Вариант 6

Вариант 6

1. Линеаризация

1.1 Постройте линеаризованную модель для звена, которое описывается нелинейным дифференциальным уравнением (значения Т=1,5, q₂=0.4, q₁=0.5, k=0.6):

В номинальном режиме установившееся значение у=у₀=0.5.

Большинство систем управления описывается нелинейными ДУ, но во многих случаях их можно линеаризовать, т.е. заменить исходные нелинейные уравнения на линейные.

Запишем для нашего случая уравнение динамики:

Этому уравнению соответствует следующее уравнение статики, которое определяется при постоянных входных воздействиях х₀ (все производные образуются в 0):

В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми. Это позволяет производить линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора.

Разложив нашу функцию получим:

Вычтем из полученного уравнения почленно уравнение статики, получим искомое линеаризованное уравнение динамики данного звена:

1.2 Определите установившееся значение х=х_0.

Уравнение установившегося режима выглядит следующим образом:

Выразим из этого уравнения х_0:

1.3 Постройте передаточную функцию линеаризованного звена. Как называется такое звено?

Передаточная функция звена W(р) определяется как отношение изображения Лапласа выходных и входных величин при нулевых начальных условиях.

В нашем случае чтобы построить передаточную функцию необходимо сначала подставить вместо дифференцирования оператор р. Тогда уравнение примет следующий вид:

Уравнению соответствует следующая передаточная функция:

Видим что это апериодическое звено первого порядка. Приведем к требуемому виду:

1.4 Найдите импульсную характеристику (весовую функцию) этого звена.

Функция веса (весовая функция) представляет собой реакцию звена на δ-функцию (единичная импульсная функция).

Для того чтобы определить весовую функцию воспользуемся теоремой разложения. В нашем случае имеется один корень, поэтому импульсная функция будет иметь вид:

Корень нашего уравнения: р = -0,27. Найдем все составляющие:

1.5 Решив полученное линейное дифференциальное уравнение, найдите переходный процесс на выходе линеаризованного звена при ступенчатом входном сигнале х(t)=1(t).

Переходная функция или переходная характеристика представляет собой переходной процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход единичного воздействия.

Ранее была найдена весовая функция. Переходную функцию можно определить по известной весовой, воспользуемся данным методом.

Начальные условия: у(0)=0. Определим С по этому условию в момент времени t=0.

Тогда запишем полученную весовую функцию:

1.6 Постройте и сравните переходные процессы (в отклонениях от номинального режима) в линейной и нелинейной системе при ступенчатом входном сигнале х(t)=1(t)

2. Разомкнутые системы

2.1 Определите, какие простейшие звенья можно выделить в составе звена с передаточной функцией (значения коэффициентов а₁=-1,3, а₀=1,1, b₂=1,5, b₁=3,0, b₀=0,9):

Подставив свои данные получим следующую передаточную функцию:

Попробуем разложить функцию так, чтобы можно было выделить простейшие звенья:

Получилось что наша передаточная функция состоит из двух звеньев: форсирующего звена первого порядка (звено получается в результате различных параллельных соединений пропорционального и дифференцирующего или инерционного звеньев) и колебательного звена.

2.2 Чему равен коэффициент усиления этого звена в установившемся режиме?

В установившемся режиме все производные равны 0, поэтому коэффициент усиления равен передаточной функции W(0). В установившемся режиме р = 0.

2.3 Является ли звено устойчивым? Почему?

Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование автоматических систем.

Устойчивость систем АУ – свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения изменения воздействия, которое вывело систему из этого состояния.

Для устойчивой линейной системы необходимо и достаточно чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными или чтобы все корни характеристического уравнения системы располагались в левой части комплексной плоскости.

Найдем корни характеристического уравнения:

Видим, что вещественные корни уравнения отрицательны, т.е. корни лежат в левой полуплоскости и поэтому наша система устойчива.

2.4 Является ли звено минимально-фазовым?

В случае, если корни числителя и знаменателя передаточной функции W(p) звена лежат в левой полуплоскости, такое звено называется минимально-фазовым. Этим звеньям присущи меньшие по абсолютной величине фазовые сдвиги по сравнению со звеньями, у которых это условие не выполняется.

Определим корни числителя нашей передаточной функции (уже определили, что корни знаменателя – отрицательны):

Отсюда видим, что звено не является минимально-фазовым? т.к. корень полинома числителя не лежит в левой полуплоскости.

2.5 Постройте асимптотическую ЛАФЧХ этого звена.

Мы получили три простейших звена, которые соединены между собой последовательно (т.к передаточная функция – это произведение этих простейших звеньев).

Пропорциональное звено с K = 1.44, дифференцирующего звена и апериодического звена с .

Построим асимптотическую ЛАЧХ:

Найдем сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания:

для форсирующего звена

для колебательного звена .

ω₁ = 0,62; ω₂ =0,775.

При построении асимптотической ЛАЧХ при частотах меньше сопрягающей частоты ω_c под корнем оставляют только единицу (пренебрегая другими слагаемыми), при частотах больше сопрягающей частоты оставляют слагаемые с наивысшей степенью ω.

При ω< ω₁:

При ω₁<ω< ω₂:

При ω> ω₂:

_{Асимптотическая ЛАЧХ:}

_{2.6 Какой наклон имеет ЛАЧХ на нулевой частоте? На больших частотах? Почему?}

_{Наклон на нулевой частоте определяется только дифференцирующим и интегрирующим звеньями. Если имеется m дифференцирующих звеньев, то наклон будет 20m дБ/дек. Если есть n интегрирующих звеньев, то наклон : -20n дБ/дек.}

_{Позиционные звенья имеют нулевой наклон.}

_{Наклон на высоких частотах: -20m Дб/дек, где m – разность степеней знаменателя и числителя передаточной функции.}

_{В нашем случае, наклона на нулевой частоте нет, т.к. наше звено – позиционное.}

_{Наклон на высоких частотах: -20 Дб/дек, т.к. степень знаменателя вторая, а числителя – первая.}

_{2.7 Запишите модель этого звена в виде дифференциального уравнения.}

_{Наша передаточная функция выглядит следующим образом:}

_{Запишем ее в виде дифференциального уравнения:}

_{2.8 Запишите модель этого звена в пространстве состояний.}

_{Переменными состояния динамической системы с выходом у называются независимые переменные хi(t) такие, что значения выходных переменных y(t) в произвольный момент времени t1≥t0 однозначно определяется значениями xi(t0). Таким образом, чтобы найти реакцию системы на любой известный входной сигнал достаточно знать ее вектор состояния в начальный момент времени.}

_{Модель в пространстве состояния – это система дифференциальных уравнений первого порядка, к которой добавлены связи вектора состояния с входом и выходом системы.}

_{Для одномерных систем имеющих один вход и один выход существует простой способ построения модели в пространстве состояния по передаточной функции.}

_{Представим:}

Передаточная функция W₁(p) соответствует уравнению:

Передаточная функция W₂(р) соответствует уравнению:

Вводя переменные стояния: х₁=z, х₂= , и учитывая связь между ними: х₂= , получим систему:

Данная система записывается в форме модели пространстве состояний с матрицами:

_{2.9 Постройте переходную характеристику этого звена.}

Определим вид переходного процесса. Для этого на вход подадим дельта функцию δ(t). Весовая переходная характеристика в этом случае находится по формуле:

_{Характеристическое уравнение имеет действительные корни:}

Изображение разбиваем на сумму дробей:

где a_1,2 – действительные части корней p_1,2 соответственно,

C_1,2– действительные части пары коэффициентов M₁ и M₂.

Мы нашли весовую функцию. Переходную функцию можно определить по известной весовой, воспользуемся данным методом.

3. Замкнутые системы

3.1 Пусть объект управления имеет передаточную функцию W(p), регулятор – передаточную функцию K(p), а измерительная система – передаточную функцию H(p). Нарисуйте типовую блок-схему системы автоматического регулирования, обозначив задающий сигнал g(t), сигнал управления u(t), регулируемый сигнал y(t), внешнее возмущение w(t), сигнал обратной связи f(t), сигнал ошибки e(t).

3.2 Предположив, что К(р)=к=const и Н(р)=h=const, постройте передаточные функции (ПФ):

-G(p) от входа g(t) к выходу y(t);

-Gu(p) от входа g(t) к выходу u(t);

-Gе(p) от входа g(t) к выходу е(t);

-Gfe(p) от входа w(t) к выходу e(t);

ПФ G(p) от входа g(t) к выходу y(t) – это передаточная функция всей замкнутой системы. Она состоит из ПФ по задающему и по возмущающему воздействию. Найдем и построим отдельно эти передаточные функции:

- ПФ по задающему воздействию:

- ПФ по возмущающему воздействию:

ПФ Gu(p) от входа g(t) к выходу u(t):

ПФ Ge(p) от входа g(t) к выходу e(t):

ПФ Gfe(p) от входа w(t) к выходу e(t):

3.3 Используя критерий Гурвица, определите, при каких значениях k и h замкнутая система устойчива.

По критерию Гурвица, для того чтобы система была устойчива необходимо, чтобы все коэффициенты замкнутой системы были положительны. Характеристическое уравнение имеет вид:

На основе характеристического полинома составим определитель уравнения

Согласно критерию Гурвица, необходимо, чтобы все коэффициенты и определители были положительными. По главной диагонали ставим все коэффициенты характеристического уравнения слева направо начиная с а₁.

От каждого элемента диагонали достраиваем столбцы, так чтобы индексы убывали сверху вниз. На место коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n ставим 0. Тогда:

Т.к. мы имеем уравнение второго порядка, то необходимо, чтобы положительными были коэффициенты.

a₀ = 1,5 > 0

Получим систему:

2,3

-1,1