3-й семестр / Лекции / 16 - презентация

7.2. Вычисление несобственных интегралов

7.2.1. Интегралы от рациональных функций.

( ), лежащие в верхней полуплоскости.

Пример.

∞ 2

Вычислить интеграл = ∫0 ( 2+9)2.

2

Введем функцию ( ) = ( 2+9)2 (заменили переменную на ). Т.е. на действительной оси при = ( ) = ( ). Функция ( ) имеет две особые точки 1 = 3, 2 = −3 – это полюса второго порядка. В верхней полуплоскости

7.3.2. Вычисление интегралов с тригонометрическими функциями вида

∫0+∞ ( ) cos , ∫0+∞ ( ) sin ,

где ( ) – правильная рациональная дробь, > 0 – любое вещественное число.

Пусть функция ( ) удовлетворяет следующим двум условиям:

1)( ) аналитическая в верхней полуплоскости и на действительной оси, кроме конечного числа полюсов, лежащих в верхней полуплоскости;

2)При → ∞ в верхней полуплоскости и на действительной оси ( ) → 0

верхней полуплоскости. Разобьем интервал (− , ) на части (− , 0) и (0, ) и

Следовательно, ∫0+∞( ( ) + (− )) = 2 ∑ =1 ( ).

Используем полученный результат в частном случае, когда подынтегральная функция имеет вид: ( ) = ( ) ∙ , > 0, где функция ( ) удовлетворяет двум условиям 1) и 2).

Тогда этим же условиям будет удовлетворять и функция ( ). Тогда

∫0+∞(( ) ∙ + (−) ∙ −) = 2 ∑=1 [ ( ) ∙ ].

Пусть ( ) – четная функция, т.е. (−) = ( ), тогда

∫0+∞ ( ) cos = ∑=1 [ ( ) ∙ ].

Аналогично, если ( ) – нечетная функция, т.е. (−) = −( ), тогда

∫0+∞ ( ) sin = ∑=1 [ ( ) ∙ ].

Следующая лемма позволяет ослабить условия 1)-2), наложенные на функцию

( ).

Лемма Жордана. Если функция ( ) аналитична в верхней полуплоскости за исключением конечного числа изолированных особых точек и стремится в этой полуплоскости к нулю при | | → ∞, тогда при

> 0

lim ∫ ( ) = 0 ,

→∞

где контур – полуокружность | | = в верхней полуплоскости.

Теорема 3. Если функция ( ), заданная на всей действительной оси, может быть продолжена на верхнюю полуплоскость и полученная функция ( ) удовлетворяет условиям леммы Жордана и не имеет особых точек на

( ) в верхней полуплоскости.

точек на действительной оси, т.е. удовлетворяет условиям леммы Жордана.

Функция 2+9 при стремлении | | → ∞ стремится к нулю и не имеет особых

точек на действительной оси, т.е. удовлетворяет условиям леммы Жордана. По теореме 3 получим

∞ 2

∫−∞ 2 + 9

2

= 2 =3 ( 2 + 9) .

= 3 – особая точка функции ( ), находится в верхней полуплоскости и является простым полюсом.

= −3 – также особая точка ( ), находится в нижней полуплоскости и в вычислении интеграла не используется.

Вычислим вычет в точке = 3

Подставляя полученное значение, получим

Дополнительные примеры