361

11

№ 8. Проверить, что заданная функция 6= · B 2 16 является общим решением дифференциального уравнения

2 1 ′′ ′ 1, и найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 0 5, ′ 0 1.

№ 9. Дано дифференциальное уравнение: ′′ 4 12. Опреде-

лить порядок этого дифференциального уравнения; проверить, что заданная функция 6= sin 2 6 cos 2 3 является общим ре-

шением этого уравнения, и найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 0 0, ′ 0 1.

№ 10. Дано дифференциальное уравнение: ′′ 12 4. Определить порядок этого дифференциального уравнения; проверить, что заданная функция 2 2 6= 6 является общим решением этого уравнения, и найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 1 3, ′ 1 0.

Задания для контроля знаний

№ 11. Дано дифференциальное уравнение: ′ . Определить, какая из указанных функций является общим решением этого

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2.

№ 12. Дано дифференциальное уравнение: ′ 2 6. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2.

№ 13. Дано дифференциальное уравнение: ′ 2 0. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2.

12

№ 14. Дано дифференциальное уравнение: ′ 4 0. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2.

№ 15. Дано дифференциальное уравнение: ′′ ′ 1. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2, ′ 0 0.

№ 16. Дано дифференциальное уравнение: ′ 3 sin 3. Оп-

ределить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 1.

№ 17. Дано дифференциальное уравнение: ′ 0. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 1 2.

№ 18. Дано дифференциальное уравнение: ′ 0. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 1 2.

13

№ 19. Дано дифференциальное уравнение: ′ 2 5 sin . Оп-

ределить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 3.

№ 20. Дано дифференциальное уравнение: 0.

Определить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 1 5.

§ 2. Простейшие дифференциальные уравнения

Простейшим дифференциальным уравнением называется диф-

ференциальное уравнение вида:

′ .

Задача нахождения всех функций , удовлетворяющих данному условию, уже встречалась в курсе интегрального исчисления, и

мы знаем, что общим решением данного дифференциального уравнения является первообразная функции , т.е. L .

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:

′ sin .

Решение. Применив правила интегрирования и известные инте-

гралы элементарных функций, получим:

M sin M cos 4@ 6,

где 6 – произвольная константа.

Ответ: cos @N 6.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения:

′ sin .

15

16

§ 3. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнениями с разделяющимися переменными называются та-

кие дифференциальные уравнения первого порядка, которые можно

Для решения этого типа дифференциальных уравнений необходимо заменить производную ′ на отношение дифференциалов , а за-

тем с помощью умножения и деления обеих частей уравнения на некоторые функции добиваемся «разделения переменных». Таким образом, с одной стороны равенства должна остаться функция перемен-

17

ной , умноженная на дифференциал переменной ( ), а с другой стороны − функция от переменной , умноженная на дифференциал

переменной ( ). Получаем уравнение вида: a b.

Остается проинтегрировать обе части уравнения:

L a L b.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения:

′ 2 .

Решение. Сначала приведем уравнение к виду (1):

′ 2 ,′ 2 1 · .

Делаем замену ′ и разделяем переменные.

L L2 1; ln| | 6= 6 .

Формально константы в правой и левой части разные, но если мы перенесем 6= в правую часть и заменим 6 6= на новую произволь-

ную постоянную (константу) 6, то получим3: ln| | 6 6=,

ln| | 6.

Получили общее решение исходного дифференциального уравнения. При решении многих дифференциальных уравнений мы не сможем выразить y, и тогда это будет итоговым ответом. В данном случае мы можем выразить y. Для этого потенцируем4 обе части уравне-

ния (применяем к обеим частям функции):

^I| | ?T T>.

Применяя основное логарифмическое тождество:

3Стоит отдельно отметить, что общее решение дифференциального уравнение n-го порядка должно содержать n независимых произвольных постоянных.

Вчастности, в дифференциальном уравнении первого порядка должна быть одна независимая постоянная.

4Данная операция будет проводиться часто и далее подробно описываться не будет.

18

c d e,

а также свойство:

cf·> cf · c>,

получаем:

| | ?T · >,g> · ?T.

Обозначая 6h g>, получаем общее решение исходного диффе-

ренциального уравнения в явном виде:

6h · ?T.

Получили общее решение дифференциального исходного уравнения. Для решения задачи Коши необходимо найти частное решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию 0 2. Для этого подставляем 0 и 2 в общее решение дифференциального уравнения (2) и находим значение кон-

станты 6.

2 JB6 cos 3 · 0 1 8 6 cos1

6 8 cos1

Подставляем найденное значение константы 6 в общее решение

дифференциального уравнения и получаем решение задачи Коши:

JB8 cos1 cos 3 1 . Ответ: JB8 cos1 cos 3 1 .

19

Задания для самостоятельного решения

Найти общее решение дифференциального уравнения:

№72. kJlm?C GHI @ ;

№73. ′ Z T;

№74. ln 1 · ′ ;

№75. · 3 · ′ 5 1;

№76. · 1 · 0;

№77. sin · 1 · 0;

№78. cos 3 · 5 · 0;

№79. 2 · · · 0;

№80. ZC · tg 3 · 0.′

Задания для контроля знаний

Найти общее решение дифференциального уравнения:

№91.

№92. · GHI

№93. 3 · · ′ ^I C;

№94. JB3 2 · 4 · ′ 1;′ sin ln ;0;

20

№ 95. · 1 · 3 1 · 0; № 96. cos 3 · 5 · 0;

№ 97. cos 2 · 2 1 · 1 · 0; № 98. CZ · 5 1 · 0;

GHI =CZ

№99.

№100.

№101.

№102.

№103.

№104.

№105.

§4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка· · 5 ln · 0;√ · 2 1 · 5 ·3 1 · 2 · 0;1 · C 0;√ · · 1 · 3 1 0;· · 3Z 4 1 · 0;C · tg 2 1 · 0. 0;

Функция a , называется однородной функцией порядка s, ес-

ли выполнено следующее тождество:

для любых значений t. a t , t tua , ,

Дифференциальное уравнение вида:

a , b , 0

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функции a , и b , являются однородными

функциями одинакового порядка.

Известно, что однородные дифференциальные уравнения можно привести к виду: ′ V W, где O – некоторая функция одной пе-

ременной.

Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка необходимо искать в виде: P · .

Разберем этот метод на примере.