Примеры / Primer_Tr_2_matanaliz
.docxПример решения типового расчета № 2
«Математический анализ»
Задание №1
Дано комплексное число .
-
Записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив его на комплексной плоскости.
-
Вычислить .
Решение:
1. Приведем к алгебраической форме комплексного числа. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное знаменателю. Получим:
Итак, алгебраическая форма комплексного числа .
Запишем
в тригонометрическом виде, используя
формулу (1): Имеем:,
0
1 х
у
Итак, тригонометрическая форма имеет вид:
. В показательной форме: .
2. Вычислим , используя формулу:
Ответ: 1. ;
2.
Пример 2.
-
Решить уравнение .
-
Записать корни уравнения и в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив их на комплексной плоскости.
Решение:
-
Найдем корни данного квадратного уравнения по известной формуле
, зная, что .
(Знак используется как квадратный корень из комплексного числа!)
Получим два комплексно сопряженных корня
.
2. Имеем алгебраическую форму и .
Действительная и мнимая часть, соответственно, равны:
Изобразим и на комплексной плоскости:
y Запишем
числа
и
в тригонометрической и показательной
форме. Имеем:
,
, ;
, ; ;
.
Ответ:
Задание № 2
Вычислить пределы.
Решение.
1.(разложим числитель и знаменатель на множители);
2. (разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень ; в данном случае на )=
(т.к. функция, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая: );
3. (умножим числитель и знаменатель на )
=;
4. (применим правило Лопиталя (3)) .
Ответ: 1. ; 2. ;
3. ; 4.
Задание №3
Подобрать параметры и так, чтобы функция была непрерывна.
Решение.
Функция составлена из элементарных функций, каждая из которых непрерывна на указанных промежутках. Непрерывность может нарушаться только в точках и .
Вычислим односторонние пределы функции в этих точках.
а) ; ;
.
Условие непрерывности функции в точке записывается в виде .
б) ; ; .
Условие непрерывности функции в точке записывается в виде .
в) Получаем систему линейных уравнений:
.
Решение системы дает значения искомых параметров: .
Ответ:
Задание №4
Продифференцировать данные функции по переменной .
1. ; 2. ; 3. .
Решение.
1.
.
Используем правило дифференцирования сложной функции: если , где функции и имеют производные, то . Полагаем и . Получаем:
.
Тогда
.
2. В этой задаче функция задана параметрически, т.е. уравнениями:
.
Производная находится по формуле:.
Проводим вычисления:
;
.
3. Функция задана неявно уравнением . Для определения нужно продифференцировать функцию по , рассматривая при этом как функцию переменной . Приравнивая полученную производную к нулю, получаем уравнение первой степени относительно . Из этого уравнения и находим производную.
, ,
, ,
.
Ответ: 1. ;
2. ; 3. .
Задание №5
Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
Решение.
1. Область определения функции: ; ;
2. Точки пересечения с осями координат.
, так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью .
, т.е. график пересекает ось в точке (0;–1).
3. Исследование функции на четность (нечетность).
.
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. – это функция общего вида.
4. Функция непериодическая.
5. Исследование непрерывности. Классификация точек разрыва.
Функция терпит разрыв в точке . Определим тип разрыва:
.
Односторонние пределы функции бесконечны, следовательно, – точка разрыва второго рода (точка бесконечного разрыва).
6. Интервалы монотонности, точки экстремума функции.
Найдем первую производную функции:
, .
Точки экстремума:
Функция имеет максимум при , так как в при переходе через эту точку производная меняет знак с (+) на (–), причем .
Функция имеет минимум при , так как при переходе через эту точку производная меняет знак с (–) на (+), причем .
Функция возрастает при .
Функция убывает при
7. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную функции:
в ноль не обращается, значит, точек перегиба нет.
При направление выпуклости графика вверх (выпуклость), а при – вниз (вогнутость).
8. Асимптоты.
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции (см. пункт 5).
Найдем наклонные асимптоты :
;
Итак, график имеет наклонную асимптоту (правую и левую).
9. График функции.
-1 0 1 x