправления работы в академию;
2)номера задач, входящих в контрольную работу, определяются по последней цифре шифра. Например, студент, имеющий шифр 99705, выполняет 5-й вариант, т.е. задачи 5, 15, 25, 35 и т.д. Работа, выполненная не по своему варианту, возвращается без рецензирования.
3)Контрольная работа выполняется в отдельной тонкой тетради. Решения задач следует сопровождать объяснениями. Верно выполненная работа возвращается студенту с рецензией, в которой написано «Допущена к защите». До сессии такую работу надо устно защитить и рецензию с отметкой «Работа защищена» предъявить на экзамене или зачете по высшей математике.
Если в работе содержатся ошибки и она не допущена к защите, следует сделать исправления в этой же тетради и вернуть в академию вместе с рецензией.
Задачи, у которых номер заканчивается знаком *, приводятся с кратким решением.
4
Контрольная работа (Математическая статистика)
0-9. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Найти:
1)выборочную среднюю;
2)выборочную дисперсию;
3)выборочное среднее квадратическое отклонение;
4)исправленную выборочную дисперсию;
5)коэффициент вариации;
6)моду;
7)медиану.
Решить задачу методом условным вариант. 0.
xi |
80 |
90 |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
ni |
5 |
6 |
10 |
40 |
20 |
11 |
8 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
13,5 |
14,0 |
14,5 |
15,0 |
15,5 |
16,0 |
16,5 |
ni |
6 |
16 |
32 |
25 |
9 |
7 |
5 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
21 |
28 |
35 |
42 |
49 |
56 |
63 |
ni |
9 |
10 |
12 |
50 |
8 |
6 |
5 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
130 |
140 |
150 |
160 |
170 |
180 |
190 |
ni |
5 |
7 |
10 |
40 |
20 |
12 |
6 |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
ni |
6 |
9 |
25 |
30 |
15 |
10 |
5 |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
12,8 |
22,8 |
32,8 |
42,8 |
52,8 |
62,8 |
72,8 |
ni |
9 |
18 |
20 |
30 |
10 |
8 |
5 |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
ni |
5 |
8 |
20 |
40 |
12 |
9 |
6 |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
10,2 |
15,2 |
20,2 |
25,2 |
30,2 |
35,2 |
40,2 |
ni |
5 |
10 |
18 |
45 |
9 |
7 |
6 |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
ni |
5 |
8 |
10 |
40 |
20 |
11 |
6 |
9. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
ni |
9 |
11 |
20 |
30 |
15 |
10 |
5 |
5
*.
xi |
156 |
160 |
164 |
168 |
172 |
176 |
180 |
ni |
10 |
14 |
23 |
28 |
12 |
8 |
5 |
Решение задачи *. Объем выборки
k
n = ∑ni =10 +14 + 23 + 28 +12 +8 + 5 =100.
i=1
1) Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:
|
|
|
|
k |
xi |
|
|
|
|
|
|
∑ni |
|
||
|
|
x |
B = |
i=1 |
|
, |
|
|
|
n |
|
|
|||
где xi - варианта выборки; |
|
|
|
||||
ni – частота варианты; |
|
|
|
||||
n – объем выборки. |
|
|
|
||||
xB = |
10 156 +14 160 + 23 164 + 28 168 +12 172 +8 176 +5 180 |
= |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
100 |
|
=16648100 =166,48.
2)Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
∑(xi − xB )2 ni |
||
|
|
|
DB = |
i=1 |
|
. |
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
DB = |
(156 |
−166,48)2 |
10 + (160 −166,48)2 |
14 + (164 −166,48)2 23 + |
||
|
|
100 |
|
|
||
|
|
|
|
|
+ (168 −166,48)2 28 + (172 −166,48)2 12 + (176 −166,48)2 8 + (180 −166,48)2 5 = 100
=3896100,96 =38,97.
3)Выборочное среднее квадратическое отклонение:
σB = DB = 38,97 =6,24.
4)Исправленная выборочная дисперсия:
S2 = |
|
n |
|
DB = |
100 38,97 =39,36. |
|||
|
n −1 |
|||||||
|
|
|
99 |
|
||||
5) Коэффициент вариации: |
||||||||
V = |
σB 100% = |
|
6,24 |
100% =3,75%. |
||||
166,48 |
||||||||
|
xB |
|
|
6) Мода М0 – значение варианты, имеющей наибольшую частоту.
6
Так как max ni = 28, то M0 = 168.
7) Медиана Me – значение варианты, расположенной в середине вариационного ряда: x1, x2, x3, x4,…, xn (каждая варианта записывается столько раз, какова ее частота).
Если объем выборки n – нечетное число, то Me = x n+1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ x n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x n |
+1 |
|
|||
|
Если же объем выборки n – четное число, то Me = |
|
2 |
|
2 |
. |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
Так как n = 100 (четное число), то |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x100 + x100 |
|
x50 + x51 |
=168 +168 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
Me = |
2 |
2 |
=168. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи * методом условных вариант. Метод условных вариант заключается в том, что сначала вычисляют выборочную среднюю и выборочную дисперсию для условных вариант:
ui = |
xi − u0 |
(i =1,2,...,k). |
|
h |
|||
|
|
При этом u0 и h подбирают так, чтобы условные варианты ui были небольшими. Чаще всего за u0 берут моду M0, особенно простыми получаются
вычисления, когда числа xi образуют арифметическую прогрессию с разностью h.
Затем вычисляют выборочную среднюю и выборочную дисперсию для исходной варианты x по формулам:
x B = u0 + h uB , |
DB (X) = h2 DB (U). |
Введем условные варианты: ui = xi −h u0 ,
где u0 = M0 (X) =168,
h=4 (разность между соседними значениями вариант xi). Составим таблицу:
xi |
ni |
|
|
x |
i |
−168 |
|
n |
i |
u |
i |
n |
|
u |
2 |
|
|
ui = |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
156 |
10 |
|
- 3 |
|
|
|
|
- 30 |
|
|
90 |
|
7
160 |
14 |
- 2 |
- 28 |
56 |
|
164 |
23 |
- 1 |
- 23 |
23 |
|
168 |
28 |
0 |
0 |
0 |
|
172 |
12 |
1 |
12 |
12 |
|
176 |
8 |
2 |
16 |
32 |
|
180 |
5 |
3 |
15 |
45 |
|
- |
- |
- |
∑ni ui = |
∑ni ui 2 |
= |
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
= −38 |
= 258 |
|
Вычисляем выборочные величины для условных вариант:
|
|
|
k |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∑n |
i |
i |
|
|
|
|
38 |
|
|
|||||
uB |
= |
i=1 |
|
|
|
= − |
|
= −0,38; |
|||||||||
|
k |
n |
|
|
|
|
100 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∑n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i=1 |
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
258 |
|
||||
uB |
2 |
= |
|
|
|
|
|
= |
= 2,58; |
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
100 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DB (U) = uB2 − (uB )2 = 2,58 − (−0,38)2 = 2,4356.
Выборочные величины для исходных вариант находим по формулам: xB = u0 + h uB =168 + 4 (−0,38) =168 −1,52 =166,48;
DB (X) = h2 DB (U) = 42 2,4356 =16 2,4356 =38,97.
10-19. Случайная величина X имеет нормальное распределение с неиз-
вестным математическим ожиданием a и известной дисперсией σ2 .
По выборке объема n вычислена выборочная средняя xB.Определить дове-
рительный интервал статистической оценки математического ожидания a при доверительном уровне γ =0,99.
10. σ2 =100, n =16, |
xB =18,21. |
|||
11. |
σ2 =81, |
n = 49, |
xB =18,31. |
|
12. |
σ2 = 64, |
n =36, |
xB =18,41. |
|
13. |
σ2 = 49, |
n =100, |
xB =18,51. |
|
14. |
σ2 =36, |
n =81, |
xB =18,61. |
|
15. |
σ2 = 25, |
n = 25, |
xB =18,71. |
|
16. |
σ2 =16, |
n =16, |
xB =18,81. |
|
17. |
σ2 |
=9, |
n = 49, |
xB =19,91. |
18. |
σ2 |
= 4, |
n =36, |
xB = 20,01. |
19. |
σ2 |
=1, |
n = 64, xB = 20,11. |
|
1*. σ2 = 25, |
n =625, |
xB =16,8. |
|
8 |
Решение задачи 1*. |
Доверительный интервал |
статистической оценки математического ожидания a нормально распределенной случайной величины X при известной дисперсии σ2 ищется в виде
(xB − t γ |
σ |
); |
xB + t γ |
σ |
), |
n |
|
||||
|
|
|
n |
где число t γ есть такое значение аргумента функции Лапласа Φ(x), при ко-
тором выполняется равенство: Φ(t γ ) = 2γ.
Вданной задаче γ =0,99, поэтому число t γ найдем из соотношения
Φ(tγ ) = 0,299 , то есть из соотношения Φ(tγ ) =0,495. Отсюда по таблице (при-
ложение 1) значений функции Лапласа Φ(x) находим t γ = 2,58. Так как по условию задачи xB =16,8, σ = σ2 = 25 =5, n = 625 = 25, то доверитель-
ный интервал принимает вид |
|
5 |
|
|||
(16,8 − 2,58 |
5 |
; 16,8 |
+ 2,58 |
), |
||
25 |
25 |
|||||
|
|
|
|
или
(16,28; 17,32).
20-29. Найти уравнение линейной регрессии величины Y на величину X на основании корреляционной таблицы (в таблице xi – значения случайной величины X; yj - значения случайной величины Y).
20.
xi |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
nj |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
6 |
4 |
|
|
|
|
10 |
25 |
|
6 |
8 |
|
|
|
14 |
35 |
|
|
|
21 |
2 |
5 |
28 |
45 |
|
|
|
4 |
12 |
6 |
22 |
55 |
|
|
|
|
1 |
5 |
6 |
ni |
6 |
10 |
8 |
25 |
15 |
16 |
n=80 |
21. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
nj |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
4 |
8 |
|
|
4 |
16 |
20 |
2 |
|
4 |
|
2 |
|
8 |
30 |
|
|
10 |
8 |
|
|
18 |
40 |
|
4 |
|
10 |
4 |
|
18 |
ni |
2 |
8 |
22 |
18 |
6 |
4 |
n=60 |
9
22.
xi |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
nj |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
4 |
6 |
|
8 |
|
4 |
22 |
24 |
|
8 |
10 |
|
6 |
|
24 |
34 |
|
|
32 |
|
|
|
32 |
44 |
|
|
4 |
12 |
6 |
|
22 |
ni |
4 |
14 |
46 |
20 |
12 |
4 |
n=100 |
23. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
nj |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
2 |
1 |
|
7 |
|
|
10 |
120 |
4 |
|
2 |
|
|
3 |
9 |
140 |
|
5 |
|
10 |
5 |
2 |
22 |
160 |
|
|
3 |
1 |
2 |
3 |
9 |
ni |
6 |
6 |
5 |
18 |
7 |
8 |
n=50 |
24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
12 |
17 |
22 |
27 |
32 |
37 |
nj |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
105 |
|
4 |
|
3 |
|
|
7 |
115 |
2 |
3 |
1 |
|
10 |
|
16 |
125 |
3 |
|
5 |
1 |
|
4 |
13 |
135 |
|
|
|
8 |
2 |
1 |
11 |
145 |
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
ni |
6 |
9 |
6 |
12 |
12 |
5 |
n=50 |
25. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
nj |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
4 |
2 |
1 |
|
7 |
24 |
2 |
1 |
|
3 |
8 |
5 |
19 |
34 |
|
4 |
2 |
1 |
|
3 |
10 |
44 |
3 |
2 |
10 |
|
3 |
2 |
20 |
54 |
1 |
3 |
|
9 |
|
1 |
14 |
ni |
6 |
10 |
16 |
15 |
12 |
11 |
n=70 |
26.
10
xi |
|
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
nj |
|
yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
10 |
|
|
3 |
5 |
|
1 |
4 |
23 |
15 |
|
|
4 |
10 |
|
2 |
8 |
|
24 |
|
25 |
|
3 |
4 |
|
6 |
|
|
6 |
19 |
|
35 |
|
|
|
|
|
4 |
7 |
1 |
5 |
17 |
45 |
|
2 |
5 |
|
|
10 |
|
|
17 |
|
ni |
|
15 |
13 |
13 |
15 |
19 |
10 |
15 |
n=100 |
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
24 |
|
28 |
32 |
36 |
40 |
44 |
48 |
nj |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
6 |
|
4 |
|
2 |
5 |
17 |
20 |
|
4 |
|
|
5 |
|
7 |
1 |
|
17 |
30 |
|
|
|
4 |
3 |
5 |
|
|
6 |
18 |
40 |
|
5 |
|
3 |
|
|
10 |
2 |
|
20 |
50 |
|
|
|
|
4 |
10 |
4 |
2 |
8 |
28 |
ni |
|
9 |
|
13 |
12 |
19 |
21 |
7 |
19 |
n=100 |
28.
xi |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
nj |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
4 |
|
3 |
|
|
7 |
46 |
2 |
3 |
1 |
|
10 |
|
16 |
56 |
3 |
|
5 |
1 |
|
4 |
13 |
66 |
|
|
|
8 |
2 |
1 |
11 |
76 |
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
ni |
6 |
9 |
6 |
12 |
12 |
5 |
n=50 |
29. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
42 |
46 |
50 |
54 |
58 |
62 |
nj |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
4 |
2 |
1 |
|
7 |
25 |
2 |
1 |
|
3 |
8 |
5 |
19 |
35 |
|
4 |
2 |
1 |
|
3 |
10 |
45 |
3 |
2 |
10 |
|
3 |
2 |
20 |
55 |
1 |
3 |
|
9 |
|
1 |
14 |
ni |
6 |
10 |
16 |
15 |
12 |
11 |
n=70 |
2*.