Экзамен / 14
.docx14. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.
Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:
, |
Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью , то линейная скорость i-й точки , Ri – расстояние до оси вращения. Следовательно,
|
Сопоставив формулы, можно увидеть, что момент инерции тела I является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции при поступательном движении. В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью vc и вращательного с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела
Здесь Ic – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции. |
Кинетическая энергия вращающегося тела складывается из кинетических энергий отдельных материальных точек, составляющих это тело:
.
Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна
.
Если сила F приложена к точке О, находящейся от оси вращения на расстоянии r, а a - угол между направлением силы и радиус-вектором r, то работа этой силы при вращении абсолютно твердого тела определяется углом поворота тела. При повороте на малый угол dj точка приложения силы О проходит путь ds = rdj и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на смещение: dA = F.sina.rdj = Mdj.
Если тело приводится во вращение силой , то его энергия возрастает на величину затраченной работой. Также как и в поступательном движении, эта работа зависит от силы и произведенного перемещения. Однако перемещение теперь угловое и выражение для работы при перемещении материальной точки неприменимо. Т.к. тело абсолютно твердое, то работа силы , хотя она приложена в точке, равна работе, затраченной на поворот всего тела.
При повороте на угол точка приложения силы проходит путь . При этом работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: ; Из рис. видно, что — плечо силы ,а —момент силы.
Тогда элементарная работа: . Если , то .
Работа вращения идёт на увеличение кинетической энергии тела
; Подставив , получим: или с учетом уравнения динамики: , видно, что , т.е. то же самое выражение.