Шпора по Линалу

−12−

Для любого линейного оператора ϕ ядро Ker ϕ ≠ , т.к. обязательно содержит нулевой вектор: 0 Ker ϕ. Действительно, возьмем произвольный вектор a V и запишем:

0 = 0 a; ϕ(0) = ϕ(0 a) = 0 ϕ(a) = 0. Из равенства ϕ(0) = 0 следует, что и образ линейного оператора ϕ (Im ϕ) также непуст: 0 Im ϕ.

Проверим, что ядро и образ являются линейными подпространствами V, т.е. подмножествами, замкнутыми относительно линейных операций в пространстве V.

Пусть x, y Ker ϕ, т.е ϕ(x) = ϕ(y) = 0; αx + βy – линейная комбинация рассматриваемых векторов.

ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y) = 0, т.е. αx + βy Ker ϕ.

Если же x, y Im ϕ, то x = ϕ(a), y = ϕ(b), т.е. x и y – образы каких-то векторов a и b. Рассмотрим вектор αa + βb – линейную комбинацию векторов a и b – и найдем его образ:

ϕ(αa + βb) = αϕ(a) + βϕ(b) = αx + βy.

Вектор αx + βy является образом вектора αa + βb и, следовательно, принадлежит образу оператора Im ϕ.

Примеры.

1.ϕ – нулевой оператор в R3. Ker ϕ = R3, Im ϕ ={0}.

2.ϕ = id.

Ker ϕ = {0}, Im ϕ = R3.

3.Поворот на некоторый угол в R2. Ker ϕ = {0}, Im ϕ = R2.

4.ϕ – проекция в R3 на плоскость OXY.

Ker ϕ = {λk} – ось OZ, Im ϕ = <i, j> – линейная оболочка векторов i и j, т.е. плоскость OXY.

5. ϕ – дифференцирование в P3 [x].

Ker ϕ = {const.} = <1>, Im ϕ = <1, x, x2> = P2 [x], т.е. множество мно-

гочленов степени не выше 2.

Найдем Ker ϕ и Im ϕ для произвольного оператора ϕ, который в фиксированном базисе есть оператор умножения на матрицу А.

& x1 #!

Ker ϕ – это такие векторы x = …! , для которых

% xn !

−14−

совпадает с rang A = r, т.к. столбцы матрицы А – это векторы ϕ(e1), …,

ϕ(en).

Итак: если r = n = dimV, то Im ϕ = V и отображение ϕ сюръективно. С другой стороны, в этом случае Ker ϕ ={0} и, как мы отметили выше, отображение ϕ инъективно. Таким образом, ϕ является биективным, т.е. взаимно однозначным отображением пространства V на себя.

Биективное линейное отображение называется изоморфизмом.

§4. Действия над линейными операторами

Пусть ϕ1 и ϕ2 – линейные операторы в векторном пространстве V. Суммой этих линейных операторов называется оператор ϕ, действующий следующим образом:

x → ϕ(x) = ϕ1(x) + ϕ2(x).

Оператор ϕ обозначается ϕ1 + ϕ2.

Проверим, что ϕ – линейный оператор, т.е. ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + + βϕ(y). Согласно нашему определению,

ϕ(αx + βy) = ϕ1(αx + βy) + ϕ2(αx + βy) = αϕ1(x) + βϕ1(y) + αϕ2(x) + + βϕ2(y) = α(ϕ1(x) + ϕ2(x)) + β(ϕ1(y) + ϕ2(y)) = αϕ(x) + βϕ(y).

Мы воспользовались линейностью операторов ϕ1 и ϕ2.

В фиксированном базисе e1, …, en каждый оператор описывается своей матрицей. Пусть А – матрица оператора ϕ1, В – оператора ϕ2 и С –

оператора ϕ = ϕ1 + ϕ2.

Столбцы этих матриц – образы базисных векторов e1, …, en в координатной записи:

Следовательно, С = А + В, т.е. сij = aij + bi j . Мы видим, что при сложении операторов их матрицы складываются.

Пусть ϕ – произвольный линейный оператор, λ – число из рассматриваемого поля Р. Произведением оператора ϕ на число λ называется оператор ψ, обозначаемый λϕ и действующий следующим образом: ψ(x) = = λϕ(x). Несложно проверить, что если ϕ – линейный оператор, то ψ – также линейный оператор. (Проверьте!)

Если А – матрица оператора ϕ в базисе e1, …, en, то В – матрица оператора ψ в этом же базисе – имеет вид:

−16−

Если оператор ϕ имеет обратный оператор ψ, то для их матриц А и В в произвольном фиксированном базисе e1, …, en выполняется условие А В = В А = Е. (Е – матрица оператора id.)

Следовательно, В = А-1 и оператор ψ однозначно определяется по оператору ϕ (если он, конечно, существует) и обозначается ϕ-1. Для существования же оператора ϕ-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица А оператора ϕ в каком-либо базисе (а следовательно, и в любом) была бы обратима, что равносильно, как мы знаем, условиям /A/≠ 0 rang A = n . В этом случае Im ϕ = V, Ker ϕ ={0} и отображение ϕ является изоморфизмом.

§5. Общие замечания, относящиеся ко всем вариантам

Обозначим матрицы данных операторов ϕ, ψ и оператора χ = ϕψ в стандартном базисе (i, j, k) соответственно через Aϕ , Aψ и Aχ. Нам надо, стало быть, найти эти матрицы. Aϕ и Aψ мы найдем, используя определение матрицы линейного оператора (§ 2, стр. 7 – 8), при рассмотрении конкретных задач. Сразу отметим здесь, что, зная эти матрицы, по свойству матрицы произведения двух линейных операторов (см. § 4, стр. 15 – 16) можно найти матрицу Aχ:

Aχ = Aψ · Aϕ .

Таким образом, матрица Aχ легко вычисляется, если уже найдены матрицы

Aϕ и Aψ.

Чтобы выяснить, обратим ли оператор χ, можно вычислить определитель его матрицы. Допустим, что det Aχ ≠ 0. Тогда у оператора χ существует обратный оператор (см. § 4, стр. 16). А так как

det Aχ = det (Aψ Aϕ) = det Aψ·det Aϕ ,

то det Aϕ и det Aψ также отличны от нуля. Отсюда, как легко видеть, выте-

кает, что операторы ϕ и ψ также обладают обратными; при этом

χ–1 = (ϕψ)–1 = ψ–1·ϕ–1,

т. е. сначала выполняется оператор ψ–1, а затем ϕ–1. На этом пути можно дать геометрическое описание оператора χ–1, если геометрическое описание операторов ϕ–1 и ψ–1 нам известно (обычно оно получается легко, если операторы ϕ и ψ действительно обратимы; см. нижеприведенные примеры).

Если же det Aχ = 0, то тогда, в силу вышеприведенного равенства det Aχ = det Aψ·det Aϕ , хотя бы один из операторов ϕ и ψ не имеет обратного. Для указания причины необратимости оператора достаточно, следовательно, указать, какой из операторов ϕ и ψ необратим (может быть, что и оба). Необратимость же оператора вытекает из того, что он не является биективным. А это, в свою очередь, следует из того, что оператор имеет не-

−18−

ψ(i) =

ψ(j) =

ψ(k) = k.

Чтобы получить эти результаты, можно воспользоваться формулой проекции вектора a на плоскость π (в этой формуле проекция рассматривается как вектор):

прπ a = a – (a, n) n . n 2

Здесь n – произвольный ненулевой вектор, нормальный к данной плоскости. В нашем случае в качестве такового можно взять вектор {1; –1; 0}. Поэтому, например,

и аналогично для других проекций. Это дает матрицу:

Рассматриваемый оператор необратим (т.к. он неинъективен: ψ(i) = ψ(j). Он также не является сюръективным – образы всех векторов заполняют плоскость x = y, но не заполняют всего пространства). Необратимость оператора ψ вытекает также из того, что det Aψ = 0 (первые две строки матрицы Aψ одинаковы).

Найдем ядро и образ оператора ψ. Так как образы всех векторов заполняют плоскость x = y, то эта плоскость и является образом нашего оператора. Что же касается ядра, то это по определению есть множество всех векторов, переходящих в нуль, т.е. в данном случае проектирующихся в нуль. Легко понять, что эти векторы заполняют прямую, перпендикулярную данной плоскости и проходящую через начало координат. Пользуясь знаниями аналитической геометрии, мы можем определить, что ядро – множество всех векторов, коллинеарных вектору {1; –1; 0} (т.к. этот вектор нормален к плоскости x – y = 0). То есть Ker ψ – линейная оболочка указанного вектора. (Напишите канонические или параметрические уравнения соответствующей прямой!)

3. Пусть оператор ω – ортогональное проектирование на ось x = y,

z = 0.

Оператор ортогонального проектирования, как уже отмечалось выше, линеен. Легко видеть, что

−19−

ω(i) = { 12 ; 12 ; 0} = 12 i + 12 j; ω(j) = { 12 ; 12 ; 0} = 12 i + 12 j; ω(k) = 0.

Чтобы получить эти результаты, можно воспользоваться формулой проекции вектора на ось (в этой формуле проекция рассматривается как вектор):

прl a = (a, l) l . l 2

Здесь l – произвольный ненулевой (направляющий) вектор данной оси. В нашем примере в качестве такового можно взять вектор {1; 1; 0}. Поэтому, например,

и аналогично для других проекций. Таким образом, мы имеем:

Оператор необратим (объясните, почему!).

Аналогично предыдущей задаче решается вопрос о ядре и образе. Образом будет данная ось (прямая, точнее, соответствующее одномерное подпространство векторов; то есть Im ω является линейной оболочкой вектора {1; 1; 0}). Ядро же – совокупность векторов, перпендикулярных нашей оси. Эта совокупность является плоскостью, уравнение которой мы легко можем написать, пользуясь знаниями аналитической геометрии: x +

+y = 0. (Найдите базис подпространства Ker ψ.)

4.Обозначим через σ зеркальное отражение относительно плоскости

y = z.

Здесь каждый вектор переходит в вектор, симметричный (зеркально отраженный) относительно указанной плоскости. (Докажите, что этот оператор линеен.) Найдем образы базисных векторов:

σ(i) = {1; 0; 0} = i; σ(j) = {0; 0; 1} = k; σ(k) = {0; 1; 0} = j.

Чтобы получить эти результаты, можно воспользоваться следующей формулой, выражающей вектор d, симметричный данному вектору a относительно данной плоскости π:

−20−

d = a – 2(a, n) n . n 2

Здесь n – произвольный ненулевой вектор, нормальный к данной плоскости. В нашем случае в качестве такового можно взять вектор {0; 1; –1}. Поэтому, например,

σ(j) = j – 2( j, n) n = j – n = {0; 0; 1} n 2

и аналогично для других базисных векторов. Это дает матрицу:

Матрица Aσ невырождена, и, следовательно, оператор σ обратим. Это ясно также из того, что любой оператор зеркального отражения (относительно плоскости или прямой) всегда обратен самому себе (объясните это).

Поскольку наш оператор обратим, то, как объяснялось выше (см. пример 1), у него нулевое ядро, а его образ есть всё пространство.

5. Пусть τ – оператор зеркального отражения относительно прямой y = z, x = 0.

Этот оператор также обратим и обратен самому себе. Найдем его матрицу:

τ(i) = {–1; 0; 0} = –i; τ(j) = {0; 0; 1} = k; τ(k) = {0; 1; 0} = j.

Чтобы получить эти результаты, можно воспользоваться формулой, выражающей вектор d, симметричный данному вектору a относительно данной оси:

Здесь l – произвольный ненулевой (направляющий) вектор данной оси. В нашем примере в качестве такового можно взять вектор {0; 1; 1}. Поэтому, например,

и аналогично для других базисных векторов. Таким образом, мы имеем:

Оператор τ, будучи обратимым, имеет нулевое ядро, а его образ есть всё пространство.