Матан 2 семестр. Панов

Билет 6

Ряды с положительными членами.

(1)

n=1∞

n xn > 0, an >

– ряд с положительными членами.

Достаточные признаки сходимости

Даламбер

xn+1

Пусть ряд (1) с положительными числами и lim

= q

Если q > 1 ряд расходится

n→∞

xn

Билет 7

Незнакопостоянные ряды. Достаточные признаки сходимости

Пусть дан ряд

n=1∞

−1 n+1 xn

(2)

Причѐм последовательность xn стремиться к нулю, (2) сходится

k

n+1

−1, − чётное

yk =

n=1 −1

= { 1, n − нечётное

-> yn – отрезок -> так как

{xn} монотонно стремится к 0

То по признаку Дирихле ряд (2) сходится

Билет 8

Критерий абсолютной сходимости ряда и его следствие

=>

n=1∞

xn+, (3) n=1∞ xn−

Ряд (1) сходится абсолютно  сходится (2)

Ряд

n=1∞

xn

– сходится когда

xn

≥ +и

xn

≥ −

По первому признаку сравнения сходятся ряды (2) и (3)

<=

n=1∞

∞

( ++ −) (по

Так как (2) и (3) сходятся ряд

xn =

теореме 2 из параграфа 1)

n=1

сходится ряд

n=1∞

xn

Следствие 1: из абсолютной сходимости следует сходимость

Теорема Коши об абсолютно сходящихся рядах

Пусть ряд

n=1∞

n

сходится абсолютно, тогда ряд

n=1∞

уn

составленный из {yn}но взятых в произвольном порядке, тоже

сходится абсолютно и равен тому же числу что и

n=1∞

n

Условно сходящиеся ряды (определение)

Ряд

n=1∞

n

называется условно сходящимся если ряд из

модулей членов ряда расходился (

n=1∞

n ) а исходный ряд

( n=1∞

n)сходится

Теорема Римана

Если ряд с вещественными членами сходится условно, то для

Рассмотрим произвольное разбиение r, для которого λr

<

Тогда

n−1

−1

S

− s =

M

i

−

x

i

=

+1

−

r

i=c

=0

−1

≤

+1 −

=

=0

−

<