3-й семестр / Семинары / 15-16
.pdf
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
1 = 2 (2 ∑ ( ) ) , > 0
=1
= 2 – особая точка функции ( ), находится в верхней полуплоскости и является полюсом второго порядка.
= −2 – также особая точка ( ), находится в нижней полуплоскости и в вычислении интеграла не используется.
Вычислим вычет в точке = 2 :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
) = |
|
|
lim ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( − 2 )2) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
=2 |
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
1! |
→2 |
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
)2 |
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= lim ( |
|
|
|
|
|
|
|
) ′ |
= lim |
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
− 2 + 2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( + 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
( + 2 )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→2 |
|
|
|
|
|
|
→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
( |
+ 2 |
) |
− 2 |
|
|
= lim |
|
|
− 4 |
|
= |
−2 |
−2 |
− 4 |
−2 |
= |
|
−6 |
−2 |
= |
3 |
−2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( + 2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 )3 |
|
|
|
|
−64 |
32 |
|||||||||||||||||||||
→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→2 |
( + 2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2) = |
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
2 |
|
)2 |
2 |
|
|
32 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
∞sin 6
2)Вычислить интеграл = ∫−∞ 2+4 +13 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||
Решение. Введем вспомогательную функцию ( ) = |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
2+4 +13 |
|
||||||||||||||||||||||
Найдем ее особые точки: 2 + 4 + 13 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −4±6 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= −4±√16−52 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 = −2 + 3 , 2 = −2 − 3 - простые полюсы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 находится в нижней полуплоскости и в вычислении интеграла не |
|
||||||||||||||||||||||
используется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
|
|
6 |
) = |
|
6 |
| |
|
= |
( |
−2 + 3 |
) |
|
(−12+18 ) |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
=−2+3 |
|
2 |
+ 4 + 13 |
|
2 + 4 |
=−2+3 |
|
2(−2 + 3 ) + 4 |
|
||||||||||||||
= (−2 + 3 ) −18−12 6
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
∞ |
sin 6 |
|
|
(−2 + 3) −18 −12 |
|
∫ |
|
|
= (2 ∙ |
|
) = |
2 + 4 + |
13 |
6 |
|||
−∞ |
|
|
|
|
|
= [3 (−2 + 3 ) −18( 12 − 12)] =
= [318 (−2 12 + 3 12 + 2 12 + 3 12)] =
=318 (3 12 + 2 12)
Задачи для самостоятельного решения
∞cos
1.Вычислить интеграл = ∫−∞ 2−2 +10
∞sin 3
2.Вычислить интеграл = ∫0 2+16